非線性系統(tǒng)的分析講解課件

1、第七章非線性系統(tǒng)的分析7.1非線性系統(tǒng)的概述7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法 7.3 典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性第1頁，共44頁。嚴(yán)格地說線性系統(tǒng)在實(shí)地實(shí)際中不存在，而非線性系統(tǒng)是普遍存在的。構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個或一個以上的非線性特性時，即稱此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)千差萬別。 線性系統(tǒng)中引入非線性控制可以改善系統(tǒng)的性能。線性控制系統(tǒng)： 由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非線性控制系統(tǒng)： 系統(tǒng)中含有非線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。第2頁，共44頁。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別：非線性系統(tǒng)疊加原理不能應(yīng)用。 3非線性系統(tǒng)不能求出完整的解，只能對非線性系統(tǒng)

2、的運(yùn)動情況進(jìn)行估計，例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)等等。非線性科學(xué)耗散結(jié)構(gòu)論、突變論、協(xié)同論、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普適性。2線性系統(tǒng)可以用常微分方程來描述，而非線性的微分方程只在某些特殊的情況下才有解析解。4非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜和多樣的動力學(xué)特性。第3頁，共44頁。7.1非線性系統(tǒng)的概述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 描述大多數(shù)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階非線性非線性常微分方程，形式為：h()表示非線性函數(shù)。u(t)是輸入，y(t)是輸出。第4頁，共44頁。二、控制系統(tǒng)中非線性特性的分類非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部線性化。本質(zhì)非線性：當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變

3、化而保持恒定。放大器的飽和輸出特性磁飽和元件的行程限制功率限制等等。1. 飽和特性第5頁，共44頁。 輸入 輸出2. 死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）很小時作為線性特性處理較大時將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，系統(tǒng)低速不平滑性各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。數(shù)學(xué)描述為：a為死區(qū)寬度第6頁，共44頁。 輸出 輸入 輸出 輸入3. 滯環(huán)特性鐵磁部件的元件：電液伺服閥中的力矩馬達(dá)非單值非線性第7頁，共44頁。4. 間隙特性（回環(huán)）齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙數(shù)學(xué)描述為：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞自持振蕩。同時使穩(wěn)態(tài)誤差增大。

4、第8頁，共44頁。5. 繼電器特性a為繼電器的吸合電壓。ma為繼電器的釋放電壓。M為常值輸出。幾種特殊的繼電器特性第9頁，共44頁。 輸入 輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。6. 非線性增益大偏差時，具有較大增益加快系統(tǒng)響應(yīng)。小偏差時，具有較小增益提高零位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。第10頁，共44頁。三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)與分析方法（一）非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性動態(tài)特性和穩(wěn)定性不僅和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還和初始條件有關(guān)。同一結(jié)構(gòu)和參數(shù)的系統(tǒng)可能因?yàn)槌跏紬l件的不同運(yùn)動的最終狀態(tài)可能完全不同。2. 系統(tǒng)的自持振蕩線性系統(tǒng)只能當(dāng)其參數(shù)不位于穩(wěn)定邊界時，只能收斂于平衡狀態(tài)或者發(fā)散，只有

5、處于臨界穩(wěn)定時，才能產(chǎn)生自持振蕩。非線性系統(tǒng)中即使沒有外界的激勵也可能發(fā)生某一固定幅值和頻率的振蕩，稱為自持振蕩。第11頁，共44頁。3.頻率響應(yīng)的畸變在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸出則是包含了高次諧波分量的非正弦周期函數(shù)， 因此不能應(yīng)用頻率特性、傳遞函數(shù)這些線性系統(tǒng)常用的方法來分析和綜合非線性系統(tǒng)，也不能應(yīng)用象單位階躍等典型輸入信號作為評價非線性系統(tǒng)性能的試驗(yàn)信號。因此目前尚無一般通用的方法來分析和設(shè)計非線性控制系統(tǒng)。4.系統(tǒng)的共振現(xiàn)象線性系統(tǒng)中，如外施信號的頻率與系統(tǒng)本身固有的無阻尼自振頻率相同時，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。而非線性系統(tǒng)不會發(fā)生線性系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象。第12頁，共44頁。（二）

6、非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性方程沒有統(tǒng)一的求解方法，不能應(yīng)用疊加原理。對于非線性不嚴(yán)重的系統(tǒng)可用小偏差線性化的方法，對于本質(zhì)非線性可采用分段線性化的方法。對于非線性控制系統(tǒng)，在許多實(shí)際問題中，并不需要求得其響應(yīng)的精確解。而是討論問題系統(tǒng)是否穩(wěn)定；系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，如產(chǎn)生，其幅值和頻率是多少；如何消除自持振蕩。分析方法：頻域上有描述函數(shù)法和波波夫法；時域上有相平面法和李亞普諾夫第二法。計算機(jī)仿真的方法也可以分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。第13頁，共44頁。7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法一、描述函數(shù)法的基本概念假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入函數(shù)為 輸出n(t)將是非正弦的周期信號?？梢哉钩筛道~級數(shù)，y(

