高中物理競賽輔導(dǎo)教程動量角動量和能量

1、動量角動量和能量動量與沖量動量定理1. 1 .動量在牛頓定律建立以前，人們?yōu)榱肆慷任矬w作機(jī)械運(yùn)動的“運(yùn)動量”，引入了動量的概念。 當(dāng)時(shí)在研究碰撞和打擊問題時(shí)認(rèn)識到：物體的質(zhì)量和速度越大，其“運(yùn)動量”就越大。物體 的質(zhì)量和速度的乘積 mv遵從一定的規(guī)律，例如，在兩物體碰撞過程中，它們的改變必然是數(shù) 值相等、方向相反。在這些事實(shí)基礎(chǔ)上，人們就引用mv來量度物體的“運(yùn)動量”，稱之為 動量。1 . 2.沖量要使原來靜止的物體獲得某一速度，可以用較大的力作用較短的時(shí)間或用較小的力作用 較長的時(shí)間，只要力 F和力作用的時(shí)間 At的乘積相同，所產(chǎn)生的改變這個(gè)物體的速度效果就 一樣，在物理學(xué)中把 F&叫做沖量

2、。1.3.質(zhì)點(diǎn)動量定理由牛頓定律，容易得出它們的聯(lián)系：對單個(gè)物體：F 坳=maAt = mAv = mv - mv0FAt = Pp即沖量等于動量的增量，這就是 質(zhì)點(diǎn)動量定理。在應(yīng)用動量定理時(shí)要注意它是矢量式，速度的變化前后的方向可以在一條直線上，也 可以不在一條直線上，當(dāng)不在一直線上時(shí)，可將矢量投影到某方向上，分量式為：Fxt = mvtx - mvox Fy t = m% - mv0y Fzt = mvtz - m%z對于多個(gè)物體組成的物體系，按照力的作用者劃分成內(nèi)力和外力。對各個(gè)質(zhì)點(diǎn)用動量 定理：第 1個(gè)l1#+l1,=m1v1t -m1v10第 2個(gè)I2外+L=m2V2tm2V20a鼻

3、第 n 個(gè)1n 外+lnmnvnt -mnvn0由牛頓第三定律：11內(nèi)+12內(nèi)+ + n內(nèi)=0因此得到：I1 外+I2 外 + + In#= (m1v1t + m2V2t+mnVnt) ( m1v10+m2 V20+ mnvn0 ) 即：質(zhì)點(diǎn)系所有外力的沖量和等于物體系總動量的增量。4, 2角動量 角動量守恒定律動量對空間某點(diǎn)或某軸線的矩，叫動量矩，也叫 角動量。它的求法跟力矩完全一樣，只要把力F換成動量P即可，故B點(diǎn)上的動量P對原點(diǎn)O的動量矩J為j =r 父 P(= OB)以下介紹兩個(gè)定理：.角動量定理：質(zhì)點(diǎn)對某點(diǎn)或某軸線的動量矩對時(shí)間的微商，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力對比同點(diǎn)或同軸 的力矩，即

4、dJ n”dt二M(M為力矩)。.角動量守恒定律如果質(zhì)點(diǎn)不受外力作用，或雖受外力作用，但諸外力對某點(diǎn)的合力矩為零，則對該點(diǎn)來講，質(zhì)點(diǎn)的動量矩J為一恒矢量，這個(gè)關(guān)系叫做角動量守恒定律即r x F=0,則J=r x mv=rx P=恒矢量4.3動量守恒定律動量守恒定律是人們在長期實(shí)踐的基礎(chǔ)上建立的，首先在碰撞問題的研究中發(fā)現(xiàn)了 它，隨著實(shí)踐范圍的擴(kuò)大，逐步認(rèn)識到它具有普遍意義，對于相互作用的系統(tǒng)，在合外力為零的情況下，由牛頓第二定律和牛頓第三定律可 得出物體的總動量保持不變。即：mvit+m2V2t + + mnvn=mV；+ mX +mnV；上式就是動量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。應(yīng)用動量守恒定律應(yīng)注

