高等數(shù)學(xué)10函數(shù)課件

1、歡 迎 新 同 學(xué)高 等 數(shù) 學(xué)教 材： 高等數(shù)學(xué) （上冊(cè)）中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京） 李明霞 (講師) 教學(xué)環(huán)節(jié) 授課 共192 課時(shí)，上冊(cè)96課時(shí)， 作業(yè)： 每周三交作業(yè) ， 單頁(yè)紙 批改一半左右 平時(shí)成績(jī)占課程總成績(jī)一部分學(xué)習(xí)方法： 盡快適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)方法 培養(yǎng)自學(xué)的能力 課后先復(fù)習(xí)，后做作業(yè)主講教師：1. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學(xué): 一元微積分(上冊(cè))(下冊(cè))3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無(wú)窮級(jí)數(shù)5. 常微分方程主要內(nèi)容多元微積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué) ?1. 認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)

2、學(xué).聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚 , 由厚到薄 .馬克思 恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門(mén)科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步 .第一節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 華羅庚給出了幾何問(wèn)題的統(tǒng)一笛卡兒 (15961650)法國(guó)哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家, 他 是解析幾何奠基人之一 .1637年他發(fā)表的幾何學(xué)論文分析了幾何學(xué)與 代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn),進(jìn)而提出了 “ 另外 一種包含這兩門(mén)科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而避免其缺點(diǎn)的方法”, 從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法, 恩格斯把它稱(chēng)為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).把幾何問(wèn)題化成代數(shù)問(wèn)題 ,作

3、圖法,華羅庚(19101985)我國(guó)在國(guó)際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻(xiàn) ,發(fā)表專(zhuān)著與學(xué)術(shù)論文近 300 篇.偏微分方多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué),典型群,他對(duì)青年學(xué)生的成長(zhǎng)非常關(guān)心, 他提出治學(xué)之道是 “ 寬, 專(zhuān), 漫 ”, 即基礎(chǔ)要寬,專(zhuān)業(yè)要專(zhuān), 要使自己的專(zhuān)業(yè)知識(shí)漫到其它領(lǐng)域.1984年來(lái)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)視察時(shí)給給師生題詞: “ 學(xué)而優(yōu)則用, 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) ”.第一章第 0 節(jié) 函數(shù)一、基本概念1. 絕對(duì)值(absolute value)運(yùn)算性質(zhì)絕對(duì)值不等式2. 鄰域(neighbourhood) 數(shù)集即 鄰域, 記作幾何表示

4、 有時(shí)簡(jiǎn)記為去心(空心) 即兩個(gè)閉區(qū)間的直積表示xOy平面上的矩形區(qū)域.如,即為xOy平面上的矩形區(qū)域,這個(gè)區(qū)域在x軸與y軸上的投影分別為閉區(qū)間和閉區(qū)間3. 邏輯符號(hào) 在邏輯推理過(guò)程中最常用的兩個(gè)邏輯記號(hào)“ ”表示 “任取 ”, 或“任意給定”.“ ”表示 “存在 ”,“至少存在一個(gè)”,或“能夠找到”. 如實(shí)數(shù)的阿基米德 (Archmed) 公理是這樣敘述的:任意給定兩個(gè)正的實(shí)數(shù) a,b,都存在一個(gè)自然數(shù)n,用邏輯符號(hào)將阿基米德公理改寫(xiě):Any(每一個(gè))或All(所有的)的字頭A的倒寫(xiě)Exist(存在)的 字頭E的倒寫(xiě)練習(xí)符號(hào)“ ” 表示 “蘊(yùn)含 ”,或 “推出”.符號(hào)“ ” 表示 “等價(jià) ”

5、,或 “充分必要”.映射與函數(shù)二、映射1. 映射概念(mapping)（集合略）定義設(shè) X、Y 是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則f ,使得對(duì)通過(guò)f ,在Y中有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f 為從 X 到 Y 的映(或算子),記作并稱(chēng)y為x(在映射f下)的像,并記作即x稱(chēng)為y的原像.射定義域 即記映射與函數(shù)X中所有元素的像所組成的集合記作 或f 的即稱(chēng)為在中學(xué)數(shù)學(xué)中所接觸的函數(shù)實(shí)際是:實(shí)數(shù)集(或其子集)到實(shí)數(shù)集的映射.例如,映射f :正弦函數(shù)值域,像集,對(duì)元素 x 的像y是唯一的;映射與函數(shù)而對(duì)元素 y 的原像不一定是唯一的;映射 f 的值域是Y 的一個(gè)子集,不一定(2)注(1)集合X,

