高中數(shù)學(xué)高初中銜接讀本

1、第一講 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運算例1解不等式：x-1 +|x -3 4.解法一：由 x1=0,得 x=1;由 x3 = 0,得 x = 3;若x4 ,即2x+44,解得 x0,又 x 1, ,.x0；若1Mx4 ,即 1 4,不存在滿足條件的x；若x之3,不等式可變?yōu)?x -1)+(x-3)4 ,即 2x44,解得 x4.又 x3, x4.綜上所述，原不等式的解為x4.解法二：如圖1. 1-1, x-1表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA,即|PA=|x1|; |x 3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之|x 3|人PCABDill T I x0134xk7|x1|圖 1.

2、 1 -1間的距離| PB ,即| PB =|x3| .所以，不等式|x-1 +|x-3 4的幾何意 義即為| PA +| PB 4.由|AB =2,可知點P在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P 在點D(坐標為4)的右側(cè).x4.練 習(xí).填空：(1)若 x = 5,則 x=;若 x = 4 ,則 x=.(2)如果 a + b =5,且 a = 1,則 b=;若 1c =2,則 c=.選擇題：下列敘述正確的是(A)若a=b,則 a=b(B)若 ab,則 ab(D)若 a = b ,則 a = b(C)若 acb,則 a5).解不等式：x-1| 3;(2)x + 3 + x-2 6 .已知x + y =

3、1,求x3+y3 +3xy的值.填空：(2+折8(2扃9 =；(2)若J(1-a)2 +J(1+a)2 =2 ,則a的取值范圍是 ; TOC o 1-5 h z 111(3)+1.2. 2,：3+.3 -、/4、4 J5.561.填空:3a2 - ab-2-23a 5ab 一 2b(2)若 x2 +xy-2y2一 12.已知： x = y =2x 3xy y:0 ,則22=x2 y21求必3，本人一的值.選擇題：右i a b 2 /a = J-b J-a ,則a :二 ba ba :二 b :二 0b :二 a :二 0(2)計算aa(A)-a(C) - - a(D)a.r 211.解萬程2(

4、x2)-3(x )-1 =0.x111.計算：1 3 2 4 3 51+HI +9 1114.試證：對任意的正整數(shù) n,有一一 十n(n 1)(n 2)第二講函數(shù)與方程2.1一元二次方程一元二次方程的 兩根之差的絕對值 是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的 問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)xi和X2分別是一元二次方程 ax(4)方程 2x +2x1 =0 的兩根為 X1 和 X2,則 | x 1- X2| =+ bx+ c= 0 (aw 0),則| X 1 X2| =-b ；b2 -4ac2a-b b2 -4ac2a-b - b2 -4ac2a-b - Jb2 -4a

5、c25/b2 -4ac2a 2ab2 -4ac -J：=.|a|a|于是有下面的結(jié)論：若 xi 和 X2分別是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0),則 | xi X2|=Y3 (其中 A = b2|a|4ac).今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.例1若關(guān)于x的一元二次方程x2x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a 的取值范圍.解：設(shè)Xi, X2是方程的兩根，則 TOC o 1-5 h z xiX2=a40.由得a4,17由得av .4，a的取值范圍是ax1x2,求實數(shù)k的取值范圍. 2. 一兀一次方程 ax + bx+c= 0 (aw0)的

6、兩根為x1和x2.求：1 ) | x 1 - x2| 和xx2 ；22) x/+ x23.5.關(guān)于x的方程x2+4x + m= 0的兩根為x1, x2滿足| x 1-x2| =2,求實數(shù) m的值.C組.選擇題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x+7=0的兩根，則這個直角 TOC o 1-5 h z 三角形的斜邊長等于()(A)翼(B) 3(C) 6(D) 9(2)若x1, x2是方程2x24x+1= 0的兩個根，則 二+x2的值為()x2 x13(A) 6(B) 4(C) 3(D)一2(3)如果關(guān)于x的方程x22(1 m)x+m=0有兩實數(shù)根a , 3 ,則a + 3的

