高中數(shù)學(xué)平面向量1平面向量基本定理導(dǎo)4-0

1、眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔2.3.1 平面向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量 .3.會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向 量的綜合問題.f問題導(dǎo)學(xué)知識點一平面向量基本定理思考1如果ei, e2是兩個不共線的確定向量，那么與ei, e2在同一平面內(nèi)白任一向量 a能否用ei, e表示？依據(jù)是什么？答案能.依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則.思考2如果ei, e2是共線向量，那么向量 a能否用ei, e2表示？為什么？答案 不一定，當(dāng)a與ei共線時可以表示，否則不能表示 .梳理（i）平面

2、向量基本定理： 如果ei, e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 a,有且只有一對實數(shù) 入i,入2,使a=入。+入2e2.（2）基底：不共線的向量 ei, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底知識點二兩向量的夾角與垂直思考i平面中的任意兩個向量都可以平移至起點，它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？答案 存在夾角，不一樣.思考2 AB8正三角形，設(shè) AB= a, BC b,則向量a與b的夾角是多少？答案 如圖，延長 AB至點D,使AB= BQ則芯a,ABC等邊三角形，ABG= 60 ,則/ CBD= i20 ,故向量 a與b的夾角為i20 .梳理

3、（i）夾角：已知兩個非零向量 a和b,作OA= a, OB= b,則/ AOB 0 （0 0 i80 ） 叫做向量a與b的夾角（如圖所示）.眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔o b R當(dāng)0 =0時，a與b同向;當(dāng)0 =180時，a與b反向.(2)垂直：如果a與b的夾角是90 ,則稱a與b垂直，記作ab.題型探究類型一對基底概念的理解例1如果ei, e2是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()入ei +科e2(入， F)可以表不平面 a內(nèi)的所有向量；對于平面“內(nèi)任一向量a,使a=入ei+科e2的實數(shù)對(入，科)有無窮多個；若向量 入e+

4、與 入2ei+科共線，則有且只有一個實數(shù)入，使得 入科 =入(入 2eH- 12e2)；若存在實數(shù) 入，使得 入ei+e2= 0,則 入= 0.A.B.C.D.答案 B解析 由平面向量基本定理可知，是正確的；對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即入1=入2=科1=科2=0時，這樣的 入有無數(shù)個，故選B.反思與感悟 考查兩個向量是否能構(gòu)成基底， 主要看兩向量是否非零且不共線 .此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來跟蹤訓(xùn)練1若ei, e是平面內(nèi)的一組基底，則下列

5、四組向量能作為平面向量的基底的是()A. e1 e2, e2 e11B.2 e1 - e2, e產(chǎn)C.2&3e1, 6e1 4e2D.e1 + e2, e1 e2答案 D解析 選項A中，兩個向量為相反向量，即e1-e2= - (e2-e1),則e1-e2, e2e1為共線向，一 一 1 .重；選項 B 中，2e1 e2= 2(e1 ？e2),也為共線向重；選項 C中，6e1 4e2= - 2(2 e2 3e1),為共線向量.根據(jù)不共線的向量可以作為基底，只有選項D符合.眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文楮眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔類型二_向量的夾角例2 已知|a|=|b|=2,且

6、a與b的夾角為60 ,設(shè)a+ b與a的夾角為a , a b與a的 夾角是3 ,求a + 3 -解 如圖，作 OA= a, Ob= b,且/ AOB= 60 ,以O(shè)A OB為鄰邊作？OACB則Og= a+b, BA=OA-Ob= a- b,BC=Oa= a.因為| a| = | b| =2,所以 OA斯正三角形，所以/ OAB= 60 =Z ABC即a b與a的夾角3 =60 .因為| a| = | b| ,所以平行四邊形 OAC的菱形，所以 OCL AB 所以/ COA90 -60 = 30 ,即a+b與a的夾角a =30 ,所以 a + 3 = 90 .反思與感悟 （1）求兩個向量夾角的關(guān)鍵

7、是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.（2）特別地，a與b的夾角為0 ,入ia與入2b（入1、入2是非零常數(shù)）的夾角為。0,當(dāng)入i入20 時，0 0= 0 .跟蹤訓(xùn)練2 已知a, b, c為圓o上的三點，若Ab= / AlAC ,則ABrAb勺夾角為.答案 907 1 解析 由AO= 2（AB+AQ知，Q B, C三點共線，且 。是線段BC的中點，故線段 BC是圓O的直徑，從而/ BAC= 90。，因此ABiAC勺夾角為90 .類型三平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖所示，在？ABC由，E F分別是BC DC邊上的中點，若 AB= a, Ab= b,