6、即定義域集合Y, 即值域的范圍:對(duì)應(yīng)法則f ,使對(duì)有唯一確定的與之對(duì)應(yīng).三個(gè)要素:構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下1.常量(constant quantity)與變量(variable)注三、函數(shù)(function)而是相對(duì)“過(guò)程”而言的.映射與函數(shù)常量; 變量.在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為而在過(guò)程中數(shù)值變化的量稱(chēng)為一個(gè)量是常量還是變量,不是絕對(duì)的,常量與變量的表示方法:在高等數(shù)學(xué)中,通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t 等表示變量.映射與函數(shù) 定義設(shè)數(shù)集則稱(chēng)映射為定義在D上的函數(shù),通常簡(jiǎn)記為自變量因變量定義域(domain)定義中,按對(duì)應(yīng)法則f ,總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)

7、,這個(gè)值稱(chēng)為函數(shù)f 在x處的函數(shù)值,記作函數(shù)關(guān)系函數(shù)值全體組成的集合稱(chēng)為range記作即函數(shù)f 的值域,2. 函數(shù)概念),(xfy=,Dx,Dx如果對(duì)),(xfy=映射與函數(shù)注含義的區(qū)別.自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則;與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值;定義在D上的函數(shù),應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.(1) (2) 函數(shù)的記號(hào):除常用的f 外,可任意選取,如相應(yīng)地,函數(shù)可記作:等,等,也可記作:在同一個(gè)問(wèn)題中,討論到幾個(gè)不同的函數(shù)時(shí).映射與函數(shù)(3) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,否則稱(chēng)為如是多值函數(shù),它的兩個(gè)單值支是:單值函數(shù),多值函數(shù).約定:今后無(wú)特別說(shuō)明時(shí),函數(shù)是指單值函數(shù).這種函數(shù)稱(chēng)為(4)構(gòu)成函數(shù)

8、的是兩個(gè)不同的函數(shù).(因?yàn)槎x域不同).如與對(duì)應(yīng)法則f .定義域兩個(gè)要素:,Dx對(duì) 函數(shù)的表示法只與定義域和對(duì)應(yīng)法則有關(guān),即簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)表示法的答案表達(dá)式求解這是由的練習(xí)映射與函數(shù)(5)而與用什么字母無(wú)關(guān),的有效方法.無(wú)關(guān)特性,L=)()()(fff常用的函數(shù)關(guān)系表示法公式法(解析法);主要有三種形式表格法.各種表示法,都有其優(yōu)點(diǎn)和不足. 圖形法;公式法(解析法)圖形法表格法今后以公式法為主, 映射與函數(shù)便于進(jìn)行理論分析和計(jì)算;形象直觀(guān),富有啟發(fā)性,便于記憶;便于查找函數(shù)值, 但它常常是不完全的.也可用語(yǔ)言描述.配合使用圖形法和表格法. 是多種多樣的. 函數(shù)的圖形(圖象)取自變量在橫軸上在平面直角

9、坐標(biāo)系中,因變量在縱軸上變化,則函數(shù)的圖形是指變化,平面點(diǎn)集:通常是一條或幾條映射與函數(shù)曲線(xiàn)(包括直線(xiàn)).中的集合例按國(guó)家規(guī)定,個(gè)人月收入x不超過(guò)880元不納稅,超過(guò)880元而小于1380元的部分按 5納稅,而超過(guò)1380元小于2000元的部分按 10納稅,則個(gè)人月收入x與交納所得稅 y 的函數(shù)關(guān)系為 除了可用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)外,有些函數(shù)隨著自變量取不同的值,分段函數(shù).我國(guó)部分工薪人員應(yīng)納多少稅映射與函數(shù)這種函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)關(guān)系也不同,映射與函數(shù)例幾個(gè)今后常引用的函數(shù)映射與函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)例 定義域值域符號(hào)函數(shù) 定義域值域?qū)成渑c函數(shù)有或 取整函數(shù)如例映射與函數(shù)當(dāng)階梯曲線(xiàn) 定義域值域表示不超過(guò)