7、取值范圍為( )1- 一 1(A) a +(B)a+BW (C)a+B1(D)a + BW1 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 22(4)已知a, b, c是 AABC的三邊長，那么方程cx2+(a+ b)x+ - =0的根的情況是4( )(A)沒有實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)有兩個異號實數(shù)根.填空：若方程 x28x+m= 0 的兩根為 x1, x2,且 3x1+2x2=18,則 m=.已知x1, x2是關(guān)于x的一元二次方程 4kx2 4kx+k+1 = 0的兩個實數(shù)根.(1)是否存在實數(shù) k,使(2x1 x2

8、)( x 1- 2 x 2)=成立？若存在，求出 k的值；若不2存在，說明理由；(2)求使土 +世2的值為整數(shù)的實數(shù) k的整數(shù)值;& x1二，試求人的值.(3)若 k=-2,九=X22m2.已知關(guān)于 x的方程x (m2)x =0.4(1)求證：無論 m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實數(shù)根 Xi, X2滿足| X2| = |xi|+2,求m的值及相應(yīng)的Xi, X2.若關(guān)于x的方程x2+x+a= 0的一個大于1、零一根小于1,求實數(shù)a的取值范圍.2. 2二次函數(shù)2.2,1 二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)問題1函數(shù)y=ax2與y= x2的圖象之間存在怎

9、樣的關(guān)系?為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2x2, y=1x2, y = 2x2的圖象，通過這些函數(shù)2圖象與函數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=ax2與y= x2的圖象之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y = x2, y=2x2的圖象.先列表：X-3-2101232X94101492x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的 x2的值擴大兩倍就可以了.再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y=x2, y = 2x2的圖象(如圖2 1所示)，從圖21我們可以得到這兩個函數(shù) 圖象之間的關(guān)系：函數(shù) y=2x2的圖象可以由函數(shù) y=x2的 圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?同

10、學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y= .平移變換 x2,2y=2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù) y= ax2( aw0)的圖象可以由 y = x2的圖 象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數(shù) y= ax2(aw0)中，二次項系數(shù) a決定了圖象的開口方向 和在同一個坐標系中的開口的大小.問題2函數(shù)y=a(x+h)2+k與y= ax2的圖象之 間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間 的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以作出函數(shù) y= 2(x+1)2+1與y= 2x2的圖象(如圖22所示

11、)，從 函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得 到函數(shù)y= 2(x+1)2+1的圖象.這兩個函數(shù)圖象之間圖 2.2-2具有“形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數(shù)y=- 3x2, y=- 3(x1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=a(x+ h)1 問題1在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點一一只改變函數(shù)圖象 的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖

12、象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象 的頂點式研究其頂點的位置即可.例1求把二次函數(shù)y= x2- 4x + 3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解+k(aw0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”.由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的圖象的方法：由于 y= ax2+ bx+ c= a(x2+ b x) + c= a(x2+ b x + aa/ b、2 b2 -4ac二 a(x 十一)+,2a 4a所以，y= ax2 + bx+c

13、(aw 0)的圖象可以看作是將函數(shù).2,2b 、，b2 )+ C4a4ay= ax2的圖象作左右平移、上下平(1)當a0時，函數(shù)y= ax2+ bx+ c圖象開口向上；頂點坐標為b(一 2a4ac-b24a移得到的，于是，二次函數(shù) y= ax2+ bx+ c( aw0)具有下列性質(zhì): TOC o 1-5 h z 稱軸為直線x=；當xv 一旦 時，y隨著x的增大而減??；當 x -b-時，y隨著x的2a2a2ab4ac -b2增大而增大；當 x=- 時，函數(shù)取最小值 y=.24ac 一 b、八4a HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 2a4a(2)

14、當a?-時，y隨著x 2a2a2ab4ac -b2的增大而減??；當 x=-時，函數(shù)取最大值 y=.2a4a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2. 23和圖2. 2 4直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.二次函數(shù)的簡單戚用-4析式：(1)向右平移2個單位，向下平移1個單位；(2)向上平移3個單位，向左平移 2個單位.分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀(即不改變二次項系數(shù))，所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置(即只改變一次項和常數(shù)項)，所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點

15、位置求出平移后函數(shù)圖 像所對應(yīng)的解析式. 2解：一次函數(shù)y = 2x - 4x - 3的解析式可變?yōu)?y= 2(x- 1)21,其頂點坐標為(1 , 1).(1)把函數(shù)y=2(x1)21的圖象向右平移 2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖 象的頂點坐標是(3, 2),所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為y= 2(x- 3)22.(2)把函數(shù)y=2(x1)21的圖象向上平移 3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖 象的頂點坐標是(一1, 2),所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為y= 2(x+ 1)2+2.2.對稱變換問題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對

