高中物理知識全解附錄1高中物理中常用的數(shù)學(xué)知識

1、高中物理知識全解 附錄1高中物理中常用的數(shù)學(xué)知識一：向量注意：數(shù)學(xué)向量對應(yīng)物理中的矢量（例：力、速度、加速度、位移、沖量、動量、電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等）。注意：矢量（向量）遵守平行四邊形法則（即數(shù)學(xué)向量運(yùn)算），而非數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算。（作圖求解）例：電流雖有方向，但不是矢量，因為電流不遵守平行四邊形法則。例：有兩個力 Fi=5rDF2=8N惻3NEF 13N。II技巧：x -yu x+（y）作圖求解?！纠}】如下圖所示，已知某物體的初動量為R=3kgms水平向右，末動量為P2 =4kg m/s豎直向上，求該物體前后的動量變化PP ?解；= E-耳=* = +（-月）由圖解怯可求得AP = 5植-陽,

2、方向西偏北AF = 5幅-幽/s注意：矢量運(yùn)算時，一定要選取正方向，與正方向相同的矢量取正，與正方向相反的矢量取負(fù)?！纠}】一物體做勻變速直線運(yùn)動，t=0s時刻，初速度大小為40 = 4m/S, 2s末的速度大小為仆=9m/s,求此物體的加速度？解：以6方向為正方向，則末速度上有可能與初速度方向相同，也有可能與初速度方向相反。r二=西=15壯：方向與初速度方向相同句二一9，枷卜=-654方向與初速度方向相反【例題】某物體以 30 m/s的初速度豎直上拋， 不計空氣阻力，g取10 m/s2,則5 s內(nèi)物體速 度改變了多少？解：以a方向為正方向 八t=R-at=30msO/m2s s 20ms:-

3、t - o - -20m s -30m s - -50m s二：數(shù)學(xué)函數(shù)注意：數(shù)學(xué)函數(shù)與物理公式相對應(yīng)。一次函數(shù)（圖象為直線）y = kx bk，k為斜率， 限2、k 0,增函數(shù)；k0減函數(shù)；k=0時，即y=b為過點(diǎn)（0, b）平行于x軸的直線。3、y軸上的截距為b,y軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0, b） , x軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-P ,0 ） kk= k=-注意：”表示任何直線的斜率，而 x只能表示過原點(diǎn)的直線的斜率。若某直線過原k=H = Yk=：5點(diǎn)，則該直線的斜率為Ax x ；若某直線不過原點(diǎn)，則該直線的斜率為義 x o注意：正比例關(guān)系與一次函數(shù)相區(qū)別。例：對于y=3x而言，y隨x成正比例增大

4、；但是對于y=3x+b而言，y不隨x成正比例 增大。拓展：對于物理中的y-x圖象而言，若3bx ,則圖象中某點(diǎn)切線的斜率表示b ；若 x ,則圖象中某點(diǎn)與原點(diǎn)連線的直線的斜率表示b。二次函數(shù)（圖線為拋物線）并口向上，比開口向下0枚|越大，開口越小,0越小，井口越大。對稱輒=-些頂點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)溷象與武第兩個交點(diǎn),b上壁方丁la ia3 = 口圖象與氣軸有且只有一個交點(diǎn),3 口圖莪與工釉沒有交點(diǎn)。2。、云-。三。的解為（即圖泰與若由的交點(diǎn)橫坐標(biāo)），工三一”造一三b c：.Jc + 筋=一-上、- *tB反比例函數(shù)（圖象為雙曲線）ky -,除非有特別說明是雙曲線才可以。（1）k ,0, 一、三象限，減

5、函數(shù) 性質(zhì)（2）kS = = 二（J 5相一0.0225 WO 令F = Aw： 03Am+09225并作圖如下工所以要滿足式則A桁的取值范圍為0.05 kg Am 二x= 0,3咫AfliVHU： =U故要使總耗氧量最低即出=03至，則分忙=占或=立1 = 05糖Am=f= 60。工拓展：不等式性質(zhì)：若a0，b0 ,a+b2Vab （當(dāng)a =b時式中取等號）【例題】有兩物體 A和B,分別受到兩個豎直向上的力F的作用，選取豎直向上的方向為正方向，其a-F圖象如下，忽略空氣阻力，試判定mA和mB, gA和gB的大小關(guān)系？ TOC o 1-5 h z 解二三名二三一且,由口-F圖象性質(zhì)/ /w w