5、意以下幾點(diǎn)：(1)動量是矢量，相互作用的物體組成的系統(tǒng)的總動量是指組成物體系的所有物體的動 量的矢量和，而不是代數(shù)和，在具體計(jì)算時(shí)，經(jīng)常采用正交分解法，寫出動量守恒定律的分 量方程，這樣可把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，(2)在合外力為零時(shí)，盡管系統(tǒng)的總動量恒定不變，但組成系統(tǒng)的各個(gè)物體的動量卻可 能不斷變化，系統(tǒng)的內(nèi)力只能改變系統(tǒng)內(nèi)物體的動量，卻不能改變系統(tǒng)的總動量。在合外力 不為零時(shí)，系統(tǒng)的總動量就要發(fā)生改變，但在垂直于合外力方向上系統(tǒng)的動量應(yīng)保持不變， 即合外力的分量在某一方向上為零，則系統(tǒng)在該方向上動量分量守恒。(3)動量守恒定律成立的條件是合外力為零，但在處理實(shí)際問題時(shí)，系統(tǒng)受到的合外力

6、不為零，若內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，我們?nèi)钥梢园阉?dāng)作合外力為零進(jìn)行處理，動量守恒定律成 立。如遇到碰撞、爆炸等時(shí)間極短的問題時(shí)，可忽略外力的沖量，系統(tǒng)動量近似認(rèn)為守恒。(4)動量守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，牛頓定律對于分子、原子等微觀粒子一般 不適用，而動量守恒定律卻仍適用。因此，動量守恒定律是一條基本規(guī)律，它比牛頓定律具 有更大的普遍性。動量守恒定律的推廣由于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系在不受外力的作用時(shí)，它的總動量是守恒的,所以一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運(yùn)動狀態(tài)，這個(gè)討論包含了三層含意：所以B滑到槽A的右邊最高端時(shí)，A的位移為(圖4-3-2 )2s_ 2mB mA mB如果原來A、B一起以速度V向右運(yùn)動，用

7、膠水將B粘在槽A左上端，某一時(shí)刻膠水突然失效，B開始滑落，仍然忽略一切摩擦。設(shè)從B脫落到B再次與A相對靜止的時(shí)間是t,那么(1)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來是不動的，那么 在無外力作用的條件下，它的質(zhì)心始終不動，即位置 不變。(2)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來是運(yùn)動的，那么 在無外力作用的條件下，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心將以原來 的速度做勻速直線運(yùn)動。(3)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在某一個(gè)外力作用下 作某種運(yùn)動，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運(yùn)動。比 如某一物體原來做拋體運(yùn)動，如果突然炸成兩塊，那 么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來的拋體運(yùn)動。如果一個(gè)質(zhì)量為mA的半圓形槽A原來靜止在水 平面上，原槽半徑為 R。將一個(gè)質(zhì)

8、量為 mB的滑塊B由 靜止釋放(圖4-3-1 ),若不計(jì)一切摩擦，問 A的最大 位移為多少？由于A做的是較復(fù)雜的變加速運(yùn)動，因此很難 用牛頓定律來解。由水平方向動量守恒和機(jī)械能守恒， 可知B一定能到達(dá)槽A右邊的最高端，而且這一瞬間A、 B相對靜止。因?yàn)?A、B組成的體系原來在水平方向的 動量為零，所以它的質(zhì)心位置應(yīng)該不變，初始狀態(tài)A、B的質(zhì)心距離圓槽最低點(diǎn)的水平距離為：mBs 二RmumB這段時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動了多少距離？B脫落后，A將開始做變加速運(yùn)動，但 A、B兩物體的質(zhì)心仍然以速度 V向右運(yùn)動。所以 在t時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動的距離為：L = vt -2mBmAmBA B 4.4 功和功率4. 4. 1功

9、的概念力和力的方向上位移的乘積稱為功。即W =Fscos8式中是力矢量F與位移矢量s之間的夾角。功是標(biāo)圖 4-4-1量，有正、負(fù)。外力對物體的總功或合外力對物體所做功等于各個(gè)力對物體所做功的代數(shù)和。對于變力對物體所做功，則可用求和來表示力所做功，即W = EF-sicosF也可以用F=F (s)圖象的“面積”來表示功的大小，如圖 4-4-1所示。由于物體運(yùn)動與參照系的選擇有關(guān)，因此在不同的參照系中，功的大小可以有不同 的數(shù)值，但是一對作用力與反作用力做功之和與參照系的選擇無關(guān)。因?yàn)樽饔昧Ψ醋饔昧ψ?功之和取決于力和相對位移，相對位移是與參照系無關(guān)的。值得注意的是，功的定義式中力F應(yīng)為恒力。如F