8、試以a,眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔b為基底表示DE BF解 二.四邊形ABCD1平行四邊形，E, F分別是BC DC邊上的中點, -AD= BC= 2BE, BA= CD= 2CF 11 111BE=二AD= -b, CF= -B/A= -AEJ= -a.22222DE= DA+ AB+ BE= AN A母 BE.1.1.=b + a + 2。= a 2b1BF= BO C曰 AA C鼻 b- 2a.引申探究 若本例中其他條件不變，設(shè) DE= a, BF= b,試以a, b為基底表示Ab At)解取CF的中點G,連接EG. B G分別為BC C

9、F的中點,1 - 1,-EG= BF= -b, 22 1DG= DE+ EG= a +2b.3+_ 3T_又 1 OP= ONF nNA= 2。跳 n( OA- ON1 . ,1,、1=,b+ n( a- gb) =5(1 n) b + na. a, b不共線,L3(1 m尸 n,1以1 nrm,即15,2 m=二.5一 12OP= 5a+5b.當(dāng)堂訓(xùn)練.下列關(guān)于基底的說法正確的是 （）平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的A.B.C.D.答案 C解析 零向量與任意向量共線，故零向量不能作為

10、基底中的向量，故錯，正確.在直角三角形 ABC43, / BAG= 30 ,則ACfBA勺夾角等于（）眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔B.60D.150A.30 0.120答案 D解析 由向量夾角定義知，ACfB的夾角為150 .已知向量 ei, e2不共線，實數(shù) x, y 滿足(2x3y) ed (3x 4y)& = 6ei+3e2,則 x = y=答案 15 12解析 :向量es e2不共線,2x-3y=6,x=- 15,x-4y=3,解得 12.如圖所示，在正方形 ABCD,設(shè)AB= a, AD= b, Bb= c,則當(dāng)以a, b為基底時，AC可

11、表示為,當(dāng)以a, c為基底時，ACT表示為1答案 a+b 2a+ c解析 由平行四邊形法則可知,A0=XB+XD= a+b,以a, c為基底時將 由笄移，使點 B與點A重合，再由三角形法則和平行四邊形法則即可得到5.已知在梯形 ABCD3, AB/ DC且AB= 2CD E, F分別是DC AB的中點，設(shè) At a, AB= b,試用a、b為基底表示DC BC EF解 連接FD, . DC/ AB AB= 2CD E, F分別是 DC AB的中點,D微 FB四邊形DCB兩平行四邊形.依題意，DC=FBBC= FD= AD- AF11=AD- 2AB= a-2b,眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹋跳跳專業(yè)

12、文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔1ZEf= DJ DE= - FD- DE= - BG-gDC TOC o 1-5 h z 11 11=2b 1 2X2b=4b-a.L規(guī)律與方法1.對基底的理解(i)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用

13、向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決課時作業(yè)一、選擇題.設(shè)e, e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()A. e + e2和 61-02B.3e 4e2和 6e1-8e2Ce+ 2e2 和 2e + &D.e1 和 e1 + e2答案 B解析 B 中，e1 8e2=2(3a 4e2),.,.(6e1-8e2)/ (3 e4e2), 3 e 4e2和6e1-8e2不能作為基底.若向量a與b的夾角為60 ,則向量一a與一b的夾角是()A.60B.120C.30 D.150答案 A.如圖所示，用向量 e1, e2表示向

14、量a b為()眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文楮眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔A. 4ei 202C.ei 3e2答案 CB. 2ei 402D.3ei -e2a b= AB由向量的加法得 AB= ei 3e2.4.設(shè)向量ei和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若 則實數(shù)y的值為()A.3 B.4 C. -! D. -3 44答案 B解析 因為 3xei+(i0 y)e2= (4 y 7)ei +2xe2,所以(3x 4y+ 7)ei + (i0 -y-2x) e2=0,又因為ei和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以故選B.3xei+ （i0 - y） e2= （4 y 7

15、） ei + 2xe2,3x-4y+7=0,i0-y- 2x= 0,x= 3,解得ly=4,解析如圖，由向量的減法得5.若Op= a, Op= b, pip=入 Pp（入 W i）,則 O由于（）A. a + 入 bC.入 a + bB.入 a + （i 入）bD.i+ 入入 b答案 D解析 而=入Ph,OF3-OP=X（OP OP,（i + 入）OP= OP+ 入 OP,眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文楮眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔弧三包士心 士 b.6.若D點在三角形 ABC勺邊BC上，且CD- 4DB= rAB+sAC則3r+s的值為（）16a.t1284B. T C. 5

