【高中數(shù)學競賽專題大全】 競賽專題14 數(shù)學歸納法（50題競賽真題強化訓練）試卷

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁【高中數(shù)學競賽專題大全】 競賽專題14 數(shù)學歸納法（50題競賽真題強化訓練）一、解答題1（2021全國高三競賽）已知.證明：當時，.2（2019全國高三競賽）設(shè).證明：.3（2021全國高三競賽）數(shù)列滿足：，求的通項公式4（2019全國高三競賽）若為某一整系數(shù)多項式的根，則稱為“代數(shù)數(shù)”.否則，稱為“超越數(shù)”，證明：（1）可數(shù)個可數(shù)集的并為可數(shù)集；（2）存在超越數(shù).5（2019全國高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足，試求6（2019全國高三競賽）已知數(shù)列滿足， .證明：7（2019全國高三競賽）已知實數(shù)數(shù)列滿足,.其中,表示不超過實數(shù)的最

2、大整數(shù).求.8（2019全國高三競賽）給定正整數(shù)，非負整數(shù)滿足對均有，其中，表示中大于0的數(shù)的個數(shù)（規(guī)定）.試求的最大值.9（2019全國高三競賽）設(shè)為給定的正整數(shù).求所有正整數(shù)，使得存在，且恰有個不同的質(zhì)因子.10（2019全國高三競賽）設(shè)，已知個正實數(shù)，使對任意、，有，證明：11（2019全國高三競賽）已知各項均不小于1的數(shù)列滿足：，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）的值.12（2019全國高三競賽）數(shù)列定義如下：對任何正整數(shù)，. 證明：存在無數(shù)個的取值，使對一切正整數(shù)，有.13（2019全國高三競賽），給定，.證明：對任意、，.其中，表示與的最大公約數(shù).14（2021全國高三競賽）求所有

3、的函數(shù)，滿足，且對于所有整數(shù)，有.15（2019全國高三競賽）求證：數(shù)列的每一項都是整數(shù)，但都不是3的倍數(shù).16（2019全國高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足,.證明:對任意的, .17（2018四川高三競賽）已知數(shù)列滿足：，若對任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的最大值.18（2018全國高三競賽）一束直線的每條均過xOy平面內(nèi)的拋物線的焦點，與拋物線C交于點、.若的斜率為1，的斜率為，求的解析式.19（2018廣西高三競賽）設(shè)為非負數(shù)，求證：.20（2018全國高三競賽）設(shè)為正整數(shù)數(shù)列，且對任意滿足；的正整數(shù)m、n，存在正整數(shù)，使得試對每一個固定的，求的最大值21（2021全國高三競賽）給定正整數(shù)m、k，有n個

4、選手參加一次測試，該測試由m個項目構(gòu)成，每個項目完成后都會取得一個評分，沒有兩個人在一個項目取得相同的評分求n的最小值，使得總存在k個選手，在第j個項目中的k個得分要么單調(diào)遞增，要么單調(diào)遞減，22（2021全國高三競賽）已知數(shù)列滿足（1）求證：（2）是否存在實數(shù)，使得，若存在求出的值；若不存在請說明理由23（2021全國高三競賽）設(shè)和為兩組復數(shù)，滿足：求證：存在數(shù)組（其中），使得24（2021全國高三競賽）已知n個非負實數(shù)和為1求證：25（2021全國高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足.求證：.26（2021全國高三競賽）給定正整數(shù)求最大的實數(shù)使得對任意正實數(shù)恒成立，其中27（2021全國高三競賽）設(shè)n為不

5、小于3的正整數(shù)，在正n邊形中，選取一些對角線，滿足其中的任兩條對角線若在多邊形內(nèi)部相交則一定垂直問：最多可選取多少條對角線？28（2021全國高三競賽）設(shè)是整數(shù).對每個正整數(shù)，令為在進制表示下的非零數(shù)字的個數(shù).證明：對于任意給定的正整數(shù)和，存在正整數(shù)使得.29（2021全國高三競賽）給定整數(shù).求具有下列性質(zhì)的最大常數(shù)，若實數(shù)列滿足：，則.30（2021全國高三競賽）已知數(shù)列滿足：，且對于任意正整數(shù)，均有.求證：（1）；（2）數(shù)列為單調(diào)數(shù)列.31（2021全國高三競賽）對于數(shù)列，若存在常數(shù)使得對任意正整數(shù)成立，則稱是有界數(shù)列已知數(shù)列滿足遞推式，求證：（1）若，則不是有界數(shù)列（2）若，則是有界數(shù)列

