電子科技大學(xué)數(shù)字信號處理第二章-匯編

1、第二章 z變換(binhun)和DTFT共九十五頁學(xué)習(xí)(xux)目標掌握z變換的定義及收斂(shulin)域，掌握z變換的反變換方法，理解z變換的基本性質(zhì)和定理掌握序列的DTFT及其主要性質(zhì)理解序列的z變換與連續(xù)信號的LT、FT的關(guān)系理解周期序列的DTFT掌握離散線性時不變系統(tǒng)的頻域表征（頻率響應(yīng)、極零圖等）共九十五頁2.1 z變換(binhun)的定義及收斂域 信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時域分析方法變換域分析方法連續(xù)(linx)時間信號與系統(tǒng) LT FT離散時間信號與系統(tǒng) ZT FT共九十五頁 一、ZT的定義(dngy) z 是復(fù)變量，所在(suzi)的復(fù)平面稱為z平面共九十五頁 二、Z

2、T的收斂(shulin)域?qū)τ谌我饨o定序列x(n)，使其z變換(binhun)X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。 級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和共九十五頁1）有限(yuxin)長序列共九十五頁 除0和兩點是否收斂與n1和n2取值情況(qngkung)有關(guān)外，整個z 平面均收斂。 如果n20 ，則收斂域不包括點 如果n10 ，則收斂域不包括0點 如果n10n2，收斂域不包括0 、點共九十五頁2）右邊(yu bian)序列因果序列的z變換(binhun)必在處收斂在處收斂的z變換， 其序列必為因果序列共九十五頁3）左邊(zu bian)序列共九十五頁4）雙邊(shungbin)序

3、列共九十五頁例1收斂(shulin)域應(yīng)是整個z的閉平面共九十五頁例2：求x(n)=RN(n)的z變換(binhun)及其收斂域共九十五頁例3：求x(n)=anu(n)的變換(binhun)及其收斂域共九十五頁例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換(binhun)及其收斂域共九十五頁例5：求x(n)=a|n|，a為實數(shù)(shsh)，求ZT及其收斂域共九十五頁共九十五頁給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有(zhyu)同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點

4、所在圓之內(nèi)共九十五頁共九十五頁2.2 z反變換(binhun)實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式(fnsh)法 長除法z反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n)共九十五頁1、圍數(shù)積分法求解(qi ji)（留數(shù)法） 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論(lln)，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。共九十五頁1、圍數(shù)積分法求解(qi ji)（留數(shù)法）若函數(shù)X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C以內(nèi)有K個極點(jdin)zk，而在C以外有M個極點zm，則

5、有： 共九十五頁 若F(z)在c外M個極點zm，且分母(fnm)多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則： 利用留數(shù)定理(dngl)求圍線積分，令 若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點zk，則：單階極點的留數(shù)：共九十五頁共九十五頁共九十五頁共九十五頁思考：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何共九十五頁2、部分分式(fnsh)展開法求解IZT ： 常見序列(xli)的ZT參見書p.54頁的表2-1若函數(shù)X(z) 是z的有理分式，可表示為： 利用部分分式的z反變換和可以得到函數(shù)X(z) 的z反變換。共九十五頁共九十五頁共九十五頁例2設(shè)利用(lyng)部分分式法求z反變換。解：

6、共九十五頁3、冪級數(shù)展開(zhn ki)法求解（長除法）:一般X(z)是有理分式，可利用(lyng)分子多項式除分母多項式（長除法法）得到冪級數(shù)展開式，從而得到x(n)。共九十五頁根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù) 將X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 負冪級數(shù) 降冪(jin m)排列 左邊序列 正冪級數(shù) 升冪排列共九十五頁例1ROC1:)1 長除法(chf)示例解：由Roc判定x(n)是因果(yngu)序列，用長除法展成z的負冪級數(shù)共九十五頁ROC2:)1解：由Roc判定x(n)是左邊序列(xli)，用長除法展成z的正冪級數(shù)共九十五頁解：