6、/ eF1可以得出；工g J=g% ms【例題】一輛汽車在平直的公路上以某一初速度運(yùn)動，運(yùn)動過程中保持恒定的牽引功率，其加速度a和速度的倒數(shù)（1/v）圖象如下圖所示.若已知汽車的質(zhì)量，則根據(jù)圖象所給的信息，不能求出的物理量是（）A.汽車的功率B.汽車行駛的最大速度C.汽車所受到的阻力D.汽車運(yùn)動到最大速度所需的時間解析；由尸=F，和下一工產(chǎn)咽口得出； =，：一：,由圖象可求出圖線斜率8由標(biāo)=f，可求出汽車的功率以由圖象的縱軸截距得事/_喇_?呼5一%=-2 m s:,得：- 2=-朱!求出汽車所受阻力6，再由尸=三門孔可求出汽車運(yùn)動的最大速度%,但汽車做變加速直線運(yùn)動，無法求出汽車運(yùn)動到最大速

7、度的時間，故選D答案；D三：數(shù)列注意：對于物理中的數(shù)列問題， 一定要搞清楚哪一項是首項及數(shù)列公式中n的物理意義，理解數(shù)列公式中的各字母在物理中對應(yīng)的物理含義而后求解，若直接套用公式求解極易弄錯首項問題和n的取值問題。等差數(shù)列設(shè)首項為a1,通項為an （ nW N *）,公差為d ,則：an + an =dJan =ai +(n _1)dn(ai +an)n(n_1)dSn =nai t,22等比數(shù)列 設(shè)首項為a1,通項為an ( nW N +),公比為q ,則:an+ n十=qannl電=祁一nai(q =1)(q =1)拓展：指數(shù)運(yùn)算:a0 =1(a = 0)m n (m n)a a = a

8、ma(m_n)” =a (am)n = amnn(ava(ab)n =an bm ,。- bn總結(jié)：1、物理中有關(guān)涉及數(shù)列的題型，一定要靈活設(shè)未知數(shù)，這樣才能找到最簡單最合理的數(shù)列 關(guān)系而方便求解。2、物理中有關(guān)涉及數(shù)列的題型，對表達(dá)式有時還要靈活拆項、變項及靈活組合等使之轉(zhuǎn)化 為基本的等差數(shù)列、等比數(shù)列或等差數(shù)列和等比數(shù)列的組合形式而方便求解?！纠}】如下圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛?，F(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成8=600的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場。已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬?/p>

9、停在最低點(diǎn)處。求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于450。與=何1 qn)解：設(shè)在第打次碰撞前絕緣球的速度大小為%碰撞后絕緣球、金屬球的速度 大小分別為L和工.由于碰撞過程中動量守恒、碰撞前后動能相等，設(shè)速度向 左為正,則二 mv1;_L = 3/74- wv.! wv_1 = i jzr2 +3中弋 一 ， 一由兩式代入U二19酬解得，從式中可以看出匕是一個首項為%,公比q=*的等比數(shù)列，貝U：/=81)”/：. (&：為第1次硝f前的動能，即初始能量)絕緣球在45。與600處的重力勢能之比為；旦二蹙二空? 二 0 5的 (式中:為擺長)r E阿曲Q-cosSO )E由式知經(jīng)也

10、次碰撞后:等= (0.81)曷算出(0.8始=0.656. (0 81); =0.531,因此，經(jīng)過3次碰撞后0將小于45%【例題】如下圖所示，空間內(nèi)分布著不等寬的條形勻強(qiáng)電場區(qū)和無場區(qū)。已知電場強(qiáng)度大小為E,方向豎直向上。重力不計的帶電粒子 (m, F)從第一電場區(qū)上邊界以水平速度 1 進(jìn)入電場。已知粒子通過每個有場區(qū)和無場區(qū)的時間均為to,求：(1)粒子穿越第一電場區(qū)(2)粒子剛進(jìn)入到第n個 速度大小。的位移大小。電場區(qū)上邊界時，豎直方向分(3)粒子剛進(jìn)入到第方向的位移大小。n+1個電場區(qū)上邊界時，豎直解:（1）水平也移，二卬：，豎直位移互2 Int故粒子穿越第一電場區(qū)的位移s=&匚百=%

11、7三 TOC o 1-5 h z V “ V 04時（2）粒子剛進(jìn)入到第t個電場區(qū)上邊界時，加速時間為,二5-1用所以豎直方向分速度=祖 產(chǎn)m（3）粒子剛進(jìn)入到第昨+ 1個電場區(qū)上邊界時，加速時間為=打電豎直方向有場加速區(qū)位移5以皿.也支20/ 2m豎直方向無場區(qū)勻速位移S一更好-逆始-一3：=曳匚坐至 m 陽m 2陽所以粒子剛進(jìn)入到第打+1個電場區(qū)上邊界時，豎直方向的位移 弋 匕 成2荏-1）哂=- 3 =；-4 2m【例題】如下圖所示，一輛質(zhì)量m=2kg的平板車左端放一質(zhì)量 M=6kg的滑塊，滑塊與平板車之間的摩擦因數(shù) =02 ,開始時，平板車和滑塊以共同的速度“。=3m/s在光滑的水平面

