高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)精選題目附答案

1、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)精選題目(附答案)(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系一般地，在區(qū)間(a, b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào) 性f (x)0單調(diào)遞增f (x)0,右側(cè)f (x)0,那么f(xo)是極大值.如果在x0附近的左側(cè)f (x)0,那么f(x0)是極小化(5)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的最值一般地，如果在區(qū)間a, b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那 么它必有最大值和最小值.(6)函數(shù)最值的求法求函數(shù)y= f(x)在閉區(qū)間a, b上的最值的步驟如下：求函數(shù)v= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)的極值;將函數(shù)v= f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a), f

2、(b)比較，其中最大的一 上是最大值，最小的一個(gè)是最小值.(7)如果在區(qū)間(a, b)內(nèi)恒有f (x) = 0,則f(x)有什么特性?答：f(x)為常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.(8)在區(qū)間(a, b)內(nèi)，若f (x)0,則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立 嗎？答：不一定成立.比如y=x3在R上為增函數(shù)，但其在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零.也就是說(shuō)f (x)0是y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.(9)下圖為導(dǎo)函數(shù)y= f (x)的圖象，則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是什么？答：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)問(wèn)：(8, 3, 2,1, 3, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間： 3、一 2、1,3.(10):若函數(shù)f(x)

3、為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a, b)上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)， 則f (x)滿足什么條件？答：f僅)0(或 (x)&0).(11):若函數(shù) f(x)在(a, b)上滿足 f (x)0(或 f (x)0,則f(x)在(a, b)上為增函數(shù)；若f (x)0或f (x)0的解集對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；f (x)0,右側(cè)f (x)0時(shí)，f(xo)是 極大值；當(dāng) f (xo) = 0, 且在 xo附近的左側(cè) f (x)0時(shí)，f(xo)是 極小值.(16):導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)都是極值點(diǎn)嗎？答：不一定，如f(x) = x3, f (0)=0,但x = 0不是f(x) = x3的極值點(diǎn).所以， 當(dāng)f (x0)

4、 = 0時(shí)，要判斷x = x。是否為f(x)的極值點(diǎn)，還要看f (x)在x0兩側(cè)的 符號(hào)是否相反.(17):函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間(a, b)內(nèi)一定有極值點(diǎn)嗎？答：不一定，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，就沒(méi)有極值點(diǎn).(18):若af(x)恒成立，則a的取值范圍是什么？若a&f(x)恒成立，則a的 取值范圍是什么？答：(1)af(x)恒成立？ a/f(x)max：(2)a& f(x)恒成立？ a& f(x)mip.(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y= f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y= f (x)的圖象可能為()(2)已知f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f (x)的圖

5、象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是()Ua. (1)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象大致是()(2)函數(shù)y= f(x)在定義域R上有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù) y= f(x)的遞增區(qū)間為J遞減區(qū)間為.求證：函數(shù)f(x) = ex x1在(0, +00)內(nèi)是增函數(shù)，在(8, 0)內(nèi)是減 函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟(1)求 f (x);(2)確定f (x)在(a, b)內(nèi)的符號(hào);得出結(jié)論.In x4.試證明：函數(shù)f(x) = ：廠在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增函數(shù). x5,求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x) = x3-2x2 + x;(2

6、)f(x)=3x22lnx.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)求函數(shù)的定義域；(2)求 f (x),解不等式 f (x)0(或 f (x)0或f (x)0.當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.求下列各函數(shù)的最值.(1)f(x)= x3+3x, x -V3, 3;(2)f(x) = x2-54(x0). x.求下列各函數(shù)的最值.(1)f(x) = x3 3x2 + 6x 2, x -1,1；1(2)f(x)=2x+Sin x, x 0,2 冗.已知函數(shù) f(x) = (4x2+4ax+a2)，x,其中 a0.(1)當(dāng)a= 4時(shí)，

7、求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)問(wèn)；(2)若f(x)在區(qū)間1,4上的最小值為8,求a的化.已知函數(shù)f(x) = ax3 6ax2+b, xC 1,2的最大值為3,最小值為一29, 求a, b的值.已知 f(x) = xlnx, g(x) = x2+ax3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)對(duì)一切x (0, +8), 2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.提示：2f(x)g(x)恒成立，可轉(zhuǎn)化為2f(x) g(x)0包成立，然后利用分 離參數(shù)法求a的取值范圍.(1)a1f(x)(或 f(x)包成立？ af(x)max(或 0(其中 F(x) = f(x) g(x);(4)f(x戶g(x)恒有解？