7、X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊(shungbin)序列 極點z=1/4對應(yīng)右邊序列，極點z=4對應(yīng)左邊序列 先把X(z)展成部分分式共九十五頁共九十五頁共九十五頁1、線性性2.3 Z變換(binhun)的基本性質(zhì)和定理R1R2R|a|RR2、序列(xli)的移位3、z域尺度變換 （乘以指數(shù)序列）4、 z域求導(dǎo) （序列線性加權(quán)）共九十五頁Z變換(binhun)的基本性質(zhì)（續(xù)） 5、翻褶序列(xli)1/RR6、共軛序列7、初值定理8、終值定理共九十五頁Z變換(binhun)的基本性質(zhì)（續(xù)）9、有限(yuxin)項累加特性ZT的主要性質(zhì)參見書p.69頁的表2-210、序列的卷積和11、序

8、列乘法12、帕塞瓦定理共九十五頁共九十五頁2.4 離散(lsn)信號的付氏變換DTFT一、DTFT的定義(dngy)變換對：稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。共九十五頁FT存在(cnzi)的條件：如果引入沖激函數(shù)，一些不滿足上述兩個條件的某些(mu xi)序列（如周期序列、單位階躍序列），其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。1.一致收斂2.均方收斂共九十五頁二、比較(bjio)ZT和DTFT的定義： 利用ZT和DTFT的關(guān)系可以(ky)有ZT計算DTFT。 序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值共九十五頁例1、計算(j sun)門序列的DTFT (類似(li s)Sa(.)函數(shù) )

9、(線性相位) 解：DTFT幅頻特性：相頻特性：共九十五頁圖示說明(shumng)：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw共九十五頁例2、已知 ( ),計算(j sun)其DTFT。由此可以(ky)得到FT的幅頻特性和相頻特性共九十五頁物理(wl)說明: 若 (語音信號處理中常用該指數(shù) 函數(shù)展寬單音信號的頻譜) ,該信號3db帶寬 (或 )。具體求 解過程如下： 令 即 可解出共九十五頁三、FT與DTFT的關(guān)系(gun x)歸一化 利用(lyng)FT與DTFT關(guān)系計算下列序列的 DTFT 例：共九十五頁解：1） 2）3）共九十五頁2.5 DTFT的一些(yxi)性質(zhì)1、線性性：2、實序列(xli

10、)：實偶性：實奇性：3、時移特性：共九十五頁4、乘以指數(shù)序列(xli) （調(diào)制性）5、序列(xli)線性加權(quán)6、序列翻褶7、序列共軛共九十五頁8、卷積定理： (時域) (頻域)DTFT的主要性質(zhì)(xngzh)參見書p.78頁的表2-39、帕色伐爾定理(dngl)：(Parseval Theory)頻域卷積在一周期內(nèi)積分,稱周期卷積。共九十五頁下面(xi mian)舉例說明DTFT性質(zhì)得使用。計算下列積分I的值。解：根據(jù)(gnj) 利用時域卷積定理有：上式卷積n=0時就是積分I的值。共九十五頁2.6 Fourier變換(binhun)的對稱性質(zhì)共軛對稱(duchn)序列：共軛反對稱序列： 任意序

11、列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：定義：共九十五頁其中：同樣，x(n)的Fourier變換 也可分解成：共九十五頁對稱(duchn)性質(zhì) 序列(xli) Fourier變換共九十五頁實數(shù)(shsh)序列的對稱性質(zhì) 序列(xli) Fourier變換共九十五頁實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性實部是的偶函數(shù)虛部是的奇函數(shù)幅度是的偶函數(shù)幅角是的奇函數(shù)共九十五頁2.7 周期性序列(xli)的DTFT1、復(fù)指數(shù)(zhsh)序列的傅里葉變換復(fù)指數(shù)序列ejw0n的傅里葉變換，是以w0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTF

12、Tsin(w0n+f)共九十五頁2、常數(shù)(chngsh)序列的傅里葉變換常數(shù)序列的傅里葉變換，是以w=0為中心(zhngxn)，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p3、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在w=2p/N的整數(shù)倍上的一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為2p/N共九十五頁4、一般性的周期為N的周期性序列(xli)的傅里葉變換共九十五頁周期性序列 （周期為N）的傅里葉變換是一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以，而 是x(n) 的一個周期的傅里葉變換X(ejw)在頻域中w= 2p/N的整數(shù)倍的各抽樣點上的抽樣

