高中數(shù)學(xué)高考專題講座立體幾何全國通用

1、第13講 立體幾何高考立體幾何試題一般共有4道（選擇、填空題3道，解答題1道），共計(jì)總 分27分左右，考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi).選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問題， 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題 ，當(dāng)然，二者均應(yīng)以正確的空間想 象為前提.隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考， 少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看，以簡(jiǎn)單幾何體為載體的線面位置關(guān) 系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題.一、知識(shí)整合.有關(guān)平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的 過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題 （包括論證、計(jì)算角、 與距離等）中不可缺

2、少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平 行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能， 通過對(duì)問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律一一充分利用線線平 行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維 能力和空間想象能力.判定兩個(gè)平面平行的方法：1）根據(jù)定義一一證明兩平面沒有公共點(diǎn)；2）判定定理一一證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面；3）證明兩平面同垂直于一條直線。.兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：由定義知：“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。由定義推得：”兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平 面。兩個(gè)平面平行

3、的性質(zhì)定理：”如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交， 那么它們的交線平行”。一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。以上性質(zhì)、在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過 程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。.空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射 影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二 面角和二面角的平面角等.解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 去解決.空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān) 系進(jìn)行定量分析

4、的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直 線所成的角8 C（0,二,直線與平面所成的角9 ,10,二面角的大小，可2. 2用它們的平面角來度量，其平面角 9 I 0,九.對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直 線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的, 因此求這些角的過程也是直線、 平面的平行與 垂直的重要應(yīng)用.通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力 及空間想象能力.如求異面直線所成的角常用平移法(轉(zhuǎn)化為相交直線)與向量法；求直線與 平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角

5、；而求二面角口一l P的平面角(記作口)通常有以下幾種方法：根據(jù)定義；(2)過棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面,設(shè)00(=09 mP=OEB則/ AOB9 ；(3)利用三垂線定理或逆定理，過一個(gè)半平面 口內(nèi)一點(diǎn)A,分別作另一個(gè)平 面P的垂線AH垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C),連結(jié)AC則/ACB=8或 ZACB=jr-e；(4)設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，ABa,垂足為B, AC1P,垂足為C,則/ BAC =8或/ BAC= n-日；(5)利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S, F在平面P內(nèi) 的射影圖形的面積為S:則cose=2.S.空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、

6、點(diǎn)到平面、兩條異 面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面 之間的距離.求距離的一般方法和步驟是：一作一一作出表示距離的線段；二證一一證明 它就是所要求的距離；三算一一計(jì)算其值.止匕外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面 的距離.棱柱的概念和性質(zhì)理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵，要明確 陛 柱一直棱柱正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六通體 直平分六面體一*長(zhǎng)方體正四棱柱正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對(duì)棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析 推導(dǎo)

7、，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外， 還須掌握由其定 義導(dǎo)出的一些具特有的性質(zhì)，如長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理是一個(gè)重要定理并能很好 地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對(duì) 應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一 常用的解題方法。多面體與旋轉(zhuǎn)體的問題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與直線、平 面、簡(jiǎn)單幾何體第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面 積與體積的度量等.從這個(gè)角度來看，點(diǎn)、線、面及其位

8、置關(guān)系仍是我們研究的 重點(diǎn).經(jīng)緯度及球面距離根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯 度是一個(gè)線面角的度數(shù)，設(shè)球 0的地軸為NS圓0是0緯線，半圓NAS 00 經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120 ,北緯40 ,我們可以作出過P的經(jīng)線NP皎赤 道于B,過P的緯線圈圓O交NAST A,那么則應(yīng)行：/ AOP=120 （二面角的平 面角）1/POB=40 （線面角）。兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，因此，求兩點(diǎn) 間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。例如，可以循著如下的程序求 A、P兩點(diǎn)的球面距離。-_ =0線段AP的長(zhǎng)/ AOP勺弧度數(shù)|大圓劣弧

9、AP的長(zhǎng).球的表面積及體建及S球表=4兀R2V球=4幾反3球的體積公式可以這樣來考慮：我們把球面分成若干個(gè)邊是曲線的小“曲 邊三角形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三角形的頂點(diǎn)， 得到若干個(gè)小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個(gè)數(shù)無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時(shí)，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時(shí)小三棱錐底面面積的和就變成球面面積，小三棱錐高變成球半徑.由于第n個(gè)小三棱錐的體積=ISnhn （Sn為該小三棱錐的底面3積，hn為小三棱錐高），所以 V球=1s球面 R= 1 4冗R2 R=兀R3. 333球與其它幾何體的切接問題，要

10、仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān) 系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。 二、注意事項(xiàng).須明確直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體中所述的兩個(gè)平面是指兩個(gè)不重合 的平面。.三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成 二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通?！熬€線角抓平移， 線面角找射影，面面角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時(shí)二面角大小出通過 cos g = S來求。S原.有七種距離，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn) 到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、 點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般

