高中數(shù)學(xué)例談立體幾何中的排列組合概率問題專題輔導(dǎo)

1、高中數(shù)學(xué)例談立體幾何中的排列組合概率問題張世林譚升平在近幾年的高考試題中，出現(xiàn)了以立體幾何中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合、概率問題。這類問題情景新穎，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯在一起，綜合性強(qiáng)，往往作為高考 選擇填空題的壓軸題。它不僅考查了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且還注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué) 能力的考查。一、共面問題：分類討論例1.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面a的距離都相等，這樣的平面a共有（）A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 6個(gè)D. 7個(gè)解析：平面a可以分為兩類：一類是在平面a的兩側(cè)各有兩個(gè)點(diǎn)；另一類是在平面a的兩側(cè)分別有一個(gè)點(diǎn)和三個(gè)點(diǎn)。如圖1,設(shè)E、F、G H、M分別是AB AC AD CD BD的中點(diǎn)，過

2、E、F、G三點(diǎn)的平面a滿足題意，這樣的平面有4個(gè)；又過E、F H M的平面a也滿足題意，這樣的平面有3個(gè)。故適合題設(shè)的平面a共有7個(gè)，應(yīng)選Do例2.在四黏t P ABCD43,頂點(diǎn)為巳從其他的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取 點(diǎn)P在同一平面上，不同的取法有（）種。A. 40B. 48C. 56D. 623個(gè)，使它們和圖2解析：如圖2,滿足題設(shè)的取法可分為三類：（1）在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有4父C53 = 40 （種）不同的取法；（2）在兩個(gè)對(duì)角面上除點(diǎn) P外任取3點(diǎn)，共有2MC： =8 （種）不同的取法；（3）過點(diǎn)P的每一條棱上的三點(diǎn)和與這條棱異面的棱的中點(diǎn)也共面，共有 4父C； =8 （

3、種）不同的取法。故不同的取法共有40+8 + 8 =56 （種）。點(diǎn)評(píng)：這類問題應(yīng)根據(jù)立體圖形的幾何特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，做到分類既不重 復(fù)，也不遺漏。在例 2中，最容易漏掉的是第（3）類，最易重復(fù)的也是第（3）類。15條，其中異面直線有（18 對(duì)24 對(duì)30 對(duì)36 對(duì)二、異面問題：靈活轉(zhuǎn)化例3.過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共解析：大家知道一個(gè)三棱錐可以確定（個(gè)）三棱錐，則共有 36對(duì)異面直線。3對(duì)異面直線，一個(gè)三棱柱可以組成 C4 - 3 = 12 故選 D。點(diǎn)評(píng)：利用熟知的立體圖形來靈活轉(zhuǎn)化，是處理異面直線配對(duì)問題的常用方法。例4.四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產(chǎn)品， 有公共點(diǎn)的

4、兩條棱所代表的化工產(chǎn) 品在同一倉(cāng)庫(kù)中存放是危險(xiǎn)的，沒有公共點(diǎn)的棱所代表的化工產(chǎn)品在同一倉(cāng)庫(kù)中存放是安全的?，F(xiàn)有編號(hào)為的四個(gè)倉(cāng)庫(kù)，用來存放這8種化工產(chǎn)品，則安全存放的不同方法總數(shù)為（A. 96B. 48D. 0解析：如圖C. 24&32圖33,分別用18標(biāo)號(hào)的表示8種不同的化工產(chǎn)品，易知可以兩兩放入同一倉(cāng)庫(kù)的情況如下（其實(shí)就是異面直線配對(duì)）：（2, 6）、 （ 3, 7）、 （4, 8） ” 和“（1, 8）、（2,5）、（3,6）、（4,7）”兩種可能，故所求的方法總數(shù)為2A4=48 （種），應(yīng)選Bo點(diǎn)評(píng)：這道實(shí)際應(yīng)用題用四棱錐的8條棱的關(guān)系來研究化工產(chǎn)品的存放種數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想。同學(xué)

5、們?cè)诮鉀Q問題時(shí)，首先要將問題轉(zhuǎn)化為四棱錐的組合情況，然后再把四棱錐的8條棱分成4對(duì)異面直線。8條棱之間的排列、綜合問題：化整為零，各個(gè)擊破例5.以平行六面體 ABCD - A1B1c1D1的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出2個(gè)三角形，則這A.空3852個(gè)三角形不共面的概率P為（B. %C. 192385385D.出385解析：此問題可分解成五個(gè)小問題：（1）由平行六面體的 8個(gè)頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形？可組成C； =56 （個(gè)）三角形。（2）平行六面體的8個(gè)頂點(diǎn)中，4點(diǎn)共面的情形共有多少種?平行六面體的6個(gè)面加上6個(gè)對(duì)角面，共12個(gè)平面。(3)在上述12個(gè)平面內(nèi)的每個(gè)四邊形中共面的三角形有多少個(gè)？有C： =4 (個(gè))(4)從56個(gè)三角形中任取 2個(gè)三角形共面的概率 P等于多少？2 TOC o 1-5 h z 口 12 C：18P2C56385(5)從56個(gè)三角形中任取 2個(gè)三角形不共面的概率 P等于多少?利用求對(duì)立事件概率的公式，得P = 1 28_ = 翌。 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 385385故選Ao點(diǎn)評(píng)：這道題以立體幾何熟知內(nèi)容為載體，構(gòu)思巧妙，綜合考查立體幾何、排列組合、 概率等基礎(chǔ)知識(shí)，深入考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力。本題的得分率較低，同學(xué)們的主要失誤表現(xiàn)在以下兩方面：分解為若干