數(shù)字信號處理：第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

1、本章主要內(nèi)容序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號的傅里葉變換之間的關(guān)系序列的Z變換利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析信號和系統(tǒng)的兩種分析方法：(1)模擬信號和系統(tǒng) 信號用連續(xù)變量時間t的函數(shù)表示； 系統(tǒng)則用微分方程描述； 信號和系統(tǒng)的頻域分析方法：拉普拉斯變換和傅里葉變換；(2)時域離散信號和系統(tǒng) 信號用序列表示； 系統(tǒng)用差分方程描述； 頻域分析的方法是：Z變換或傅里葉變換；2.1 引言時域分析方法和頻率分析方法 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)2.2.1 序列傅里葉變換的定義 稱為序列

2、x(n)的傅里葉變換，用FT(Fourier Transform)縮寫字母表示。FT成立的充要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件， 即滿足下式： 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)求FT的反變換， 用e jm乘上式兩邊， 并在-內(nèi)對進行積分， 得到因此傅里葉變換對2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例:設(shè)x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT 設(shè)N=4， 幅度與相位隨變化曲線如下圖所示2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)2.2.2 序列傅里葉變換的性質(zhì)1. FT的周期性 在FT定義式中， n取整數(shù)， 因此下式成立 結(jié)論： (1) 序列的傅里葉變換是頻率的連續(xù)周期函數(shù)，周期是2。 (2)

3、 X(ej)可展成傅里葉級數(shù)， x(n)是其系數(shù)。 X(ej)表示了信號在頻域中的分布規(guī)律。 (3) 在0,2,4表示信號的直流分量，在(2M1)時是最高的頻率分量。一般只分析信號在一個周期的FTM為整數(shù)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 2. 線性 3. 時移與頻移 設(shè)X(e j)=FTx(n)， 那么設(shè)： 則： 式中a, b為常數(shù))改變相位2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)4. FT的對稱性(1) 共軛對稱序列 共軛對稱序列xe(n)滿足： 將xe(n)用其實部與虛部表示： 上式兩邊n用-n代替，取共軛： 得到： xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e

4、(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) 實部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(2) 共軛反對稱序列共軛反對稱序列滿足：將x0(n)用其實部與虛部表示： 上式兩邊n用-n代替，取共軛：對比上面兩公式， 左邊相等， 因此得到 xo(n)=x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n)實部是奇函數(shù)虛部是偶函數(shù)xor(n)=xor(-n) xoi(n)= xoi(-n) 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例1 試分析x(n)=e jn的對稱性 解： 將x(n)

5、的n用-n代替， 再取共軛得到： x*(-n)= e jn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共軛對稱序列。 將序列展成實部與虛部的形式， 得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明:共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(3) 任意序列可表示成共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和 xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何關(guān)系？ 將上式中的n用-n代替， 取共軛： 根據(jù)上面兩式， 得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(4) 頻域函數(shù)X(ej)的對稱性 任意頻域函

6、數(shù)X(ej)可表示成共軛對稱部分和共軛反對稱部分之和： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) Xe(ej) = X*e(ej) Xo(ej) =X*o(ej) Xe(ej), Xo(ej)和原頻域函數(shù)X(ej)的關(guān)系2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(5) 研究FT的對稱性 (a) 將序列x(n)表示成實部xr(n)與虛部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進行FT， 得到: X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 結(jié)論： 序列分成實部與虛部兩部分， 實部對稱的FT具有共軛對稱性， 虛部和j一起對應的FT具有共軛反對稱性。 xi(n)2.2 序列的傅里葉變換的

7、定義和性質(zhì)(b) 序列表示成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)之和其中：將上面兩式分別進行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)結(jié)論：序列的共軛對稱部分xe(n)對應著FT的實部XR(ej)， 而序列的共軛反對稱部分xo(n)對應著FT的虛部jXI(ej) 。 x(n)=xe(n)+xo(n)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)總結(jié)：序列傅里葉變換的共軛對稱性的基本內(nèi)容如下： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(ejw)= Xe(ejw

8、) + Xo(ejw) x(n) = xe(n) + xo(n) X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw)FTFT2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(6) 研究實因果序列h(n)的對稱性 因為h(n)是實序列，其FT只有共軛對稱部分He(ej)，共軛反對稱部分為零。 所以其FT具有共軛對稱性。 即： H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此實序列的FT的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù) 即 ：HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 實因果序列h(n)與其共軛對稱部分he(n)和共軛反對稱部分ho(n)的關(guān)系