10、為變力中學(xué)階段常用如下幾種處理方 法：(1)微元法；(2)圖象法；(3)等效法。4. 2.幾種力的功0 X2 Xi (a)圖 4-4-2下面先介紹一下“保守力”與“耗散力”。具有“做功與路徑無關(guān)”這一特點(diǎn)的力稱為保守力，如 重力、彈力和萬有引力都屬于保守力。不具有這種特點(diǎn)的力稱為所以從高度非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。(1)重力的功重力在地球附近一個(gè)小范圍內(nèi)我們認(rèn)為是恒力,hi處將重力為 mg的物移到高h(yuǎn)2處。重力做功為：Wc =mg(h2 -%),顯然與運(yùn)動路徑無關(guān)。(2)彈簧彈力的功物體在彈簧彈力 F=-kx的作用下，從位置xi運(yùn)動至位置x2 ,如圖4-4-2 (a)所示，其彈力變化F=

11、F (x)如圖4-4-2(b)所示則該過程中彈力的功W可用圖中斜線“面積”表示，功大小為 TOC o 1-5 h z kx1(1x2), x1,21 ,2W(x2- x1) kx1- kx22222的過程中,(3)萬有引力的功質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在另一質(zhì)量 M的質(zhì)點(diǎn)的作用下由相對距離r1運(yùn)動至相對距離引力所做功為1、 GMm GMmW - -GMm (-):r1 22 r14. 3.功率作用于物體的力在單位時(shí)間內(nèi)所做功稱為功率，表達(dá)式為c WP 二 t求瞬時(shí)功率，取時(shí)間 At T 0則為W F scosu-P = Iim = = Iim = F vcos1JoLtLJ0 Lt式中v為某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，

12、 日為此刻v與F方向的夾角4. 5 動能 動能定理4. 5. 1 .質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)以速度v運(yùn)動時(shí)，它所具有動能 巳為：匚12Ek =-mv2動能是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)狀態(tài)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)動能發(fā)生變化時(shí)，是由于外力對質(zhì)點(diǎn)做了功，其 關(guān)系是：W供b= L EK - EK1 - EK2上式表明外力對質(zhì)點(diǎn)所做功，等于質(zhì)點(diǎn)動能的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)動能定理。4. 5. 2.質(zhì)點(diǎn)系動能定理（外Ni個(gè)質(zhì)點(diǎn)用質(zhì)點(diǎn)動能定理若質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)都會受到來自于系統(tǒng)以外的作用力 力）和系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)對它作用力（內(nèi)力），在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，這些力都將做功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，選取適當(dāng)?shù)膽T性系，對其中第 TOC

13、o 1-5 h z 1212W +W _2 miVi2 一 2 mMii外+ i內(nèi)=22對所有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動能定理求和就有2 i1J 2 J心 二 2mM2 mNL i外+乙v 內(nèi)=22_ 12_ 12.W LW - -miVi2 二 mNi1若用W外、Wj、Ek2、Ek1分別表不 -i外、i內(nèi)、 2、2則上式可寫成w卜+亞內(nèi)=2-ek1由此可見，對于質(zhì)點(diǎn)系，外力做的功與內(nèi)力做的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系動能的增量，這就是 質(zhì)點(diǎn)系動能定理。和質(zhì)點(diǎn)動能定理一樣，質(zhì)點(diǎn)系動能定理只適用于慣性系，但質(zhì)點(diǎn)系動能定 理中的W內(nèi)一項(xiàng)卻是和所選的參照系無關(guān)的，因?yàn)閮?nèi)力做的功取決于相對位移，而相對位移和 所選的參照系是無關(guān)