16、稱變換時，有什么特點？依 據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這 樣的特點一一只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖 象的對稱變換問題時，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題.例2 求把二次函數(shù)y=2x2-4x+1的圖象關(guān)于下列直線對稱后所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解 析式：圖 2.27(1)直線 x= 1;(2)直線 y= 1.解：(1)如圖2. 2-7,把二次函數(shù) y = 2x2-4x+1的圖象關(guān)于直線 x=- 1作對 稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變 其形狀.由于

17、 y= 2x2-4x+ 1 = 2(x- 1)2-1,可 知，函數(shù)y=2x24x+1圖象的頂點為A(1, -1),所以，對稱后所得到圖象的頂點為A(-3, 1),所以，二次函數(shù) y=2x2-4x +1的圖象關(guān)于直線 x=-1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為 y=2(x+3)21,即y=2x2+12x+ 17.2(2)如圖2. 28,把二次函數(shù) y=2x -4x+ 1的 圖象關(guān)于直線x=-1作對稱變換后，只改變圖象的頂 點位置和開口方向，不改變其形狀.由于 y= 2x2-4x+1 =2(x1)21,可知，函數(shù) y= 2x2-4x+1圖象的頂點為 A(1, 1),所以，對稱后 所得到圖象的頂點為 B

18、(1 , 3),且開口向下，所以，二 .2次函數(shù)y=2x -4x+ 1的圖象關(guān)于直線 y= 1對稱后所 - 得到圖象的函數(shù)解析式為y=- 2(x- 1)2+3,即y =2x2+ 4x + 1.二、分段函數(shù)圖 2.2 8一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù).例3 在國內(nèi)投遞外埠平信， 每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵 資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封 xg（0 v xw 100）的信應(yīng)付多少 郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象.分析：由于當自變量 x在各個不同的范圍內(nèi)時，應(yīng)付郵資

19、的數(shù)量是不同的.所以，可以用分段函數(shù)給出其對應(yīng)的函數(shù)解析式.在解題時，需要注意的是，當 x在各個小范圍內(nèi)（如 20VXW40）變化時，它所對應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是 160分）.解：設(shè)每封信的郵資為 y （單位：分），則y是x的函數(shù).這個函數(shù)的解析式為80, x w （0,20160 xw （20,40y = 240, x 940,80320 x w （60,80400, x （80,100由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖2. 29所示.y(分)400320 -o 240 ,160 -80卜O 204060圖 2.2 980 100 x(Z)圖 2.2 10例4如圖9- 2所示，

20、在邊長為2的正方形ABCD勺邊上有一個動點 P,從點A出發(fā)沿折線ABC的動一周后，回到A點.設(shè)點A移動的路程為x, A PAC勺面積為y.（1）求函數(shù)y的解析式； （2）畫出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍.分析：要對點P所在的位置進行分類討論.解：（1）當點P在線段AB上移動（如圖2. 2-10即0vxW2時,y= -AP BC =x； 2當點P在線段BC上移動（如圖2. 210），即2vx4時,y= 1 PC AB = 1 （4 -x） 2 =4x； 22當點P在線段CD上移動（如圖2. 210），即4vxW6時,y= - PC AD = 1（x-4） 2 =x4; 22當點P在線

21、段DA上移動（如圖2. 210），即6vxv8時,y= - PA CD =1(8x) 2 = 8-x. 22綜上所述，函數(shù)f (x)的解析式為x,0 x 2,4 -x, 2 x 4, y =x -4, 4 ： x 6,8- x, 6 二 x 二 8.(2)函數(shù)y的圖像如圖2. 2 11所示0y2.(3)由函數(shù)圖像可知，函數(shù) y的取值范圍是圖 2.210練 習(xí).選擇題：(1)把函數(shù)y=(x1)2+4的圖象向左平移 應(yīng)的解析式為y= ( x+ 1)2+ 1y=- (x-3)2 + 4(2)把函數(shù)y= 2(x+3)2+3的圖象關(guān)于直線 式為2個單位，向下平移 3個單位，所得圖象對 ( )(B) y=