9、h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2h(n) + h(-n) ho(n)=1/2h(n) - h(-n)因為h(n)是實因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示為： 0， n=02.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)實因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n)說明：實因果序列可以完全僅由其偶序列he(n)恢復，因為其奇序列ho(n)中缺少n=0點h(n)的信息，因此由ho(n)恢復h(n)時，需要補充一點h(o)(n)信息分段增益函數(shù)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例

10、2 x(n)=anu(n),0a1,求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 0 ， n=00 ， n=0 0, n02.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例2：若序列h(n)是實因果序列，其傅立葉變換的實部為HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解 HR (ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw + 0.5 ejw = he(n) e-jwn 0.5 n = -1 he(n)= 1 n = 0 0.5 n = 1根據(jù)實因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n)根據(jù)傅立葉變換定義，H(ejw)=FTh(n)= h(n) e-jw

11、n =1+e-jw2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)5. 時域卷積定理 設(shè)：y(n)=x(n)*h(n) 則：Y(e j)=X(e j)H(e j) 證明：令：k=n- m,則mm定理說明：兩序列卷積的FT服從相乘關(guān)系，對于線性時不變系統(tǒng)，輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應的FT2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)6. 頻域卷積定理 設(shè)：y(n)=x(n)h(n) 則： 證明：xX()e2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 7. 帕斯維爾Parseval定理）定理說明：信號時域的總能量等于頻域中的總能量。證明：2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 周期序列不滿足絕對可

12、和條件，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展開成離散傅里葉級數(shù)，當引入奇異函數(shù)，其FT可用公式表示。2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù) 1. 周期序列的離散傅立葉級數(shù)(DFS變換) 設(shè) 是以N為周期的周期序列，可展成傅里葉級數(shù)的形式： 式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)，為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以 ，并對n在一個周期N中求和 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 k和n均取整數(shù)， 當k或者n變化時， 是周期為N的周期函數(shù)，所以系數(shù) 也是周期序列，ak=a k+lN，令：式中:因此:n0=k,m=N-1n周期序列的離散傅里葉級數(shù)2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2、周期

13、序列離散傅立葉反變換(IDFS變換) 如上式兩端乘以 ， 并對k在一個周期中求和， 得到N，l = n0，l n由于：2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式總結(jié)：一個周期為N的周期序列DFS變換對為意義：表明將周期序列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1，幅度為 ，基波分量的頻率是2/N， 幅度是 一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式例1 設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進行周期延拓， 得到如圖所示的周期序列 ， 周期為8， 求 的DFS。 解： 按照DFS變

14、換公式幅度特性表明周期序的DFS :與N有關(guān)；在頻域中是個離散的周期序列j2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中， 的傅里葉變換是在=o處的單位沖激函數(shù)，強度是2， 即在時域離散系統(tǒng)中，對于x(n)=e jon，2/o為有理數(shù)，其FT也是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度為2，由于n取整數(shù)，下式成立r取整數(shù) 則：在02r處的單位沖激函數(shù)2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式對于一般周期序列 ，其離散傅里葉級數(shù)為：對其進行傅里葉變換：如果讓k在之間變化， 上式可簡化成：奇異函數(shù)其中：2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表

15、示式例2:求例1中周期序列的FT。 解：將例1中得到的 代入周期序列的FT公式中得到對于同一個周期信號，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線)，所以，周期序列的頻譜分布用其DFS和FT表示都可以2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式例3 令 ，2/0為有理數(shù)，求其FT。 解： 歐拉公式展開表明:cos0n的FT，是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度為，且以2為周期進行延拓。22.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系 模擬信號xa(t)傅里葉變換對序列x(n)的傅里葉變換對x(n)=xa(nT)采樣信號提出問題： (1) 序列的傅里

16、葉變換X(ej)與模擬信號的傅里葉變換Xa(j)之間有什么關(guān)系。 (2) 數(shù)字頻率與模擬頻率(f)之間有什么關(guān)系。時域關(guān)系2.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系t=nTw=Td2.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系結(jié)論：離散信號可看作模擬信號的采樣序列：數(shù)字域頻率與模擬域頻率呈線性關(guān)系： 離散信號的FT(頻譜)是對應的模擬信號FT(頻譜)以s=2/T為周期的周期延拓。 2.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系模擬域頻域數(shù)字域頻域歸一化頻率：f=f/fs =/s， =/22.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系例 設(shè)xa