14、的。這一點(diǎn)有時(shí)在解題時(shí)十分有效。6勢能6. 1勢能若兩質(zhì)點(diǎn)間存在著相互作用的保守力作用，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相對位置發(fā)生改變時(shí)，不管 途徑如何，只要相對位置的初態(tài)、終態(tài)確定，則保守力做功是確定的。存在于保守力相互作 用質(zhì)點(diǎn)之間的，由其相對位置所決定的能量稱為質(zhì)點(diǎn)的勢能。規(guī)定保守力所做功等于勢能變 化的負(fù)值，即ErW呆=P。（1）勢能的相對性。通常選定某一狀態(tài)為系統(tǒng)勢能的零值狀態(tài)，則任何狀態(tài)至零勢能狀態(tài)保守力所做功 大小等于該狀態(tài)下系統(tǒng)的勢能值。原則上零勢能狀態(tài)可以任意選取，因而勢能具有相對性。(2)勢能是屬于保守力相互作用系統(tǒng)的，而不是某個(gè)質(zhì)點(diǎn)獨(dú)有的。(3)只有保守力才有相應(yīng)的勢能，而非保守力沒有與之相應(yīng)

15、的勢能。6. 2常見的幾種勢能(1)重力勢能在地球表面附近小范圍內(nèi)，mg重力可視為恒力，取地面為零勢能面，則 h高處重物 m的重力勢能為Ep =mgh(2)彈簧的彈性勢能x時(shí)，彈力F=-kx ,彈力做的取彈簧處于原長時(shí)為彈性勢能零點(diǎn)，當(dāng)彈簧伸長(壓縮) 功為2W 一 kx2由前面保守力所做功與勢能變化關(guān)系可知Er = 1 kx2W =-.：EP = -(EP -0) Ep 2kX(3)引力勢能兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M m相距無窮遠(yuǎn)處，規(guī)定 Ep0 =0,設(shè)m從無窮遠(yuǎn)處移近 M,引力做功 W由 Mm于5引=r2 ,大小隨r變化，可采用微元法分段求和方式。如圖 4-5-1 ,取質(zhì)點(diǎn)n由A到B, 位移為=1 一2

16、 ,引力做功Mmr很小，a、rB差異很小，則”， GMm .、W 二 一2- (ra -rb )二aGMm由無窮遠(yuǎn)至距r處，引力功iL 1W = = W =GMr 三(一 ri 12AW,、GMm GMm(ra rb)= - b-)ri-11=GMm()開始時(shí)初T * ,最后相對距離為W 二 GMm r 又有末=rmA* BGMm圖 4-6-1Pr質(zhì)點(diǎn)與均勻球體間引力勢能，在球體外，可認(rèn)為球體質(zhì)量集中于球心，所以引力勢能匚 GMmEp =r r R R為球半徑質(zhì)量M,半彳5為R的薄球殼，由于其內(nèi)部引力合力為零，故任意兩點(diǎn)間移動質(zhì)點(diǎn)m引力均不做功，引力勢能為恒量，所以質(zhì)量m質(zhì)點(diǎn)在薄球殼附近引力勢

17、能為r _ Rr : RGMm2mg,即可保證在任何情況下都能拉動木塊。設(shè)物體的初始位置為 x。，在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在 此過程中，外部有力 F做功，內(nèi)部有非保守力 f做功，木塊的動能增量為零，所以根據(jù)物體 系的功能原理有 TOC o 1-5 h z 1.21 .2F(x -x0) - - mg(x -x0) = kxkx022L I 1,、F _ 1 mg = 2 k(x x0)可得2（F-mg）x ：x0k因?yàn)槟緣K一開始靜止，所以要求Lmgmgk x0 k可見，當(dāng)木塊再次靜止時(shí)，彈簧可能的伸長是Jmg3mgk x（ mi +m2）g。當(dāng)f=（ mi +m2）g時(shí)

18、, 剛好能出現(xiàn)B對地?zé)o壓力的情況，但 B不會離開地面；當(dāng) F （ mi +m2）g時(shí)，B將出現(xiàn)離開地面向上跳起的情況。4. 8碰撞質(zhì)量mi和m2的兩個(gè)物塊，在直線上發(fā)生對心碰撞， 碰撞前后速度分別為 。和血。及V1和v ,碰撞前后速度在一條直線上，由動量守恒定律得到mivio+ m2V2。= miVi + m2V2根據(jù)兩物塊在碰撞過程中的恢復(fù)情況，碰撞又可分類為下列幾種(1)彈性碰撞在碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，由動能守恒有 TOC o 1-5 h z 12121212-m1V10-m2V20=-m1V1-m2V22222結(jié)合動量守恒解得m1 - m22m2V1 =V10 ,V

