自控控制原理：第I章 拉普拉斯變換

1、I-1 拉普拉斯變換的定義第I章 拉普拉斯變換I-2 拉普拉斯變換的性質(zhì)I-3 拉普拉斯反變換I-4 運算電路I-5 應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路I-1 拉普拉斯變換的定義 對于一階電路、二階電路，根據(jù)基爾霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根據(jù)換路后動態(tài)元件的初值求解微分方程。對于含有多個動態(tài)元件的復(fù)雜電路，用經(jīng)典的微分方程法來求解比較困難（各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時刻的值難以確定）。拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來求解。時域微分方程頻域代數(shù)方程拉氏變換拉氏逆變換求解時域解優(yōu)點：不需要確定積分常數(shù)，適用于高階復(fù)雜的動態(tài)電路。相量法：正弦運算簡化為復(fù)數(shù)運

2、算拉氏變換定義：一個定義在0，）區(qū)間的函數(shù) f(t)，它的拉氏變換定義為：式中：s = + j (復(fù)數(shù)) f(t) 稱為原函數(shù)，是 t 的函數(shù)。 F(s) 稱為象函數(shù)，是s 的函數(shù)。拉氏變換存在條件：對于一個函數(shù)f(t)，若存在正的有限值M和c，使得對于所有t 滿足：則f(t)的拉氏變換F(s)總存在。積分下限從0 開始，稱為0 拉氏變換 。積分下限從0+ 開始，稱為0+ 拉氏變換 。積分下限從0 開始，可以計及 t=0時 f(t)所包含的沖激 。傅立葉變換拉氏反變換：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的變換稱為拉氏反變換，它定義為：特殊情況：當(dāng) =0，s=j，且積分下限為時，拉氏變換就是

3、傅立葉變換(2)單位階躍函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)(3)單位沖激函數(shù)例I-1 求以下函數(shù)的象函數(shù)。 I-2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性例I-2 若：上述函數(shù)的定義域為0， ，求其象函數(shù)。二 、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)1. 時域?qū)?shù)性質(zhì)例I-3 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)：推廣：2.頻域?qū)?shù)性質(zhì)三、積分性質(zhì)四、延遲性質(zhì)1.時域延遲f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0例I-5 求圖示矩形脈沖的象函數(shù)1Ttf(t)TTf(t)2、頻域平移性質(zhì)積分小結(jié)：微分 I-3 拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對F(S)進(jìn)行部分分式展開象函數(shù)的一般形式：利用部分分式

4、F(S)分解為：例I-6 解：令D(s)=0，則 s1 = 0，s2=2，s3=5 K1、k2也是一對共軛復(fù)根小結(jié)：1.) n =m 時將F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t) 的步驟2.)求真分式分母的根，確定分解單元3.)求各部分分式的系數(shù)4.)對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換 。2.拉氏變換法分析電路正變換 反變換相量形式KCL、KVL元件 復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式電路模型I-4 運算電路類似地元件 運算阻抗、運算導(dǎo)納運算形式KCL、KVL運算形式電路模型2.電路元件的運算形式R：u=Ri1.運算形式的電路定律+ u -iR+ U(S) -I(S)RL:SLi(0-)/S+ U(

5、S) -I(S)I(S)Li(0-)+ U(S) -SLi+ u -L+ u -iC:IC(S)1/SCuc(0-)/S+ UC(S) - + UC(S) - Cuc(0-)1/SCIC(S)ML1L212+u1-+u2-L1i1(0-）Mi2(0-）Mi1(0-）L2i2(0-）+U2(S)-+U1(S)-I1(S)I2(S)SL1SL2+ SM + +(s)U+1(s)-m RI(S)+U2-U1(S)+u1-+u2- u1Ri運算阻抗運算形式歐姆定理+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC運算阻抗+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC uc(0-)/s Li(0-)3.

6、運算電路運算電路如 L 、C 有初值時，初值應(yīng)考慮為附加電源RRLLCi1i2Ee(t)時域電路物理量用象函數(shù)表示元件用運算形式表示RRLSL1/SCI1(S)E/SI 2(S)例51F2010100.5H50V+-uc+ -iL時域電路t=0時打開開關(guān)t0運算電路200.5S-+-1/S25/S2.55IL(S)UC(S) I-5.拉普拉斯變換法分析電路步驟： 1.由換路前電路計算uc(0-) , iL(0-) 2. 畫運算電路圖3. 應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)4. 反變換求原函數(shù)例1：200V300.1H10-uc+1000FiLt = 0時閉合k,求iL，uL。V(2)畫運算電路200/S

7、300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)例1：200V300.1H10-uc+1000FiL200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)I1(S)I2(S)(4)反變換求原函數(shù)求UL(S)UL(S)200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)?RC+ucis(t)例I-10 求沖激響應(yīng)R1/SC+Uc(S)IS1tuc(V)0tic例I-11 圖示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時將開關(guān)S閉合，已知us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5,L1=1H,求t0時的uL(t). S R1 R2 iL + US1 L uL US2 R1 R2 + UL(s) sL Li(0-)+ ML1L2R1R2 usSi1i2例I-12 圖示電路，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，試求：t=0時開關(guān)閉合后的電流i1(t)和i2(t)。sL1sL2R1R2sMt = 0時打開開關(guān)k ,求電流 i .例.I-13 +- UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2310/S20.3S1.530.1SI(S)ti523.750UL1(S)10/S20.3S1.530.1SI(S)uL1-