8、 F(x)max0(其中 F(x) = f(x)g(x).a.設(shè)函數(shù) f(x) = xex x 那+ 1 +2.(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)問(wèn)；(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2 x+2恒成立，求a的取值范圍.參考答案：解：(1)由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)先增后減再增，即導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)冉正，對(duì)照選項(xiàng)，應(yīng)選 D.一 一a+b.(2)從f (x)的圖象可以看出，在區(qū)間a, 一萬(wàn)一內(nèi)，導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增;a+ b在區(qū)間 亨，b內(nèi)，導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減.a+ ba + b即函數(shù)f(x)的圖象在a, 內(nèi)越來(lái)越陡，在一2一，b內(nèi)越來(lái)越平緩，由此 可知，只有選項(xiàng)D符合.解析：選D 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0, +00)和

9、(00, 0)上都是單調(diào)遞減的，即 f (x)0；當(dāng) xC ( 8, 2)U ( 1,1)U (3,4)時(shí)，f (x)0.故函數(shù)f(x)在(0, +8)內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng) xC ( 8, 0)時(shí)，ex1,即 f (x) = ex10.故函數(shù)f(x)在(一8, 0)內(nèi)為減函數(shù).In x4.證明：由于f(x) = 丁，所以f (x) =x1.xx|n x 1-ln xx2x2由于 0 x2,所以 In xl n 20,xIn x即函數(shù)f(x) =工在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增函數(shù) x5.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,. f(x) = x3-2x2+x,f (x) = 3x24x+ 1.令 f (x)0,

10、解得 x1 或 x1.31 因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 8, 3 , (1, +).令 f (x)0,解得1x0,即 210,解得邛 x 曰，又 x0, 7岑；令 f (x)0,即 2 3： 1 0,解得 x 乎或 0 x0, . .0 x0, (x-2)20.由 f (x)0 得 x3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3, +oo);由 f (x)0 得 x0,所以f(x)在(一8,+00)上為增函數(shù).(2)當(dāng)a0時(shí)，令3x2a= 0,彳3x= 旦變. 3當(dāng) x1a或 x0; TOC o 1-5 h z 當(dāng)一vxv3a時(shí)，f (x)0時(shí)，f(x)在一,埠，號(hào)，一 上為增函數(shù)，在一埠，華

11、3333上為減函數(shù).解：(1)由已知得 f (x) = 3x2 a,因?yàn)閒(x)在(一8, +OO)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f (x) = 3x2a0在(一00 , +oo)上包成立，即a03x2對(duì)x R包成立.因?yàn)?x20,所以只需a0,f(x) = x31在R上是增函數(shù)，所以a 0在(1, 十 0)恒成立，所以a&3x2在(1, +8)恒成立，即a的取值范圍為(一00, 3.23乂2在乂 ( 1,1)恒成立.(3)由 f (x)=3x2a00 在(一1,1)上包成立，得 因?yàn)橐?x1, 所以3x23.即a的取值范圍是3, +8).(4)由例題可知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一fa, a, 33.

12、 .蹲=1,即 a = 3. 3(5)f(x) = x3ax 1,f (x)=3x2a,由 f (x) = 0,得 x= (a。)， 3.f(x)在區(qū)間(一1,1)上不單調(diào), 3a. 0-1,即 0a3.故a的取值范圍為(0,3).9.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?R.f (x)=2xe-xWeTx = x(2 x)e-x.令 f (x)=0, 得 x = 0 或 x= 2.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表：X(- 8.0)0(0*2)分(2 * +g)0十004e-2由上表可以看出，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(0)=0.4當(dāng)乂= 2時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(2) = ). e

13、- In x函數(shù)y=7的定義域?yàn)?0, +oo), xy =一令丫 =0,即=0, Wx=e.當(dāng)x變化時(shí)，y , y的變化情況如下表:X(O.e)e(e.+8)f y+0yF1/溫由表可知，當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)有極大值1. e10.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽, f (x) = x2 2x 3.令 f (x) = 0,得 x= 3或乂= -1.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表：f(x)極大值143，f(x)極小值二- 6.(一8. 1 1 )_ 10,y=f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去.當(dāng)a=2, b=9時(shí)，f (x) = 3x2+12x+ 9=3(x+ 1)(x+3).當(dāng)

14、x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表:JJ(一8 3 )-3(3 1)一 1 -1 十3)人工)+00十仆)Z10由表可知，f(x)在x= 1處取極小值且f(1) = 0. .a=2, b = 9.12.解：f (x)=3ax2+2bx+ c,法一：x= 1是函數(shù)的極值點(diǎn),x= 1 是方程 3ax2+ 2bx+ c= 0 的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系知2b二0,3a又 f(1)=1, . .a+b+c= 1, 13由解得a = 2，b = 0, c= - 2.法二：由 f (1) = f(1) = 0,得 3a+ 2b+c= 0,3a2b+c= 0,又 f(1)=1, . .a+b+c

