工程流體力學(xué)5

1、工程流體力學(xué) 主講: 馮 進(jìn) 15 粘性流體動力學(xué) 流體作為特定形態(tài)的物質(zhì)，其流動過程必然遵循物質(zhì)運(yùn)動的基本原理，包括質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒原理等。本章將以控制體系統(tǒng)分析方法，建立流體流動系統(tǒng)質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒的微分方程和積分方程。 25.1 基本概念 與研究流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的拉格朗日方法和歐拉方法相對應(yīng)，在研究流體運(yùn)動的宏觀行為時，既可在流場中選定部分流體即系統(tǒng)為對象，也可選擇確定的流場空間即控制體為對象。為此，有必要首先說明系統(tǒng)與控制體這兩個概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。 3一、系統(tǒng) 1.系統(tǒng)定義 系統(tǒng)就是確定不變的物質(zhì)集合。系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱為外界，系統(tǒng)與外界的分界面稱為邊界。系統(tǒng)可通

2、過邊界與外界發(fā)生力的作用和能量交換，但不發(fā)生質(zhì)量交換，即系統(tǒng)的質(zhì)量是不變的。 2.特點(diǎn) 1).系統(tǒng)的質(zhì)量不變,通過邊界與外界發(fā)生力的作用和能量交換。 2).對于流動過程，系統(tǒng)邊界形狀也會不斷發(fā)生變化。4二、控制體 1.控制體的定義 控制體就是根據(jù)需要所選擇的具有確定位置和體積形狀的流場空間。控制體的表面稱為控制面。在控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且還可以有質(zhì)量的交換。 2.特點(diǎn) 1).具有確定位置和體積形狀的流場空間； 2).在控制面上有力的作用和能量、質(zhì)量的交換。5三、輸運(yùn)公式 基于“系統(tǒng)”的基本原理之所以要轉(zhuǎn)換成適用于“控制體”的表達(dá)形式，是因?yàn)榭刂企w的質(zhì)量是變化的，因此這種轉(zhuǎn)換

3、只涉及與質(zhì)量成正比的量，即系統(tǒng)質(zhì)量、動量和能量，它們以時間變化率的形式出現(xiàn)在基本原理表達(dá)式中 。 為直觀起見，以系統(tǒng)的質(zhì)量變化率為例來導(dǎo)出輸運(yùn)公式。 6即：關(guān)于質(zhì)量的輸運(yùn)方程為：7 上式中，等式左端表示系統(tǒng)的質(zhì)量變化率，等式右端第一項(xiàng)表示控制體內(nèi)質(zhì)量對時間的變化率，等式右端第二項(xiàng)表示凈流出控制體的質(zhì)量流量，凈流出控制體的質(zhì)量流量等于流出控制體的質(zhì)量流量-流入控制體的質(zhì)量流量。 85.2 質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程） 一、質(zhì)量守恒方程的微分形式 9 如上圖所示，在直角坐標(biāo)下建立質(zhì)量守恒方程。首先考察x方向的凈質(zhì)量流量: 10同理在y和z方向的凈質(zhì)量流量有: 控制體內(nèi)的質(zhì)量對時間的變化率：11因此，

4、根據(jù)輸運(yùn)方程，有:這就是質(zhì)量守恒方程的微分形式。 12二、質(zhì)量守恒方程的積分形式 在時刻t,控制體內(nèi)流體有一定質(zhì)量，若在dt時間內(nèi)流出控制體的質(zhì)量,大于流入的質(zhì)量，則控制體內(nèi)的質(zhì)量減少，反之則增加。因此質(zhì)量守恒定律可表述為：（單位時間內(nèi)流出控制體的質(zhì)量）(單位時間內(nèi)流入控制體的質(zhì)量)+單位時間內(nèi)控制體質(zhì)量的變化率=0。13 流出和流入控制體的質(zhì)量的代數(shù)和稱為凈流出控制體的質(zhì)量： 控制體內(nèi)的質(zhì)量對時間變化率： 14 故： 這就是流體力學(xué)質(zhì)量守恒方程的積分表達(dá)形式。根據(jù)面積積分與體積積分的關(guān)系，有： 15 要滿足上式積分等于零，必有： 這就是質(zhì)量守恒方程的微分形式。當(dāng)穩(wěn)態(tài)流動時，流體參數(shù)與流動參數(shù)