22、- (x+ 1)2+ 1y = (x 3) +1x=-1對稱后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析( )九(A) y= 2 ( x+1)2+3(C) y = 2 ( x+1)23(3)把函數(shù)y=2(x3)2+3的圖象關(guān)于直線()2y=-2 ( x+1)2+3(C) y=-2 ( x-3)2+ 1y=- 2 ( x-1)2+3(D) y=- 2 ( x1)23y=2對稱后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為(B) y=- 2 ( x-3)2+3(D) y=- 2 ( x3)232.填空:,一 x2, x 2, 一(1)已知函數(shù) y =4則當x=4時，y=;當*= 4時，y=.-2x 4, x 2(2)把二次函數(shù)y

23、= - 2x2+4/3x+ 1的函數(shù)圖象向 _平移單位后，得到的圖象所對應(yīng)的解析式為y= 2x2 a(x 2 ) +25 = 0兩根的立方和為 19,求函數(shù)表達式.+7;再向 平移 一個單而？得到的圖象所對應(yīng)的解析2 -. 式為y= 2x+1；再將其關(guān)于 對稱后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為 y= 2x2+5.3.已知點P是邊長為1的正方形ABCM頂點A出發(fā)，順次經(jīng)過B, C, D移動一周后回到點 A, 設(shè)x表示點P的行程，y表示線段PA的長，試求y關(guān)于x的函數(shù).習(xí)題2. 2A組.選擇題： TOC o 1-5 h z (1)把函數(shù)y= (x 1)2+4的圖象的頂點坐標是()(1,4)(B)(1

24、, 4)(C)(1, 4)(D)(1,4)(2)函數(shù)y= x2+4x+6的最值情況是()(A)有最大值 6(B)有最小值6(C)有最大值10(D)有最大值2(3)函數(shù)y=2x2+4x5中，當一3W xv2時，則y值的取值范圍是()-3 y1(B)-7 y1-7 y11(D)-7 y11.填空：(1)已知某二次函數(shù)的圖象與 x軸交于A(-2, 0), B(1 , 0),且過點C (2, 4),則該二次 函數(shù)的表達式為 .(2)已知某二次函數(shù)的圖象過點(一 1 , 0) , ( 0, 3) , ( 1 , 4),則該函數(shù)的表達式 為.把已知二次函數(shù) y= 2x2+4x+7的圖象向下平移 3個單位，

25、在向右平移 4個單位，求所得 圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式.已知某二次函數(shù)圖象的頂點為A (2, 18),它與x軸兩個交點之間的距離為6,求該二次函數(shù)的解析式.B組.填空：(1)將二次函數(shù)y=2x2 + 4x+7的圖象關(guān)于直線x=1對稱后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式 為;再將該圖象關(guān)于直線 y = 2對稱，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式 為.(2)函數(shù)y= x2+4x+2在0WxW3上的最大值為 ,最小值為 .(3)函數(shù)y=x2+4ax+2在x6時，y隨著x的增大而減小，則a的取值范圍是 .某市空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：5km以內(nèi)，票價2元；5km以上，每增加5km,票價增加1元(所增加的里程，不足

26、5km的按5km的按5km計算).已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1km,如果沿途(包括起點站和終點站)有 21個汽車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象.C組. 一 .1c一.已知二次函數(shù) y = a(x2 ) 2+25的最大值為25,且萬程.如圖，某農(nóng)民要用 12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞.已知墻的長度為 6m,問怎樣圍才能使得該矩形面積最大?.把二次函數(shù) y= 2x24x+3的圖象向下平移 3個單位后，所得圖象記為 。；再把C向右 平移2個單位的圖象再將 C2沿著直線y=2對稱得圖象 Q;最后，再將G以原點為對稱中 心作其中

27、心對稱圖形得到 C4.分別求出C, G, G, G所對應(yīng)函數(shù)的表達式.2.3方程與不等式二元二次方程組解法方程x2 2xy y2 x y 6 = 0是一個含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做元二次方程.其中x2, 2xy , y2叫做這個方程的 二次項，x, y叫做一次項,6叫做常數(shù)項.我們看下面的兩個方程組： 2 22_._x -4y + x +3y -1 =0, 2x _ y -1 = 0;x2 y2 -20,2_2_x -5xy 6y =0.第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩 個二元二次方程組成的，像這樣的方