11、化歸為求這三種距離， 點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來求。三、例題分析例1、已知水平平面a內(nèi)的兩條相交直線a, b所成的角為9 ,如果將角9 的平分線l繞著其頂點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動(dòng)， 轉(zhuǎn)動(dòng)到離開水平位值的 處，且與兩條直線a,b都成角a ,則a與？的大小關(guān)系是2（）,9 ,9_9 _9A. a或a B. 3或 C. ：. L2D.6、工 tan 萬，又口、= (0,)ACE=一OCea 一2ACBC,.故選C.aBCA，心嘿.顯然,D (3) C例2、已知PAL矩形ABC所在平面,圖1M N分別是AB PC的中點(diǎn). M睚異解:都是求證：MNL AB;設(shè)平面PDCf平面ABC所成的二面角為

12、銳角9 ,問能否確定9使直線面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應(yīng)9的值；若不能，說明理由.PA1矩形 ABCD BCL AB, a PB BC, PAL AC,即 PBCft PAC以PC為斜邊的直角三角形，.AN =1PC=BN ,又M為AB的中點(diǎn)， MNL2AB.v AD CD PD! CD.；/PDAJ所求二面角的平面角，即/ PDA書.設(shè) AB=a, PA=b AD=d 貝U pm = b2 +1a2，CM =Jd2 Ja244設(shè)PM=CMU由N為PC的中點(diǎn)，. MNLPC由(1)可知 MNLAB, MNfe PC與 AB的公垂線，這時(shí) PA=AD 8=45 。例3、如圖，直三棱柱

13、ABC-ABG的底面ABC為等腰直角三角形，/ ACB=90,3AC=1 C點(diǎn)到AB的距離為CE1, D為AB的中點(diǎn).2(1)求證：ABL平面CEDADB(2)求異面直線AB與CD之間的距離；(3)求二面角BiAG-B的平面角.解：(1);D是AB中點(diǎn)， AB以等腰直角三角形，/ABG=90,.GDL AB又 AA，平面 ABG GDL AA. GDI 平面 ABBA -GDL AB,又 CH AB,AB，平面 GDE(2)由 GDL 平面 ABBA .GDL DE. AB，平面 GDE - DEIAB,DE是異面直線AB與GD的公垂線段. GE吏，AG=1 , .GD42. DE(GE)2

14、-(GD)2;222(3)連結(jié) BiG,易證 BGAG 又 BdAG , /BiGB是二面角 BAG-B的平面角.ft RtAGEA, GE亭，BG=AG=1J/BiAG=60ABi =2 ,； BBi = v(ABi)2 -(AB)2 =&,cos602_B1GB = arctg , 2 .BBi c tgdB1cB2 ,BG當(dāng)然，準(zhǔn)確地作說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提 出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.例 4、在直角梯形 ABGLfr, ZA=Z D=90 , AB GD SDL平面 ABGDAB=AD=aS D=&a,在線段SA上取一點(diǎn)E （不含端點(diǎn)）使EG=AG截面G

15、DEf SB交于點(diǎn)Fo(1)求證：四邊形EFGM直角梯形； TOC o 1-5 h z (2)求二面角B-EF-G的平面角的正切值；S(3)設(shè)SB的中點(diǎn)為M當(dāng) 迫的值是多少時(shí)，能使 DMG AAB為直角三角形？請(qǐng)給出證明.EF解：(1) GD/ AB, AB二平面 SAB . . GD/ 平面 SAB /；M：、面 EFGD 面 SAB=EF,DG.CD/ EF ,.， /D =900,.GD _LAD,/又 SD 1 面 ABGDA LBSD1GD，GD_L平面 SAD . GD_LED又 EF ABGD. EFGD為直角梯形(2):CD _L平面 SAD,EF / GD,EF _L平面 S

16、ADae _Lef,de _Lef,Zaed 即為二面角 D EF G的平面角ED _GD,. Rt GDE 中 EG2 =ED2 GD2而 AG 2 =AD 2 +GD 2 且 AG =EG，ED=AD=a,jiADE 為等腰二角形， 二/aed =Zead /Jan Zaed =72,GD當(dāng) g=2時(shí)，Mm。為直角三角形.AB AB =a,. CD =2a, BD = AB2 AD2 = 2a,. BDC =45 . BC = 2a, BC _ BD ,二.SD面 ABGD ,二 SD _LBG 二 BC 面 SBD .在 iSBD 中，SD=DB,M 為 SB 中點(diǎn)，j.MD,SB.MD

17、 J_平面 SBC,MC u平面 SBC, MD J_MC，=&DMC 為直角三角形。例5,如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCEFAiBiCD中，AC與BD交于點(diǎn)E, CB與CB交于點(diǎn)F.(I)求證：AC平 BDC;解法一：(I) AAL底面ABCD則AC是AiC在底面ABCD勺射影.-. AC BD.1. AC, BD.同理 AiC DC,又 BDA DC=D,.AiC，平面 BDC(n)取 EF的中點(diǎn)H,連結(jié)BH CH2BE =BF =,.BH _ EF. 2同理CH , EF.:/BHC是二面角B - EF C的平面角.又E、F分別是AG BiC的中點(diǎn)，1.EF 一 AB1.二2,ABEF與ACEF是兩個(gè)全等的正三角形故 BH =CH =BF =. 24于是在ABCH中，由余弦定理，得cos. BHC 二 TOC o 1-5 h z _2_22BH CH - BC2BH CH6262()()-144c 6、, 62 M M4411/BHC =arccos( )-二-arccos-. 331故一面角B -EF -C的大小為n arccos. 3解法二：(I )以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C 1(0,0,1),D1(1,0,1)CA =