12、上向右運(yùn)動，并與豎直墻發(fā)生碰撞，碰后小車的速度大小保持不變，但方向與原來相反， 且碰撞時間極短，設(shè)平板車足夠長，以至滑塊不會滑到平板車的右端（取g =10mz s2）,求：（1）平板車第一次與墻相碰后向左運(yùn)動的最大距離及m和M第一次與墻碰后到達(dá)平衡時的相對滑動距離。（2）平板車與墻第一次碰撞后到系統(tǒng)靜止的過程中平板車通過的總路程。解.（1）設(shè)平板車第一次與墻相碰后向左運(yùn)動的最大距離為S,5和“第一次與墻斑后到達(dá)平衡時的相對滑動距離為6,則二4V3 -= S = 0.75m%=15岫S = 2.25m(31 -用)%=(A/4fgs r = i (M -用找：i(Af-m)Up；（2）設(shè)小車與墻

13、第打-1次碰撞前的速度為,小車與墻第依次碰撞前的速度 為%則工(M -湘)u_i = (3/ - 7nM n二一口故可以看出鼻是一個首萬口1 = 3 m/s ,公比q =：的等比數(shù)列又設(shè)小車第口次碰撞后向左運(yùn)動的最大距離為5平板車與墻第一次碰撞后到系統(tǒng)靜止的過程中平板車通過的總路程為S一貝人u1c% = - mu： =S/= _ = 0.75x (_)1I故可以看出SJ是一個首項q=0.75切，公比g =9的等比數(shù)列5； =光 1叫= 也-25： = 2湖I -【例題】如下圖所示，有一段長度為L的直線被分成n段相等的部分，若在每一部分的末a端質(zhì)點(diǎn)的加速度增加 n ,若質(zhì)點(diǎn)以加速度 a由這一長度

14、的始端從靜止出發(fā)，求該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過這一長度L的末端時的瞬時速度是多大？解：假設(shè)每一小段末端為h 2. 人每一小段末端質(zhì)點(diǎn)的瞬時速率為0、 U. Vr每一小段質(zhì)點(diǎn)的加速度為張口-一n小段的長為上二則工 n始瑞同理可得：u： = 2a-（?7-l）2a-2 一二”二：7廠用.=3aL-三 nnn【例題】帶電量為q,質(zhì)量為m的粒子（重力不計）置于寬廣的勻強(qiáng)電場區(qū)域，場強(qiáng)隨時間的變化規(guī)律如下圖甲所示，當(dāng)t=0s時，把帶電粒子由靜止釋放，經(jīng)過 t=nT （n為正整數(shù)） 時, 求：（1）帶電粒子的動能。（2）帶電粒子前進(jìn)的總位移。解：（1）由圖甲可知，在仁力丁時間內(nèi)粒子被加速的時間為三（?）作帝電粒子運(yùn)動的口

15、7圖象，如上圖乙所示，設(shè)第一個周期內(nèi)的位移為漢,由口 7圖象可以看出，位移了.是一個首項為勺=匚，公差為，二結(jié)二的 8 m2w等差數(shù)列。,X _町 世1 1）厘_ 3&丁 牡式產(chǎn)呼F _的線尸眄花于52Swi 4m4 梅S 梆4tn【例題】如下圖所示，a、b、c為質(zhì)量均為m （可視為質(zhì)點(diǎn)）的完全相同的三個金屬小球，處于豎直向上的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度的大小E = 3mg/q , a、b、c三球在同一豎直線上，且ca = ab = L, b球所帶電荷量為 +q, a、c均不帶電，若 b、c兩球始終不動，a球由靜止 釋放，以后a球分別與b、c兩球多次發(fā)生相碰，則經(jīng)過足夠長的時間后（碰撞過程中機(jī)械能無