28、程組叫做二元二次方程組.下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法. 一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解.例1 解方程組 TOC o 1-5 h z 2,-2._廣 +4y -4=0,lx-2y-2 = 0.分析：二元二次方程組對我們來說較為生疏，在解此方程組時，可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式.注意到方程是一個一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個元， 再代入到方程，得到一個一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉 的問題.解：由，得x=2y+2,把代入，整理，得8y2+8y=0,即y(y+1) = 0.解得y

29、1 = 0, y2=1.把y1 = 0代入，得 x1 = 2;把丫2= 1代入，得x2=0.所以原方程組的解是 =2,1x2 =0,了1 =0,% - -1.說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解.例2 解方程組x y = 7, xy = 12.解法一：由，得x = 7 _ y.把代入，整理,得y2 -7y 12 =0解這個方程，得y1 =3,丫2 = 4 .得 X1 =4；把 =3代入, 把V2 =4代入, 所以原方程的解是fx1 二4,yi = 3,-i-x2 = 3,解法二：對這個方程組，也可以根據(jù)y2 - 4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把x,

30、y看作一個二次方程的兩個根，通過解這個次方程來求這個方程組的x,y是二次方程得 力 = 3 .z2 -7z-12 =0的兩個根，解這個方程，得z =3，或 z所以原方程組的解是1x1 4,y1 = 3;X2y2=3,=4.練習(xí)1.下列各組中的值是不是方程組 x2 y2 =13, x y = 5的解？x =2,(1)y = 3;2 .解下列方程組：x = 3, y =2;x = 1, (3y =4；(4)x = -2,y = -3;(1)y = x 5, x2y2 = 625;-22 L =154,y = x - 3;(2)x y =3,xy - -10;y2 = 2x, x2 y2 =8.2.

31、3.2一元二次不等式解法二次函數(shù)y=x2x 6的對應(yīng)值表與圖象如下:x-3-2-101234y |6|0| 4 | 6 | 6 4 |0|6由對應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當 x= 2,或 x = 3 時，y = 0,即 x2 x = 6=0;當 x3 時，y0,即 x2 x 60;當一2x3 時，y0,即 x2 x 60的解是x3;x2-x-60的解是-2x 0( aw 0)呢？我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)y= ax2+ bx+ c( aw0)的圖象來解一元二次不等式 ax2+bx+c0( aw0).為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)a0時的一元二次不等式的解.我

32、們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0),設(shè)= b24ac,它的解的情形按照0, =0, v 0分別為下列三種情況一一有兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c (a0)與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.32所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式 ax2+bx + c0 (a0)與 ax2+bx+c0)的解.(1)當A0時，拋物線y=ax2+bx+c (a0)與x軸有兩個公共點(xi, 0)和(x2, 0),2萬程ax +bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根不等式ax2+ bx+ c 0的解為x

33、vxi,或 xx2；不等式ax2+ bx+ c 0的解為xi和x2(xivx2),由圖2.32可知xix0)與x軸有且僅有一個公共點，方程 ax2 b+ bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根 xi = x2=-,由圖2.32可知2a不等式ax2+ bx+ c0的解為bxw 一 丁 ；2a 不等式ax2+bx+cv 0無解.(3)如果0)與x軸沒有公共點，方程 ax2+bx+c = 0沒有實數(shù)根，由圖2.3 -2可知不等式ax2+bx+c0的解為一切實數(shù)；不等式ax2+bx+c 0無解.今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接 求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在

34、不等式兩邊同乘以-i,將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式.例3解不等式：(i) x2+2x-30;(2) x-x2+60;(4) x6x+9W0；4 + x x20,萬程x +2x 3=0的解是xi= - 3, x2= i .，不等式的解為-3 x0.A 0,方程x2x6=0的解為xi = - 2, x2= 3.所以，原不等式的解為x-2,或 x0.由于上式對任意實數(shù)x都成立， 原不等式的解為一切實數(shù).(4)整理，得( x-3)20.由于當x=3時，(x3)2=0成立；而對任意的實數(shù)x, (x 3)2 0.A0,所以，原不等式的解為一切實數(shù).例4已知不等式ax2+b