7、t)是由恒定分量、基波分量、和高次諧波組成。假設(shè)1：如果非線性部分的特性曲線具有中心對稱性質(zhì)，那以輸出信號y(t)的波形具有奇次對稱性（波形的后半個周期重復(fù)前半個周期的變化，但符號相反）輸出不含直流分量，輸出響應(yīng)的平均值為零。第14頁，共44頁。假設(shè)2：線性部分具有良好的低通濾波性，那么高次諧波的幅值遠(yuǎn)小于基波。閉環(huán)通道內(nèi)近似地只有一次諧波信號流通。對于一般的非線性系統(tǒng)而言這個條件是滿足的，線性部分的低通濾波性越好，用描述函數(shù)法分析的精度越高。上述兩個假設(shè)滿足時，非線性環(huán)節(jié)的輸入是一個正弦信號，系統(tǒng)的輸出是相同頻率的正弦信號，對于非線性環(huán)節(jié)的輸出只研究其基波成分就足夠了。假設(shè)系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)的

8、輸入函數(shù)為輸出信號可以展成傅利葉級數(shù)第15頁，共44頁。 若非線性部分是齊次對稱的，則A0=0，線性部分又具有低通濾波特性，可以認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的輸出中只有基波分量能夠通過閉環(huán)回路反饋到輸入端。輸出部分的基波分量為第16頁，共44頁。 可以用一個復(fù)數(shù)來描述非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號和輸出信號基波的關(guān)系。 在非線性環(huán)節(jié)不含有儲能元件的前提下，這個復(fù)數(shù)是輸入正弦信號幅值的函數(shù)，而與頻率無關(guān)，稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。用符號N(A)表示： X1非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量的振幅；1表示其相位差；A表示輸入正弦信號的幅值。 這樣一種僅取輸出的基波（把非線性環(huán)節(jié)等效為一個線性環(huán)節(jié)）而忽略高次諧波的方法稱為諧波線性化

9、法。非線性環(huán)節(jié)等效為一個具有復(fù)放大系數(shù)的放大器，所以描述函數(shù)又稱復(fù)放大系數(shù)。第17頁，共44頁。 非線性函數(shù)中含有儲能元件時，描述函數(shù)同時為輸入信號幅值A(chǔ)和頻率的函數(shù)，表示為N(A, )。如果非線性特性是單值奇函數(shù)的，則A0=0，A1=0。N(A)是一個實(shí)函數(shù)。第18頁，共44頁。二、典型環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1、繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對稱性)第19頁，共44頁。2、飽和特性3、死區(qū)特性4、死區(qū)飽和特性第20頁，共44頁。理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性第21頁，共44頁。間隙、滯環(huán)特性第22頁，共44頁。非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ty(t)ty(t

10、)tty(t)第23頁，共44頁。 7.3 典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(尼奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j) 軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?第24頁，共44頁。 G(j) 與負(fù)倒描述函數(shù)相交 閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩) ？穩(wěn)定 ？不穩(wěn)定 振幅（A）？ 頻率()？設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定 G(j)不包圍負(fù)倒描述函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 G(j)包圍負(fù)倒描述函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定第25頁，共44頁。當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點(diǎn)時， c點(diǎn)“(-1,j0)” 被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)增大；不返回到

11、a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)減??；不返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)。分析法第26頁，共44頁。當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點(diǎn)時， e點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A減??；返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到f點(diǎn)， f點(diǎn)“(-1,j0)” 被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A增大；返回到b。 b點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)。第27頁，共44頁。振幅A增大側(cè)取點(diǎn)作為“(-1,j0)”，連接“(-1,0j)”與原點(diǎn)， “負(fù)實(shí)軸”a點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)負(fù)實(shí)軸法第28頁，共44頁。c點(diǎn):不穩(wěn)定自振交點(diǎn)

12、a點(diǎn):不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b點(diǎn):穩(wěn)定自振交點(diǎn)第29頁，共44頁。具有飽和特性的非線性系統(tǒng)Aa時A 時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-1/k, -)。G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):穩(wěn)定自振交點(diǎn)(b， Ab)第30頁，共44頁。具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)Aa時A 時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-,-1/k)。G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):不穩(wěn)定自振交點(diǎn)第31頁，共44頁。具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為 G平面上一條曲線。A 時G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩

13、G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):穩(wěn)定自振交點(diǎn)b Ab第32頁，共44頁。具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為整個負(fù)實(shí)軸2）如有數(shù)個交點(diǎn) 必有穩(wěn)定的自振交點(diǎn)1）如只有一個交點(diǎn) 必為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)第33頁，共44頁。具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于橫軸的一組直線。3）單邊滯環(huán)寬度 h增加 負(fù)倒描述函數(shù)軌跡向下移動 自持振蕩頻率將低，振幅增大2）如有數(shù)個交點(diǎn) 必有穩(wěn)定的自振交點(diǎn)1）如只有一個交點(diǎn) 必為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)h2h1第34頁，共44頁。試求：當(dāng)K10時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；當(dāng)K為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù) a=1 、k=2第35頁，共44頁。相交于穩(wěn)定自振交點(diǎn)mAa時A 時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為實(shí)軸上（-0.5，-)。第36頁，共44頁。a/A=0.24A=4.38A=4.38非線性飽和特性參數(shù) a=1 、k=2穩(wěn)定自振交點(diǎn)m:第37頁，共44頁。臨界狀態(tài)下，軌跡在負(fù)實(shí)軸上的交點(diǎn)nK=3第38頁，共44頁。非線性系統(tǒng)的校正！改變G(j )！改變N(A)第39頁，共44頁。試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；如果