19、 20m1m2m1m22m2m2一 色V2 =V10 V20m m2m1m?對上述結(jié)果可作如下討論 m1 =m2,則 V1 =V20 , V2 =V10,即 m1m2 交換速度。若色m2,且有V20=0,則V1之V10 ,v2北2V10即質(zhì)量大物速度幾乎不變，小物以二倍于大物速度運(yùn)動。若m1V V m2,且V20=0,則V1 =一0 v2電0,則質(zhì)量大物幾乎不動，而質(zhì)量小物原 速率反彈。(2)完全非彈性碰撞兩物相碰粘合在一起或具有相同速度，被稱為完全非彈性碰撞，在完全非彈性碰撞中， 系統(tǒng)動量守恒，損失機(jī)械能最大。m1Vl0 m2V20 = (m1 m2)vm1V10m2 V20v u TOC

20、o 1-5 h z m1m2碰撞過程中損失的機(jī)械能為mw1021m2V202 -h1m2)v2222/ m1m221()(V10 -V20)ml m2(3 ) 一般非彈性碰撞，恢復(fù)系數(shù)一般非彈性碰撞是指碰撞后兩物分開，速度 5且碰撞過程圖 4-9-1中有機(jī)械損失，但比完全非彈性碰撞損失機(jī)械能要小。物理學(xué)中用恢復(fù)系數(shù)來表征碰撞性質(zhì)?；謴?fù)系數(shù)e定義為V2 - %e =v10 - v20彈性碰撞，e=1。完全非彈性碰撞v2 =vi, e=0o一般非彈性碰撞 0v e v 1。(4) 斜碰兩物碰撞前后不在一條直線上，屬于斜碰，如圖 4-9-1所示設(shè)兩物間的恢復(fù)系數(shù)為e,設(shè)碰撞前m1、m2速度為。、v2

21、。，其法向、切向分量分別為v10n、V20n、v10TV20L碰后分離速度v1、v2,法向、切向速度分量皿、必，則有v2n -v1ne 二若兩物接觸處光滑，則應(yīng)有 m1、m2切向速度分量不變血=必a、v2t=v207若兩物接觸處有切向摩擦，這一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供 的切向沖量便不可忽略。4.9 質(zhì)心及質(zhì)心運(yùn)動4. 9. 1質(zhì)心及質(zhì)心位置任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系中都存在著一個(gè)稱為質(zhì)心的特殊點(diǎn)，它的運(yùn)動與內(nèi)力無關(guān)，只取決于 外力。當(dāng)需要將質(zhì)點(diǎn)組處理成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，它的質(zhì)量就是質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量。當(dāng)需要確定質(zhì)心 的運(yùn)動時(shí)，就設(shè)想把質(zhì)點(diǎn)組所受的全部外力集中作用在質(zhì)心上。注意：質(zhì)心是一個(gè)假想

22、的質(zhì)點(diǎn)。設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量、位置分別記作mi、n,質(zhì)量組質(zhì)心記為c,則質(zhì)量、位置。me mi在x、y、z直角坐標(biāo)系中，記錄質(zhì)心的坐標(biāo)位置為XeJmi xi三miye三 mi V-miZe三 miZiZmi4. 9. 2、質(zhì)心的速度、加速度、動量re Zmi. ri /. t Zmi vi vc = =質(zhì)心速度&Zmi-mi ,在空間直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心速度可表達(dá)為三mi三 Ei ViyVcy =三mi三mi VizVcz =Zmi 質(zhì)心的動量Pmc, Vi =工miVi質(zhì)心的動量等于質(zhì)點(diǎn)組中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和。 質(zhì)心的加速度a TOC o 1-5 h z Li-mi:Vc.；iimi3i