35、x+c c0(a 00)的解是x 0 的解.解：由不等式ax2+bx+c 0(a # 0)的解為x 3,可知2a 0,且萬程ax +bx+c = 0的兩根分別為 2和3, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark114 o Current Document bc c=5 , =6, HYPERLINK l bookmark122 o Current Document aabc公即=-5,= 6 .aa由于a 0,所以不等式bx2+ax+ca0可變?yōu)閎 2 cx + x + 0 , a a2即5x+x+60,整理，得5x2 -x -6 0 ,所以，不等式bx2 +ax

36、c0的解是、6x-.5說明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來解決問題.例5 解關(guān)于x的一元二次不等式 x2+ax + 1 a 0(a為實數(shù)).分析 對于一元二次不等式，按其一般解題步驟，首先應(yīng)該將二次項系數(shù)變成正數(shù) ，本題 已滿足這一要求，欲求一元二次不等式的解 ，要討論根的判別式 的符號，而這里的是關(guān)于 未知系數(shù)的代數(shù)式，的符號取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此 ，再根據(jù)解題的需要，對的 符號進行分類討論.解：二=a2 -4 ,當 A0|3a 2時，方程x2 +ax +1 =0的解是 TOC o 1-5 h z -a 一、-、a2 -4-aa2 -4x1二,x2 =. HYPERLINK

37、l bookmark225 o Current Document 22 所以，原不等式的解集為 x 一a -4 或xa7a -4 ； HYPERLINK l bookmark229 o Current Document 22當A = 0,即a=2時，原不等式的解為ax 2 ；當A0,即2 a 2時，原不等式的解是-a - .a - 4- a v a - 4x ，或 x；22當-2 a 1時，由圖2.3-3可知，當x= 1時，該函數(shù)取最小值n = -2 a+2.綜上，函數(shù)的最小值為4a +5, a 1.圖 2.3 3練 習(xí).解下列不等式：23x -x-40;2x + 3x 40; x2-x-12

38、0;16-8x+x2 1;(X-3)2 y2=9,x 2y =0;2_ 3x -40;4-x20的解為xv1,或x3.試解關(guān)于x的不等式 2bx +cx + 40.試求關(guān)于x的函數(shù)y = x2+m肝2在0WxW2上的最大值k.第三講三角形與圓3.2三角形3. 2. 1三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形 的問題.如圖3.2-1 ,在三角形VABC中，有三條邊AB, BC,CA ,三個角彳去，B,?C ,三個頂點A, B,C ,在三角形中，角平分線、中線、高（如圖 3.2-2 ）是三角形中的三種重要線段.三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角

39、形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條 中線的三等分點.例1求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分 成的兩段長度之比為2: 1.已知 H E、F分別為VABC三邊BC CA AB的中點, 求證 AR BE CF交于一點，且都被該點分成2: 1.證明 連結(jié)DE,設(shè)AD BE交于點G,QD E分別為BC AE的中點，則 DE/AB,且1DE = AB,2VGDEsVGAB,且相彳以比為1: 2,AG = 2GD,BG = 2GE .圖 3.2-4設(shè) AD CF交于點 G,同理可得，AG= 2GD,CG= 2GF.則G與G重合，AD BE CF交于一點，且都被該點分成 2:1.三角形的

40、三條角平分線相交于一點，是三角形的 內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的 三邊的距離相等.（如圖3.2-5 ）圖 3.2-5已知V ABC的三邊長分別為BC = a, AC = b, AB= c, I 為 VABC 的內(nèi)心,A E=證明在VABC的邊B C A、Cb+ g a AF 2作VABC的內(nèi)切圓，則D、E、A上的射影分別為D、E F,求證：F分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點,QAE, AF為圓的從同一點作的兩條切線,AE = AF, 同理，BD=BF, CD=CEb+ c- a= AF + BF + AE + CE- BD - CD =AF + AE = 2AF = 2AE例3 已

41、知 求證 證明即 AE = AF = b+ Ca .2若三角形的內(nèi)心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形O為三角形ABC的重心和內(nèi)心.三角形ABC%等邊三角形.如圖，連AO并延長交BC于DQO為三角形的內(nèi)心，故 AD平分DBAC,妲二里（角平分線性質(zhì)定理）AC DCQO為三角形的重心，D為BC的中點，即BD=DCAB 一=1 ,即 AB= AC .AC同理可得，AB=BCVABC為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂 心在三角形的外部.（如圖3.2-8 ）圖 3.2-8例4求