16、損失，且每次碰撞后兩球所帶電荷量相等，不計電荷間的庫侖力， 電荷q對勻強(qiáng)電場的影響可忽略） |串“b球的電荷量是多少？a球與c球第一次相碰前速度為多大？*a球在b、c間運(yùn)動的最大速度是多大？解：（1）且球分別與b. c相碰，發(fā)生電荷轉(zhuǎn)移，最終a.氏c三球帶電量相等, 即知美C）設(shè)2球與U球第一次相碰前速度為則:三22-明城加，解得二 44 gLG）經(jīng)分析小球先加速最終勻速，故小球勻速運(yùn)動時的速度最大，設(shè)為上于設(shè)小球從開始到剛好勻速的過程中電場力對小球做的功為丁，則*= E2Lx(-q + q- q +41664= 2Zxi3對a球運(yùn)用動能定理；E.2*-m或=：叫/,解得手=版E拓展工恢電勢能

17、E2 再結(jié)合能量守恒求解第三問。過a球的初位置作一條垂直于電場線的等勢線，并以該線為零勢能面，則當(dāng)小球 勻速通過該線町a(chǎn)、b, c三球電勢能的減小量等于w球動能的增加量，所以工qEL -（； EL -； EL） = 1 m- max2= max航 332四：平面幾何直線關(guān)系（兩點(diǎn)確定一條直線）兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，內(nèi)錯角相等。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。三角形全等三角形，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（注意全等三角形的判定方法）相似三角形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。（注意相似三角形的判定方法）三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊。正弦定理：=2R （E iAB。卜接圓的

18、半徑） sin A sin B sinC4、余弦定理：cosA=222b ,c _a （同理推導(dǎo)cosB及cosC的表達(dá)式） 2bc注意：上式中的三角函數(shù)數(shù)值含正、負(fù)。注意：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解三角形的有關(guān)邊、角問題。三角函數(shù)0100sin 300 =,sin 450 =,sin 600 = 22cos300 = ,cos 450 =,cos60 0222 若 ot+P =90互余，則 sina=cosP 二2tan3003, tan450 =1,tan60 3-3cot300=J3,cot450 =1,cot600 =-33卜= 若a +P =90O互余，則 tana =cotp.

19、22cosa sin a +cos a二12 222sin2： - 2sin ： cos： ,cos2： =cos : -sin : -1-2sin : - 2cos : -1sin（ 二 ） = sin 二：cos L 二 cos 二：sin :,cos（ 二 ） = cos 工 cos : + sin 工 sin :tan（:工二 I1）=tan：工 -tan :1 f tan 工 tan :-22 b人一a sin ct +bcosct = Ja +b sin（a + 中）|其中 tan 5=一（含正、負(fù)） . ab 一 _ b=:-=arctan -,aab 一一 . b . b 一一

20、 b .sin - =: - =arcsin ，cos - =： - = arccos, tan- aaaa注意：理解sino（,cosot,tan ot在單位圓中的意義。例：若“+B =1800互補(bǔ)，貝U： sina=sin,cosa =cos注意：已知一個銳角的三角函數(shù)的值可以通過畫直角三角形的方法來求這個角的其它三角函 數(shù)的值?！痉卿J角的三角函數(shù)問題還要結(jié)合單位圓確定其正、負(fù)】bsin -=.例：已知1a為銳角，且a ,則：圓過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心；弦的中垂線必過圓心。兩圓圓心的連線必過兩圓的切點(diǎn)或垂直平分公共弦。直徑所對應(yīng)的圓周角為 900。同弧所對應(yīng)的圓周角相等。同弧所對應(yīng)的

21、圓周角等于圓心角的一半。弦切角等于圓心角的一半。2圓的面積S=nR，周長C=2nR,直徑d=2R (其中R為圓的半徑)I、圓的對稱性是物理中運(yùn)用解題的重點(diǎn)。II、物理中有關(guān)涉及圓的問題要注意以下幾點(diǎn)：(1)部分圓弧問題可補(bǔ)全圓更容易看出規(guī)律和性質(zhì)而求解。(2)要注意圓的周期性問題(即圓的n次重復(fù)性問題)。(3)曲線運(yùn)動某點(diǎn)的速度方向為該點(diǎn)的切線方向，故做圓周運(yùn)動的物體在一個周期內(nèi)運(yùn)動的弧長越長則對應(yīng)的速度偏轉(zhuǎn)角(或圓心角)就越大。扇形 TOC o 1-5 h z 2 1_21l = 2： R =R= JdS = R = R = - 1R弧長2n2,扇形面積2n22 ,其中a為弧度制的圓心角，R

