線性代數(shù)之空間中的曲面與曲線

1、線性代數(shù)之空間中的曲面與曲線曲面(曲線): 1. 曲面(曲線)上的任一點的坐標都滿足該方程. 2. 坐標滿足方程的點都在該曲面(曲線)上. 這一節(jié)我們主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋轉(zhuǎn)曲面 1. 球面球面方程具有三個特點: 1. 三元二次方程. 2. 平方項的系數(shù)相同. 3. 交叉項的系數(shù)都是零. 一般說來, 滿足這三個條件的方程也是球面方程. 事實上, 這樣的方程可改寫成: 半徑 r=2, 球心 O(2,0,0).圓的半徑球心到平面的距離2. 柱面柱面: 平行于給定直線并沿定曲線C移動的直線L所 形成的軌跡叫做柱面.準線: 定曲線C叫做柱面的準線. 母線: 動直線L叫做柱面的母線

2、.母線平行于z軸 一般地，含有兩個變量的方程在平面幾何中表示一條曲線，而在空間幾何中則表示一個柱面, 母線平行于不出現(xiàn)的那個變量對應的坐標軸. 具體地:3. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面：平面曲線C 繞該平面上一條定直線L 旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面母 線：曲線C旋 轉(zhuǎn) 軸：定直線L 總之，在坐標面上的曲線繞其上一個軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到： 將曲線方程中與轉(zhuǎn)軸相同的變量不動，把另一個變量換為它自己的平方與方程中未出現(xiàn)的變量的平方和的平方根即可.圓錐面：直線L繞另一條與L相交的直 線旋轉(zhuǎn) 一周所得的旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面4. 空間曲線注：由于過曲線C的曲面有無窮多，所以曲線

3、的一般 方程不唯一.上面討論的半球面與柱面的交線也可視為柱面與平面的交線.維維亞尼曲線二、空間曲線的參數(shù)方程與平面曲線一樣，也可由參數(shù)方程表示空間曲線C.O設 為在xoy面上的投影，三、空間曲線在坐標面上的投影8.5 二次曲面截痕法: 類似與醫(yī)學中CT診斷的方法, 用平行于坐 標面的平面截割所研究的曲面，考察截痕 的形狀，然后綜合出曲面的全貌. 二次曲面：在空間解析幾何中，稱三元二次方程表示的曲面為二次曲面.研究路線: 1. 先研究標準方程表示的二次曲面: 橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、 橢圓拋物面、雙曲拋物面、二次錐面. 2. 把二次曲面的一般方程轉(zhuǎn)化成標準 方程.一、橢球面所以橢球面(1)完全包含在以原點為中心的一個長方體內(nèi). 為了解該橢球面的形狀，先考察坐標面與與該曲面的交線. 這些交線都是橢圓. 同樣, 用平行于yoz面和平行于zox面的平面截橢球面分別可得類似的結(jié)論. 根據(jù)這些截痕，就可以知道橢球面的形狀了.二、單葉雙曲面 三、雙葉雙曲面 四、橢圓拋物面得橢圓拋物面的圖形.不妨設p, q0. 五、雙曲拋物面（馬鞍面）不妨設p, q0. 仿照前面的討論.可得雙曲拋物面(馬鞍面)的形狀.六、二次錐面七、二次曲面的一般方程問在正交變換下化為橢圓柱面