23、ac =：t imi Zmiac三匕三mi干mc由上式可見，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組所受合外力為零時(shí)，質(zhì)心將保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)。 同樣，質(zhì)點(diǎn)組的動量定理也可表述為Ii =m/c2 - mcVci外力的沖量的矢量和等于質(zhì)心動量的增量。4. 9. 3、質(zhì)心的動能與質(zhì)點(diǎn)組的動能以二個(gè)質(zhì)點(diǎn)為例，質(zhì)量ml、m2兩質(zhì)點(diǎn)相對于靜止參照系速度 5、V2 ,質(zhì)心C的速度VC ,二質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心速度是V1和V2 ,可以證明有Ekmw2m2V2222二1 mcV:m1V1: m2 V2222Ek=Ekc Ek即二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總動能等于質(zhì)心的動能與兩質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心動能之和。4. 10天體的運(yùn)動與能量4. 10. 1、天體運(yùn)動的

24、機(jī)械能守恒二體系統(tǒng)的機(jī)械能 E為系統(tǒng)的萬有引力勢能與各天體的動能之和。僅有一個(gè)天體在運(yùn)動時(shí)，則E為系統(tǒng)的萬有引力勢能與其動能之和。由于沒有其他外力作用，系統(tǒng)內(nèi)萬有引力屬于保守力，故有機(jī)械能守恒，E為一恒量，如圖4-10-1所示，設(shè)M天體不動，m天體繞M天體轉(zhuǎn)動，則由機(jī)械動能守恒，有 TOC o 1-5 h z l -GMm 12-GMm 12E 二-mv1 二 -mv2r12r22當(dāng)運(yùn)動天體背離不動天體運(yùn)動時(shí)，EP不斷增大，而EK將不斷減小，可達(dá)無窮遠(yuǎn)處，此時(shí)Ep =0而Ek 0,則應(yīng)滿足E0,即-GMm例如從地球發(fā)射人造衛(wèi)星要掙脫地球束縛必有-GMm 12_0-mv2GM=/2Rg = 11

25、.2 km sR 2(ab)我們稱v=11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為 收倍。另外在上面的二體系統(tǒng)中，由于萬有引力屬于有心力，所以對m而言，遵循角動量守恒mv r =恒量或 mvr sin 6 =恒量配丫與方向的夾角。它實(shí)質(zhì)可變換得到開普勒第二定律， 即行星與恒星連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過面積等。4. 10. 2、天體運(yùn)動的軌道與能量若M天體固定，m天體在萬有引力作用下運(yùn)動，其圓錐曲線可能是橢圓(包括圓)、拋物 線或雙曲線。i)橢圓軌道如圖4-7-1所示，設(shè)橢圓軌道方程為2 L b22. 2則橢圓長，短半軸為 a、b,焦距c = *a -b ,近地點(diǎn)速度 5 遠(yuǎn)地點(diǎn)速度 % 則有

26、2 GMm 12 GMmE 二 - mv1 二 mv2 a - c 2 a cmv1 (a c)= mv2 (a c)或由開普勒第二定律：1,、1,、v(a -c) =-V2(a c)22可解得V = , (a c)GM /(a -c) aE得GMm -0代入v2 =-/(a -c)GM /(a c)2aii）拋物線設(shè)拋物線方程為y 二 Ax2太陽在其焦點(diǎn)匚12E = mv020,41AGMm)處,1m在拋物線頂點(diǎn)處能量為-4AGMm2A ,則有iiimv02/=所示，其漸近線OE方程為y=bx/a ,考慮m在D處與無窮遠(yuǎn)處關(guān)系，有E = 1 mv022GMm1 22 mv二可以證明拋物線頂點(diǎn)

27、處曲率半徑Vo - -：?8AGM拋物線軌道能量1-m (8AGM ) -4AGM =02)雙曲線設(shè)雙曲線方程為 22L =1 a2 b2焦距c = 7a2 +b2 ,太陽位于焦點(diǎn)（C, 0）,星體m在雙曲線正半支上運(yùn)動。如圖4-10-3FC故有12vD=cb/ a2 b2 = b考慮到當(dāng)r- g,運(yùn)動方向逼近漸近線，焦點(diǎn)與漸近線距FC為(c -a) = 1v- b,、，2 - 或 mvD(c a) = mg b聯(lián)解得v -= GM / ab GMVd =ic - a a雙曲線軌道能量l GMm -E =02a小結(jié)GMm - 0 2aGMm 八 02a橢圓軌道拋物線軌道雙曲線軌道以下舉一個(gè)例子