5、均與時間無關(guān)，這時質(zhì)量守恒方程為: 16 當(dāng)流體為不可壓縮均質(zhì)流體時，連續(xù)性方程為: 例：試證下列不可縮流體運(yùn)動存在的可能性。 17三、質(zhì)量守恒方程的特殊形式 對于流管（如圖示），我們研究過流截面S1和過流截面S2之間的控制體系統(tǒng)的質(zhì)量。通過過流截面S1單位時間流入控制體系統(tǒng)的質(zhì)量m1，即： 18 通過過流截面S2單位時間流入控制體系統(tǒng)的質(zhì)量m2，即： 則控制體系統(tǒng)的質(zhì)量對時間的變化率為： 19 根據(jù)輸運(yùn)方程和質(zhì)量守恒方程，有： 穩(wěn)態(tài)流動時，質(zhì)量守恒方程簡化為： 20 當(dāng)過流截面S1和過流截面S2上各點(diǎn)的速度方向與法線相重合且流速相等和密度不變時，穩(wěn)態(tài)流動的質(zhì)量守恒方程簡化為： 當(dāng)過流截面S1

6、和過流截面S2上各點(diǎn)的速度方向與法線相重合且流速相等時，不可壓縮均值流體的質(zhì)量守恒方程簡化為： 21 例1：如圖所示的一不可壓縮流體通過圓管的流動，體積流量為Q，流動是定常的。 (1) 體積流量為Q=0.4m3/s，假定截面l，2和 3上的速度是均勻分布的，在三個截面處圓管的直徑分別為D1=0.4m 、D2=0.2m 和D3=0.6m，求三個截面上的速度。 (2)若截面1處的流量為Q=0.4m3/s，但密度按以下規(guī)律變化： 20.61， 31.21 求三個截面上的速度值。 22 例2：已知粘性流體的動力粘度為，在圓管中作層流流動時的速度分布為： 求： (1)過流截面上的流量； (2)單位長度圓

7、管對流體的阻力； (3)在管內(nèi)rr0/2處沿圓管每單位長流體的內(nèi)摩擦力。 234.3 運(yùn)動方程 一、運(yùn)動方程的微分形式 1.流體中的應(yīng)力24 流體力學(xué)表示應(yīng)力的方法與固體力學(xué)相同，用表示正應(yīng)力，表示切應(yīng)力。用第一 個下標(biāo)表示應(yīng)力承受面的外法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力方向。應(yīng)力分量的正負(fù)按下述規(guī)則確定：在外法線方向與某一坐標(biāo)軸正向相同的承受面上，方向與坐標(biāo)軸正向相同的應(yīng)力分量為正，與坐標(biāo)軸正向相反的應(yīng)力分量為負(fù)。在外法線方向與某坐標(biāo)軸正向相反的承受面上情況相反。 252.運(yùn)動方程 首先研究X方向的動量變化情況，在X方向上受到的應(yīng)力如圖示：26同理在Y和Z方向有： 將運(yùn)動方程的三個分量方程用矢量方

8、程表示： 27將運(yùn)動方程的三個分量方程用矢量方程表示：式中P為二階應(yīng)力張量，其具體形式為： 28二、運(yùn)動方程的積分形式 任取一體積為V、邊界面積為S的控制體系統(tǒng)。根據(jù)動量原理，動量的變化率等于作用于該體積上的質(zhì)量力和表面力之和。以 表示作用在單位質(zhì)量上的質(zhì)量力分布函數(shù)，以 表示作用在單位面積上的面力分布函數(shù)(如圖示)， 。29則作用在V上的總質(zhì)量力為：S上的總面力為： 30控制體系統(tǒng)內(nèi)的動量是：于是，動量定理可以寫成下列表達(dá)式： 31其中： 32因此：這就是運(yùn)動方程的積分形式。又因：33故：這就是運(yùn)動方程的微分形式。 34三、本構(gòu)方程 1.剪應(yīng)力互等定理 35 1.剪應(yīng)力互等定理 考慮流場中的