16、D. 5答案解析, CD= 4DB= rAB+sAC 4 4 - - .CD= -CEB- -（A5 AC 55=rAB+ sAC,44.15, s于3r + s=8. 5 5 57.在平行四邊形 ABC珅，AC與BD交于點O, E是線段OD勺中點，AE的延長線與 C改于點 TOC o 1-5 h z F.若AC= a, BD- b,則刖于（）11B.，+4b12D-a+-b2311ANa+2b21C. 3a+ 3b答案 C解析如圖，設(shè)是入Cd AE=科靠,貝 uCD-OaOc 2ba,1 1故AF= AC+ CQ （1 5 入）a + 2 入 b.112 a+4 b,眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮

17、蹦跳跳專業(yè)文楮眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔i i1一5 入=5)22 a，由平面向量基本定理，得彳i i12 入=4-7， XF= 3a+b,故選 C.二、填空題8.已知ei,e2不共線，a=ei +2e2,b= 2ei+入e2,要使a, b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實的取值范圍為答案（一00, 4）U（4, 十0）解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a 與 b 不共線.a=ei + 2e2, b=2ei+ 入 由 aw kb,即得入W4.9.若 | a| = | b| = | a- b| = r（ r0）,則a與b的夾角為答案 60解析作OA= a, OB= b,則BA= a-b,Z A

18、OB a 與 b 的夾角，由 |a| = |b| =|a b| 知AOB為等邊三角形，所以/ AOB= 60 .10.如圖，在平行四邊形 ABCDK虱AF苴中入，,it-i,a+b, AF= a + -b, 2答案解析設(shè)AB= a, Ab= b,貝UAfe=12又AO a+b,AC= （AE+AR，即 X =X + =.333三、解答題眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔11.判斷下列命題的正誤，并說明理由:（1）若 aei + be2= cei + de2（ a、b、c、dCR）,貝 U a=c, b=d；（2）若ei和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底

19、，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用ei + e2、ei e2表不出來.解（i）錯，當(dāng)ei與e2共線時，結(jié)論不一定成立.（2）正確，假設(shè) ei+e2與eie2共線，則存在實數(shù)入，使ei + e2=入（ei e2）,即（i 入）ei=一（i + 入）e2.因為i入與i+入不同日為0,所以ei與e2共線，這與ei, e2不共線矛盾.所以ei + &與ei-e2不共線，即它們可以作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用ei + e2、eie2表不出來.i2.如圖，平面內(nèi)有三個向量 OA OB Oc其中OA旨O的夾角為i20 , O陌O的夾角為30 ,且|04=|OB = i, |Oq = 2巾，若OC= x O

20、af科0艮入，We R）,求入十科的值.R解 如圖，以O(shè)A OB所在射線為鄰邊， Og對角線作平行四邊形 ODCe則Oc=OdfOe在 RtAOCDfr, ,. I Oc=2后 /CO930 , / OCR90 , ，iOd=4, |CD = 2,故 OD= 40AOe= 2OB 即入=4,科=2, .入 + 科=6.1,1 _ , 一 DC 、I_i3.在梯形 ABC陰,AB/ CD M N 分別是 DA BC 的中點，目=k.設(shè)AD= eb AB= e2,以Bei, e2為基底表示向量 DC BQ MtN解方法一如圖所示，DC .- AB= e2,且后 k,眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專

21、業(yè)文楮眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔 眼皮蹦跳跳專業(yè)文檔，Db= kAEJ= ke2.一 _X / AB+ BOCDF DA= 0,. BC= AB- CD- DA= AB+ DC- AD=ei+ ( k- 1) e2.- - 又. MNF NBB/V AM= 0,且幅-2配am= 2疝一 Y ， T_ 1 T_ 1_ 1，一，MN= AM- BA- NB= 一 -A AB+ 二BC 22k+ 1=2 e2.方法二 如圖所示，過 C作CEE/ DA交AB于點E,交MNT點F.同方法一可得DC= ke2.則Bb= be+ EC= - (Ab-DC+Ab= ed(k 1)金,Mn= Mf* FN=DC2eB=DC1( AB-DCk+1= -Fe2.方法三 如圖所示，連接 MB MC同方法一可得 DC= ke2, Bb= ed(k1)e2.由Mn= /而母而值 得Mn= 1(MafAB+ M