17、(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz，以采樣頻率fs=200Hz對xa(t)進行采樣，得到采樣信號 和時域離散信號x(n)， 求xa(t)和 的傅里葉變換以及x(n)的FT。解：(1)Xa(j)是=2f0處的單位沖激函數(shù)，強度為2.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系(2) 以fs=200 Hz 對xa(t)進行采樣得到采樣信號 ，根 據(jù) 與xa(t)的關(guān)系式：根據(jù)采樣信號和模擬信號的FT之間的關(guān)系，可得到：2.4 時域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系將fs=200 Hz，f0=50 Hz，代入上式， 求括弧中公式為零時的值，=2k/2， 因此X(ej)用下式表示： (3

18、) 由采樣信號得到的序列x(n)，x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)，序列x(n)的FT，只要將=/T=fs代入：2.5 序列的Z變換在模擬信號和系統(tǒng)中，用FT進行頻域分析，用拉普拉斯變換對信號進行復頻域分析。在時域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的FT進行頻域分析，用Z變換進行復頻域分析。2.5.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為： 注意：式中z是一個復變量，它所在的復平面稱為z平面。在定義中，對n求和是在之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式 2.5 序列的Z變換 Z變換存在的條件：等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和， 即：使上式成立的Z變量取值的

19、域稱為收斂域。 收斂域一般為環(huán)狀域 令：Z=rejw ，代入上式可得到：Rx-rRx+ 收斂域分別是以為Rx-和Rx+為半徑的 兩個圓形成的環(huán)狀域2.5 序列的Z變換 常用的Z變換是一個有理函數(shù)， 可用兩個多項式之比表示 收斂域總是用極點限定其邊界。 對比序列的FT和ZT的定義式，可得到FT和ZT之間的關(guān)系： 單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。 根據(jù)已知序列的Z變換求序列的FT的條件是：收斂域中包含單位圓。 P(z)的根是X(z)的零點Q(z)的根是X(z)的極點 z=ej：表示在z平面上r=1的圓，稱為單位圓2.5 序列的Z變換例 已知序列x(n)=u(n)， 求其Z變換。 解： X(z

20、)存在的條件是|z-1|1 分析：極點是z=1， 序列單位圓上的Z變換不存在， 因此其傅里葉變換不存在，但如果引進奇異函數(shù)()， 其傅里葉變換可以表示出來。 一個序列的FT不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的，對于這類信號的分析可以采用Z變換來分析。|z|1 2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性信號和系統(tǒng)的頻域特性用序列的傅里葉變換和Z變換進行分析。 2.6.1 傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列(n)的響應，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)。 (1)對h(n)進行傅里葉變換得到H(e j)。 稱H(e j)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，表征系統(tǒng)的頻率特性。 2.6 利

21、用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性(2)對h(n)進行Z變換，得到H(z) 稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，表征了系統(tǒng)的復頻域特性。(3)如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ej)與H(z)之間關(guān)系如下式：H(z) h(n)系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)在單位圓上的Z變換就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.6.2 用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 1、因果系統(tǒng)當n0時，h(n)=0；系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點,收斂域在某個圓外。 2、穩(wěn)定系統(tǒng)：要求：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓。3、系統(tǒng)因果且穩(wěn)定 收斂域包含點和單位圓，收斂域可表示為 r|

22、z|， 0r1 所有極點集中在單位圓的內(nèi)部2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.6.3 利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性NA=b0/a0 ，影響傳輸函數(shù)的幅度大小， cr是H(z)的零點，dr是其極點，影響系統(tǒng)特性的頻率特性分子分母同乘以z N+M，得到:因式分解2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=e j，得到傳輸函數(shù)設(shè)N=M在z平面上ej-cr ：用一根由零點cr指向單位圓上ej點B的向量 表示ej-dr ：用一根極點指向ej點B的向量 表示稱為零點矢量稱為極點矢量BB極坐標2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性結(jié)論：系統(tǒng)的傳輸特性或者信號的頻率特性

23、可由上式作定性分析(幾何分析)，當頻率從零變化到2時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)上式可分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。 例如：下圖表示了具有一個零點和二個極點的頻率特性極點零點谷點峰值2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性極點越靠近單位圓，極點矢量長度越短，峰值越尖銳，極點在單位圓上，幅度特性為，系統(tǒng)不穩(wěn)定；零點越靠近單位圓，零點矢量長度越短，峰值接近零，零點在單位圓上，谷值為零；極點位置影響頻響的峰值位置和尖銳程度，零點位置影響頻響谷點位置和形狀；應用： 若要使設(shè)計的濾波器濾掉某個頻率(不讓某一頻率通過)，可在單位圓上相應的頻率處設(shè)置一個零點；若要使設(shè)計的濾波器讓某個頻率無衰減通過(突出某一頻率)，可在單位圓內(nèi)相應的頻率處設(shè)置一個極點；適當?shù)乜刂屏恪O點的分布，可