13、值。即：共九十五頁e滿足(mnz)0e 2p/N從w=0之前(zhqin)開始抽樣；在w=2p之間結(jié)束抽樣；此區(qū)間共有N個抽樣值：0kN-1共九十五頁周期(zhuq)序列的DFS正變換和反變換周期序列(xli)的傅里葉級數(shù)（DFS）其中：共九十五頁2.8 序列(xli)ZT、連續(xù)信號LT和FT的關(guān)系若：連續(xù)信號采樣(ci yn)后的拉氏變換LT共九十五頁抽樣(chu yn)序列：當(dāng)兩變換(binhun)之間的關(guān)系，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射，其映射關(guān)系為對比：共九十五頁進一步討論這一映射(yngsh)關(guān)系：1共九十五頁s平面(pngmin)到z平面的映射是多值映射。輻射線=0T平行

14、直線 =0正實軸=0實軸 =0Z平面S平面:共九十五頁抽樣序列在單位圓上的z變換(binhun)，就等于其理想抽樣信號的傅里葉變換(binhun)共九十五頁數(shù)字頻率w表示(biosh)z平面的輻角，它和模擬角頻率W的關(guān)系為在以后的討論中，將用數(shù)字頻率(pnl)w來作為z平面上單位圓的參數(shù)，即所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2p共九十五頁2.9 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(hnsh)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 單位(dnwi)抽樣響應(yīng)h(n)的z變換其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ： 單位圓上的

15、系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應(yīng)h(n)的DTFT共九十五頁1、若LSI系統(tǒng)為因果(yngu)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位(dnwi)圓，即頻率響應(yīng)存在且連續(xù)H(z)須從單位圓到的整個z域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內(nèi)1）因果：2）穩(wěn)定：序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：3）因果穩(wěn)定：Roc：共九十五頁共九十五頁2、系統(tǒng)(xtng)函數(shù)與差分方程常系數(shù)線性差分(ch fn)方程：取z變換則系統(tǒng)函數(shù)共九十五頁共九十五頁共九十五頁共九十五頁共九十五頁3、系統(tǒng)(xtng)的頻率響應(yīng)的意義1）LSI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)(zhsh)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：共九十五頁2）

16、LSI系統(tǒng)對正弦(zhngxin)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出同頻 正弦序列幅度受頻率響應(yīng)幅度 加權(quán)相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和共九十五頁3）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列(xli)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 其中：微分增量（復(fù)指數(shù)）：共九十五頁4、頻率響應(yīng)的幾何(j h)確定法利用H(z)在z平面上的零極點(jdin)分布頻率響應(yīng)：共九十五頁則頻率響應(yīng)(pn l xin yn)的令幅角：幅度：共九十五頁零點位置影響(yngxing)凹谷點的位置與深度零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零極點位置影響凸峰的位置和深度極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定共九十五頁共九十五頁共九十五頁共

17、九十五頁共九十五頁共九十五頁5、IIR系統(tǒng)(xtng)和FIR系統(tǒng)無限長單位(dnwi)沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長序列有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長序列共九十五頁IIR系統(tǒng)：至少有一個FIR系統(tǒng)：全部全極點系統(tǒng)（自回歸系統(tǒng)，AR系統(tǒng)） ：分子只有常數(shù)項零極點系統(tǒng)（自回歸滑動平均系統(tǒng)，ARMA系統(tǒng)）:分子不止常數(shù)項收斂域 內(nèi)無極點，是全零點系統(tǒng)（滑動平均(pngjn)系統(tǒng)，MA系統(tǒng)）共九十五頁IIR系統(tǒng)：至少有一個有反饋環(huán)路(hun l)，采用遞歸型結(jié)構(gòu)FIR系統(tǒng)：全部無反饋環(huán)路(hun l)，多采用非遞歸結(jié)構(gòu)共九十五頁本章(bn zhn)重點z變換的定義及收斂域、z變換的反變換掌握序列的DTFT及其主要性質(zhì)離散(lsn)線性時不變系統(tǒng)的頻域表征（頻率響應(yīng)的特點、極零圖、因果穩(wěn)定條件等）共九十五頁內(nèi)容摘要