22、為圓的半徑?！就砝斫獠⑼茖?dǎo)角度制的弧長公式和扇形面積公式】/、0 0;n (rad) =180=-(rad)0弧度制與角度制的關(guān)系：180,【1制 =】其它幾何知識n邊形的內(nèi)角和等于(n -2)父180V =9二 R3球的表面積S=4nR ,球的體積3工分(1)物理中有關(guān)涉及到的平面幾何問題往往存在著特殊的幾何關(guān)系(例：特殊角，特殊位置等)。(2) 了解并熟悉物理中有關(guān)涉及到的平面幾何的一些常見題型和常見解題技巧?！纠}】如下圖所示，點(diǎn)光源S距豎直墻MN的水平距離為L ,現(xiàn)從S點(diǎn)處以水平初速度 % 平拋一小球P, P在墻上形成了一個影子 p，求小球沒有打到墻之前，影子 p的平均速度？解：如右

23、圖所示設(shè)未知數(shù)，則:領(lǐng)悟”上題中由影子式的位移表達(dá)式可知影子沿墻豎直向下做勻速直線運(yùn)動，【例題】如下圖一所示，在坐標(biāo)系x0y的第一象限中存在沿 y軸正方向的勻強(qiáng)電場， 場強(qiáng)大 小為E。在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h; C是x軸上的一點(diǎn)，到 O的距離為1。一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸正方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而通過 C點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域。并再次通過 A點(diǎn)，此時速度方向與 y軸正方向成銳角。不計重力作用。試求： 粒子經(jīng)過C點(diǎn)速度的大小和方向。磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。圖二 TOC o 1-5 h z 解:(1)如上圖二

24、所示，以b表示粒子在電場作用下的加速度，有：吐 II) 加速度沿丫軸負(fù)方向。設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場時的初速度為v,由A點(diǎn)運(yùn)動到 C點(diǎn)經(jīng)歷的時間為F ,則有油二# (2L5 131由12式得1 %=焉14)設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場時的速度為n v垂直于x軸的分量F二J商15“一+產(chǎn))由式得：v =J(61*V2 mn設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時的速度方向與工軸的夾角為a.則有/加值=豈 v0由式得:立二獨(dú)寸皿蘭 (8)(2)粒子經(jīng)過C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中做速率為t的圓周運(yùn)動。若圓周的半徑為R,則有1- m (9)R設(shè)圓心為P,則PC必與過C點(diǎn)的速度垂直，且有RFC = R,用戶表示力與 T軸的夾角，由幾何關(guān)系得，

25、R ccs/?=J? cosaIIO)F R sin 5 =7-J? sin a I I由向1訓(xùn)I或解得工R =匕二(|2 2hl由式解得 B=丁二 匡三(131匯+廣。q【例題】如下圖一所示，在 y0的空間中存在勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)沿 y軸負(fù)方向；在y=2h , = 45%因為粒子在尸 R兩點(diǎn)的速度方向相反，所以連線RA為圓軌道的直徑，由此可求得；”岳陽由UI可得* = 13qh0 -【例題】如下圖一所不，在坐標(biāo)系 xoy中，過原點(diǎn)的直線 OC與x軸正向所成的角一120 度，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場： 在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場， 其上邊界與電場邊界重疊、 右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于 y軸的

26、虛線，磁場的磁感應(yīng)弓II度大小為 B,方向垂直紙 面向里。一帶正電荷 q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的 A點(diǎn)射入磁場區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角日=30,大小為v,粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍。粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由 O點(diǎn)返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場。已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期。忽略重力的影響。求(1)粒子經(jīng)過A點(diǎn)時速度的方向和 A點(diǎn)到x軸的距離。(2)勻強(qiáng)電場的大小和方向。(3)粒子從第二次離開磁場到再次進(jìn)入電場時所用的時間。解

27、：Q)如上圖二所示，設(shè)磁場左邊界與X軸相交于D點(diǎn)，與0C相交于0,點(diǎn), 則幾何關(guān)系可知，直線06與粒子過0點(diǎn)的速度V垂直.在直角三角形00D 中NOODWO、設(shè)磁場左右邊界間距為5則00 =2d.依題意可知，粒子第一 次進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡的圓心即為。點(diǎn)，圓孤軌跡所對的圓心角為30。，由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場的速度與左邊界垂直，且。工為圓弧的半徑R. TOC o 1-5 h z A點(diǎn)到x軸的距離：JD=J?(l-cos300)由洛侖茲力公式.牛頓第二定律及圓周運(yùn)動的規(guī)律，得1避;三聯(lián)立式得二竺11-史；現(xiàn) 2 ；(2)設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期為T,第一次在磁場中飛行的時間為有八.丁二衛(wèi)12qB依題意，勻強(qiáng)電場的方向與乂軸正向所成的角應(yīng)為150、由幾何關(guān)系可知.粒子 再次從