15、= 1,3由斛得a = 2，b = 0, c=一，.1333 3(2)f(x) = 2x32x, . f (x) = /x2 2 = 2(x1)(x+1).當(dāng) x1 時(shí) f (x)0 ,當(dāng)一1x1 時(shí)，f (x)0.，函數(shù) f(x)在(一0, 1)和(1, +oo)上是增函 數(shù)，在(1,1)上是減函數(shù).當(dāng)x= 1時(shí)，函數(shù)取得極大值，x= 1為極大值 點(diǎn)；當(dāng)x= 1時(shí)，函數(shù)取得極小值，x=1為極小值點(diǎn).解：f (x) = 3(x2a)(aw0),當(dāng) a0 包成立，即函數(shù)在( 00 , +00)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有極值；當(dāng)a0時(shí)，令f (x) = 0,得x= Va 或乂=也.當(dāng)x變化時(shí)，f (

16、x)與f(x)的變化情況如下表：Ioof (一石y/a)而(7* + 8)八工)+00+人百)；f(x)的極大值為 f( g) = 2aja+ b,極小值為 f(Va)=-2aVa+b. 一1。.解：(1)當(dāng) m= 1 時(shí)，f(x)= -x3 + x2, f (x) = x2+2x,故 f (1)=1.所3以曲線y= f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線的斜率為1.x= 1 m或x= 1 + m.因?yàn)?m0,(2)f(x) = x2+2x+ m21.令f (x)=0,解得所以1+ m1 m.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表:X(一OO q1 一 m)1 m;,1 + m)1

17、+加(+ 日1 q/(x)0十0y ( 1 一m )/(1+ zn)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 1 m), (1 + m, +8),遞增區(qū)間為(1 m,1 + m).函數(shù)f(x)在x= 1 m處取得極小值f(1 m),且f(1 m)=-2m3 + m2-1. 332 o c 1函數(shù) f(x)在 x=1 + m 處取得極大值 f(1 + m),且 f(1 + m) = .m3+m2 .33.解：(1)f(x) = 3 3x2=3(1x)(1+x).令 f (x) = 0,得 x= 1 或 x= 1 ,當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表:-Q(yy -i)1(-M)i

18、(1,3)30+0a小值極大值-18所以乂= 1和x=1是函數(shù)在3上的兩個(gè)極點(diǎn),且 f(1)=2, f(1)= 2.又因?yàn)閒(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的取值為f( #) = 0, f(3)=18.所以f(x) max= 2, f(x)min = - 18.54 ., 一(2)f (x) = 2x+ 7令 f (對(duì)=0得乂= -3.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表:JC-3( 3+0)0+極小值所以乂= 3時(shí)，f(x)取得極小值，也就是最小值，故f(x)的最小值為f(3) = 27,無(wú)最大值.解：(1)f(x) = 3x2 6x+ 6=3(x2 2x+ 2) = 3(x1) .或xC(

19、2, +00),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)可為0,占和(2,+8).5 + 3,因?yàn)閒 (x)在 1,1內(nèi)恒大于0,所以f(x)在1,1上為增函數(shù).故乂= 1時(shí)，f(x)取最小值為12,x= 1時(shí)，f(x)取最大值為2.一， 1 一 “一，(2)f (x) = 2+coSx,令 f (x) = 0,又xC 0,2冗解得x= 2t%c x=察 33計(jì)算得 f(0) = 0, f(2 冗今冗，f 爭(zhēng)=3+ ，f 4f =2f-43.所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最小值f(0) = 0;當(dāng)x= 2幾時(shí)，f(x)有最大值f(2兀壬兀2 5x-2 x-2.一，2(2)f(x) =10 x+ a 2x+ a

20、- ,a0,得 xC 0,-aa a .當(dāng)xC 0,一記時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x - , 2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xa. 一2，+00時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.易知 f(x) = (2x+a)2m0,且 f I = 0. a當(dāng)一a01,即一20a0時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為f(1),由f(1) = 4 + 4a+ a2 = 8,得a=魏一2,均不符合題意. . a 一. 1 a 4當(dāng)1a04,即一80a 2時(shí)，此時(shí)54,即a0,且x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表：1(-1*0)0(。2/+0/(T)7a + b/b-16a +6由表可知，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得極大值，也就是函數(shù)在1,2上的最大值， .f(0)=3,即 b=3.又 f(1)= 7a+3, f(2) = 16a+3f(1),.f(2)=16a+3= 29,解得 a =