42、證：三角形的三條高交于一點已知 VABC中，ADA BC于D,BEA AC于E,AD與BE交于H點.圖 3.2-990,即 CH a AB .求證 CH a AB.證明以CH為直徑作圓，QAD a BC, BEA AC, ?HDC ?HEC 90o,D、E在以CH為直徑的圓上，? FCB ? DEH .同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得? BED ? BAD .? BCH ? BAD ,又 V ABD 與 VCBF 有公共角 DB ,? CFB ? ADB過不共線的三點A、B、C有且只有一個圓，該圓是三角形 ABC的外接圓，圓 心O為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的

43、垂直平分線 的交點.練習(xí)1求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.(1)若三角形ABC的面積為S,且三邊長分別為a、b、c,則三角形的內(nèi)切 圓的半徑是;(2)若直角三角形的三邊長分別為a、b、c (其中c為斜邊長)，則三角形的 內(nèi)切圓的半徑是 .并請說明理由.3. 2點的軌跡在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條 件的所有點組成的.例如，把長度為r的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個 定點旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于r；同時，到定點的距離等于r的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等于定長 r的點的軌跡.我們

44、把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的 任何一點都滿足條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件 的任何一點都在圖形上.下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點的軌跡.從上面對圓的討論，可以得出：(1)到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.我們學(xué)過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：(2)和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分 線.由角平分線

45、性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡： TOC o 1-5 h z (3)到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.例3 。過兩個已知點A、B,圓心O的軌跡是什么？畫出 /L 它的圖形.分析 如圖3.3-11 ,如果以點O為圓心的圓經(jīng)過點A、B,/2)那么OA= OB;反過來，如果一個點O到A、B兩點距離相/./等，即OA= OB ,那么以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓一定經(jīng)過 或、A、B兩點.圖 3.3-11這就是說，過A、B點的圓的圓心的軌跡，就是到 A、B兩點距離相等的點 的軌跡，即和線段AB兩個端點距離相等的點的軌跡.答：經(jīng)過A、B兩點的圓的圓心O的軌跡是線段AB的垂直平分

46、線.練習(xí)2.畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；(2)到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；(3)已知直線AB / CD ,至IJ AB、CD的距離相等的點的軌跡.畫圖說明，到直線l的距離等于定長d的點的軌跡.習(xí)題3.3A組 TOC o 1-5 h z .已知弓形弦長為4,弓形高為1,則弓形所在圓的半徑為()A.楞 B.5 C . 3 D . 42.在半徑等于4的圓中，垂直平分半徑的弦長為()A. 4 3 B . 3 3 C . 2 3 D .3. AB為。O的直徑，弦CD _L AB , E為垂足，若 BE=6, AE=4,則。次于()A. 2 21 B

47、. 4.6 C . 8 2 D . 2.6.如圖3.3-12，在。O中，E是弦 AB延長線上的一點，已 知OEB=10cm,O=12cm,ZOEB =30，求 AB如 圖 3.3-13已 知 在 R t A中圖 3.3-12C 9= 0 A,交斜邊于D,求AD如圖3.3-14的弓形鐵片,如圖3.3-155c m,/C為時CA為半飾勺圓,在直徑為100mmi勺半圓鐵片上切去一塊高為 求弓形的弦 AB的長。,ABC內(nèi)接于。Q D為BC的中點，AE_LBC求證：AD平分ZOAE o20mm圖 3.3-14圖 3.3-15圖 3.3-16.如圖3.3-16 , /AOB =90 , C D是AB的三等

48、分點，AB分別交OC ODF點 E、F,求證：AE=BF=CD.已知線段AB = 4cm.畫出到點A的距離等于3cm的點的軌跡，再畫出到點B的距離等于2cm的點的軌跡，指出到點 A的距離等于3cm,且到點B的距離等于2cm的點，這樣的點有幾個?參考答案第一講數(shù)與式1.1.1 .絕對值1. (1) 5; +4(2) 4; -1或 3 2 . D 3 . 3x18習(xí)題1 .1A組1. (1) x4(2) -4 x3(3) x32. 1331. (1) 371. (1) C4.提示：.(1) 2-43 (2) -1 a 1(3) V6-1B組 TOC o 1-5 h z 51(2) 5,或一工 2.