6、32（2021全國高三競賽）某個會議有若干人（至少3人）參加，現(xiàn)要將這些人分組分組前，每個人都選擇兩個人若被選擇的兩個人同組則選擇他們的人不能在這組中求最小的正整數(shù)，使無論有多少人參加，且無論每人如何選擇，都可以將他們按要求分成組33（2019全國高三競賽）在一次數(shù)學會議上，任意兩位數(shù)學家要么是朋友，要么是陌生人在進餐期間，每位數(shù)學家在兩個大餐廳中的其中一個就餐，每位數(shù)學家所在的餐廳中包含偶數(shù)個他（或她）的朋友證明：數(shù)學家能被分到兩個餐廳中的不同分法的數(shù)目是2的正整數(shù)次幕（即形如，其中，是某個正整數(shù)）34（2019全國高三競賽）求最小的正整數(shù),使得存在一個的數(shù)陣滿足如下條件： (1)每一個數(shù)均

7、屬于集合; (2)記為數(shù)陣中第行中的數(shù)組成的集合, 為第列中的數(shù)組成的集合,則,是4026個不同的集合.35（2019全國高三競賽）已知數(shù)列滿足，給定奇質(zhì)數(shù)和正整數(shù)滿足，證明：的充分必要條件為36（2019全國高三競賽）對給定的正整數(shù)，定義表示的各個數(shù)位上的數(shù)字之和的平方，當且時，表示的各個數(shù)位上的數(shù)字之和的次方，其中，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，試求的值37（2019全國高三競賽）試證：對任何正整數(shù)，存在唯一的正奇數(shù)對，使得38（2019全國高三競賽）證明:存在無窮多個棱長為正整數(shù)的長方體,其體積恰等于對角線長的平方,且該長方體的每一個表面總可以割并成兩個整邊正方形.39（2019全國高三競賽

8、）將一枚棋子放在一個的棋盤上，記為從左、上數(shù)第行第列的小方格，求所有的四元數(shù)組，使得從出發(fā)，經(jīng)過每個小方格恰一次到達（每步為將棋子從一個小方格移到與之有共同邊的另一個小方格）.40（2019全國高三競賽）設(shè)為互不相等的正整數(shù)，它們的最小公倍數(shù)為.求證：.41（2019全國高三競賽）已知個實系數(shù)二次函數(shù)的判別式都相等.若對任意的，方程均有兩個不等的實根，求證：方程也有兩個不等的實根.42（2019全國高三競賽）設(shè)是定義在自然數(shù)集合上并在上取值的函數(shù),滿足:對任何兩個不相等的自然數(shù),有. (1)求;(2)假設(shè)是100個兩兩不相等的自然數(shù),求;(3)是否存在符合題設(shè)條件的函數(shù),使,證明你的結(jié)論.43（2019全國高三競賽）正整數(shù)數(shù)列滿足：，試求通項公式44（2019全國高三競賽）求滿足下列條件的最小正整數(shù)t，對于任何凸n邊形，只要，就一定存在三點，使的面積不大于凸n邊形面積的.45（2019全國高三競賽）求證:存在唯一的正整數(shù)數(shù)列，使得，.46（2019全國高三競賽）已知，求證：對一切，均有，等號當且僅當時成立47（2018山東高三競賽）已知數(shù)列滿足：，求證：48（2018江西高三競賽）求最小的正整數(shù)，使得當正整數(shù)點時，在前個正整數(shù)構(gòu)成的集合中，對任意總存在另一個數(shù)且，滿足為平方數(shù)49（2018全國高三競賽）求正整數(shù)n的最大值，