28、質(zhì)量為m的宇宙飛船繞地球中心 0作圓周運(yùn)動，已知地球半徑為R飛船軌道半徑為 2R?，F(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的新軌道上，如圖 4-10-4所示，求(1)轉(zhuǎn)移所需的最少能量；(2)如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的ACB所示，則飛船在兩條軌道的交接處A和B的速度變化*Va和*Vb各為多少？解：(1)宇宙飛船在2R軌道上繞地球運(yùn)動時(shí)，萬有引力提供向心力，令其速度為 vi,乃有2GMm _ mv1(2R)2 2R故得GMVi,2R圖 4-10-4此時(shí)飛船的動能和引力勢能分別為k112= 2mv1GMm4Rp1GMm2R所以飛船在2R軌道上的機(jī)械能為Ei =Eh . Ep1GMm4R同理

29、可得飛船在 4R軌道上的機(jī)械能為以兩軌道上飛船所具有的機(jī)械能比較，知其機(jī)械能的增量即為實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移所需的最少 能量，即 E = E2 - EiGMm8R(2)由(1)已得飛船在2R軌道上運(yùn)行的速度為GM“一 2R同樣可得飛船4R軌道上運(yùn)行的速度為設(shè)飛船沿圖示半橢圓軌道 ACB運(yùn)行時(shí)，在 A B兩點(diǎn)的速度分別為 第二定律可得vi 2R = V2 4R又由于飛船沿此橢圓軌道的一半運(yùn)行中機(jī)械能守恒，故應(yīng)有V1和V2。則由開普勒122mviGMm2R12=mv22GMm4R聯(lián)立以上兩式解之可得2GMm一 3R2GMm3R故得飛船在A、B兩軌道交接處的速度變化量分別為例如：三個(gè)鋼球 A、B C由輕質(zhì)的長

30、為l的硬桿連接，豎立在水平面上，如圖4-10-5 所示。已知三球質(zhì)量mA=2m,5.2_a =1mB - me - m距離桿 8處有一面豎直墻。因受微小擾動， 兩桿分別向兩邊滑動，使 B球豎直位置下降。致使 C球與墻面發(fā)生碰圖 4-10-5撞。設(shè)C球與墻面碰撞前后其速度大小不變，且所有摩擦不計(jì)，各球的直徑都比 B球落地瞬間三球的速度大小。解：(1)球碰墻前三球的位置視A、日C三者為一系統(tǒng)，A、C在水平面上滑動時(shí)， 只要C不與墻面相碰，則此系統(tǒng)不受水平外力作用，此系統(tǒng) 質(zhì)心的水平坐標(biāo)不發(fā)生變化。以圖4-10-6表示C球剛好要碰墻前三球的位置，以a表示此時(shí)BC桿與水平面間的夾角， 則AB桿與水平面

31、間的夾角也為 a,并令BA桿上的M點(diǎn)與系 統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標(biāo)相同，則應(yīng)有l(wèi)小很多，求1 l MB = AB =故得圖 4-10-7由上述知M點(diǎn)的水平坐標(biāo)應(yīng)與原來三秋所在的位置的水平坐標(biāo)相同，故知此刻M點(diǎn)與右側(cè)墻面的距離即為 a,即m點(diǎn)與C球的水平距離為 a,由此有MB cosa + BC cosa = a,l5.2cosa l cosa = l482cosa =由上式解得2，故有a=45(2)求三球碰墻前的速度由于碰墻前M點(diǎn)的水平坐標(biāo)不變，則在中的幾何約束，C點(diǎn)與M點(diǎn)的水平距離總等于點(diǎn)的水平速度大小總為 A點(diǎn)水平速度大小的 的速度，則有A、C沿水平面滑動過程中的任何時(shí)刻，由于圖5A點(diǎn)與M點(diǎn)的水平距離的 3倍，可見任何時(shí)刻 c53倍。以VA、VB、Vc分別表示圖5-2-2中三球5 vc又設(shè)VB沿BC方向的分量為Vbc，則由于VB和山分別為桿BC兩端的小球速度，則此兩小 球速度沿著桿方向的投影應(yīng)該相等，即Vbc = Vc cosa o再設(shè)VB沿BA方