49、4. HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 25C組(2) C 2 . x1,x2 -2 3 . 36 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 2551111二 一 n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)第二講函數(shù)與方程一元二次方程練習(xí)(1) C(2)D(1)3(2)有兩個不相等的實數(shù)根(3) x2+2x 3 =0k4,且 kw0 1 提示：(x-3)( x 2 - 3) = x1 x23(x1 + x2)+9習(xí)題2. 1A組1. (1) C (2) B提示：和是錯的，對于，由于方程

50、的根的判別式 A0,所以方程沒有實數(shù)根；對于，其兩根之和應(yīng)為 -. 3(3) C 提示：當a=0時，方程不是一元二次方程，不合題意.2.2176(3)用113.當巾一-，且 m0時，萬程有兩個不相等的頭數(shù)根；當m=1時，萬程有44,兩個相等的實數(shù)根；當m0, 方程一定有兩個不相等的實數(shù)根. x + X2= k, x1X2= 2,.2k2,即 k1. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark219 o Current Document 一、,b2 -4ac x1 x2b3 , 3(1) | X 1 X2| = , = - ； (2) X1 +X2 =|a|2 2a3a

51、bc - b33a| x 1 X2| = j164m =2J4 m = 2 ,，m= 3.把 m= 3 代入方程，A 0,滿足題意,m= 3.C組B(2) A1C 提?。河?A0, 4me a+ 3 2(1 m1.2B提示：:a, b, c 是 A ABC勺三邊長，a+bc,. A =(a+ b)2-c20.(1) 12 提示：.X1 + X2=8,. 3X1 + 2X2 = 2(X1 + X2)+X1 = 2X8+X1=18, 二 X1 = 2, . X2=6,m= x1X2=12.3 .(1)假設(shè)存在頭數(shù) k,使(2X1 X2)( X 1- 2 X 2)=- -成立.2一元二次方程 4kx

52、24kx + k+ 1= 0有兩個實數(shù)根，2 . kw 0,且 A = 16k 16k(k+1)= 16k0,k0.X1 + X2= 1,(2 X1 - X2)(k 1 TOC o 1-5 h z X1X2=,4k HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22X 1 2 X 2) = 2 X 1 51X2+ 2 X 2= 2(X1 + X2)29 X1X2=2 9M= 3,4k 2即鳴工7,解得k= 9 ,與k0相矛盾，所以，不存在實數(shù)k,使(2X1X2)( X1 4k 25,為十刈 2_ 彳+乂； 2 a +乂2)2-2)2 2 a +X2)2_4

53、 TOC o 1-5 h z X2XiX1X2X1X2X1X2 HYPERLINK l bookmark239 o Current Document =4k 4_4k4(k+1)_4k 1 k 1 一k1，要使 上十遑一2的值為整數(shù)，只須 k+1能整除4.而k為整數(shù)， HYPERLINK l bookmark335 o Current Document X2X1.k+1 只能取1, 2, 4.又k0,k+10 ；(2) / X1X2= - m- 0, 1- X10,或 X10, X20,則 X2 = X1 + 2, - X1 +X2 = 2,rn-2 = 2, m= 4.此時，方程為X2-2X

54、-4= 0, . . X =1 + T5 X2=1-V5.右 X10, X2W0,則一X2=X1+2, - X1H-X2= 2,m-2 = 2,m= 0.此時，方程為 x?+2= 0,X1= 0, X2= 2.5.設(shè)方程的兩根為 X1, X2,則X1 + X2=1, X1X2=a,由一根大于1、另一根小于1,得(X1 -1)( X 2- 1) 0,即 X1X2(X1 +X2)+1 v 0,a ( 1) + 10,. a0,實數(shù)a的取值范圍是a-2.2. 2二次函數(shù)2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用練習(xí)(1) B (2) B (3) C(1) 2, 12(2)左，也;下，6;直線 y=3(1)當 xe 0 , 1時，y=x；(2)當 XC(1, 2時，y= J12 +(x1)2 =Jx2 2x+2