9、微元流體，其瞬時轉(zhuǎn)動中心為C，微元體所受到的力有質(zhì)量力，切向粘性應(yīng)力和正應(yīng)力，質(zhì)量力和正應(yīng)力線通過瞬時轉(zhuǎn)動中心，對合力矩的貢獻(xiàn)為零，只有切向粘性力能產(chǎn)生使微元體旋轉(zhuǎn)的力矩。首先考查對過轉(zhuǎn)動中心并平行于Z軸的轉(zhuǎn)動軸的力矩，即：3637 而MZ=ICZZ， ICZ繞過中心并平行于Z軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量，Z Z方向的角加速度。ICZ為長度尺寸的五次方，當(dāng)x0, y0, z0時, ICZ0。故有 ，也就是剪應(yīng)力互等。同理有： 382.剪應(yīng)力的大小 根據(jù)材料力學(xué)知識，剪應(yīng)力等于剪切模量剪應(yīng)變,仿照此方法,根據(jù)stokes假設(shè)：牛頓流體彈性固體對應(yīng)關(guān)系: 牛頓流體 彈性固體 正應(yīng)力 正應(yīng)力 剪應(yīng)力 剪應(yīng)力

10、 線應(yīng)變率 線應(yīng)變 角應(yīng)變率 角應(yīng)變 粘度 剪切模量39流體的剪應(yīng)力=粘度剪應(yīng)變率，即： 40 3.正應(yīng)力 根據(jù)廣義虎克定律，對于各向同性的彈性固體，其應(yīng)力與應(yīng)變存在如下關(guān)系： （1） （2） （3）41泊松比。三式相加，整理得：彈性固體的G、E、有如下關(guān)系：42對于式 43 對牛頓流體有： 由于流體靜止時，壓強(qiáng)各個方向相等，應(yīng)變率為零，故設(shè)： 4445式中：46四、運(yùn)動微分方程幾種形式 1.運(yùn)動微分方程的一般形式 472. 常粘度的運(yùn)動微分方程483. 不可壓縮流體的運(yùn)動微分方程49當(dāng)不可壓縮流體的粘度不變時 50 例：設(shè)某一流體流動為: ux=2y十3z，uy3z十x，uz=2x十4y 該

11、流體的粘性系數(shù)0.008Nsm2，求其切應(yīng)力。515.4 能量方程 任取一界面為S的流體團(tuán)，其體積為V，設(shè) 為界面的外法線單位矢量。根據(jù)能量守恒定律，體積V內(nèi)流體的動能和內(nèi)能對時間改變率等于單位時間內(nèi)質(zhì)量力和面力所作的功加上單位時間內(nèi)給予體積V的熱量。因此，體積V的動能和內(nèi)能總和是： 52 其中U是單位質(zhì)量的內(nèi)能。單位時間質(zhì)量力和面力所作的功則是： 53 現(xiàn)在來研究體積V熱量的增加，傳熱方式主要有熱傳導(dǎo)和熱輻射兩種，根據(jù)富利葉公式，單位時間內(nèi)由于熱傳導(dǎo)通過表面ds傳給V的熱量是: f是熱流矢量，它是溫度梯度的線性函數(shù)，即： K熱傳導(dǎo)系數(shù)，一般為二階張量。對于空氣和水這類各向同性流體， ，k為熱

12、傳導(dǎo)系數(shù)。54 單位時間內(nèi)由于熱傳導(dǎo)通過表面S傳給V的熱量為： 設(shè)q為由于熱輻射或其它原因在單位時間內(nèi)傳給單位質(zhì)量流體的熱量分布函數(shù)，則單位時間內(nèi)由于熱輻射或其它原因傳給V的熱量為： 55能量守恒定律可以寫為： 這就是能量方程的積分形式。在上式中：56能量守恒定律又可以寫為： 由于V是任意的，故： 這就是能量方程的微分形式。 57對N-S方程兩端點(diǎn)乘矢量 ，得: 將上式代入微分形式能量方程，得：58稱耗散函數(shù) 微分形式能量方程變?yōu)椋?根據(jù)連續(xù)性方程， ，因此有59根據(jù)熱力學(xué)理論 S稱為熵，i稱為焓。微分形式能量方程變?yōu)椋?0 等容過程時 ，CV為等容比熱，這時能量方程為： 等壓過程時 ，Cp為等壓比熱，這時能量方程為：615.5 狀態(tài)方程 由前面建立的連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和能量方程可以看出，當(dāng)流體為不可壓縮流體時變量