10、x的最大整數(shù)例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859(x為有理函數(shù))(x為無(wú)理函數(shù))映射與函數(shù) 定義域值域有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)練習(xí)設(shè)則f (x)的定義域 20(1) 填空:映射與函數(shù)-=.31,1;10,2;01,2)(xxxxxfx（2）. 用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù),答案:即注映射與函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù).1-2431.有界性 (bounded)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,則說(shuō) f(x) 在區(qū)間I上有上 界.(下)使得對(duì)所有若存在常數(shù)A都有映射與函數(shù)(B),四. 函數(shù)的幾種特性 若存在常數(shù)使得對(duì)所有則稱(chēng) f(x) 在I上有界. 在 I上

11、無(wú)界;映射與函數(shù)都有 若這樣的M 不存在,則稱(chēng) f(x)即為對(duì)于任何 總存在使則稱(chēng) f(x)在 I上無(wú)界.有界無(wú)界在定義域上有界的函數(shù)叫做例是有界函數(shù);是無(wú)界函數(shù),但它在區(qū)間 上在區(qū)間 上 注 一定要把區(qū)間明確出來(lái)!不是有界函數(shù), 就是無(wú)界函數(shù).顯然,映射與函數(shù)(bounded function)有界函數(shù).有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.練習(xí)A. 有上界無(wú)下界B. 有下界無(wú)上界C. 有界, 且D. 有界且解C解題提示將函數(shù)取絕對(duì)值, 然后用不等式放縮法.映射與函數(shù)六個(gè)常見(jiàn)的有界函數(shù)映射與函數(shù)2.單調(diào)性(monotonicity)是單調(diào)增加;映射與函數(shù)如果對(duì)恒有 monotone in

12、creasing 注 應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間 ,否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤. 是單調(diào)減少.映射與函數(shù)如果對(duì)恒有monotone decreasing3函數(shù)的奇偶性（略）4. 函數(shù)的周期性（略）練習(xí)判別給定函數(shù)的奇偶性,解題提示奇函數(shù)的有效方法.判別下列函數(shù)的奇偶性:奇函數(shù)偶函數(shù)有時(shí)也用其運(yùn)算性質(zhì).映射與函數(shù)主要是根據(jù)奇偶性的定義,映射與函數(shù)例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(當(dāng)x是有理函數(shù)時(shí))(當(dāng)x是無(wú)理函數(shù)時(shí))這是一個(gè)周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù),所以沒(méi)有最小正周期.1. 函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)的定義域分別為則可定義這兩個(gè)函數(shù)

13、的下列運(yùn)算:和(差)積商且線(xiàn)性組合為實(shí)數(shù),五. 函數(shù)的構(gòu)造2. 反函數(shù)xy反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域；直接函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域。單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且其反函數(shù)與直接函數(shù)具有相同的單調(diào)性。xuy3.復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù))(ufy=的定義域 fD,而函數(shù))(xuj=的值域?yàn)閖Z ,若 W=jZDf,則稱(chēng)函數(shù))(xfyj= 為復(fù)合函數(shù).(1) 并非任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成為復(fù)合函數(shù);(2) 復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.注因?yàn)?的值域不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).不能包含于的定義域映射與函數(shù)之中.(3) 反過(guò)來(lái),一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以分解為若干簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合.例 將下列函數(shù)分解為復(fù)合函

14、數(shù)解：1. 基本初等函數(shù) 冪函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) 常數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)六. 初等函數(shù)(elementary function)1) 冪函數(shù)(power function) 定義域與 的取值有關(guān).(basic elementary function)映射與函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)2) 指數(shù)函數(shù)(exponential function)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橛成渑c函數(shù)3) 對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithm function)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橛成渑c函數(shù)4) 三角函數(shù)(trigonometric function)正弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橛成渑c函數(shù)余弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橛成渑c函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)定義域

15、值域定義域值域映射與函數(shù)5) 反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)定義域值域 主值映射與函數(shù)反正弦函數(shù)定義域值域 主值映射與函數(shù)反余弦函數(shù) 主值定義域值域映射與函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù) 主值定義域值域 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).(2) 初等函數(shù)(elementary function)初等函數(shù).如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù).映射與函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱(chēng)為注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),想一想 可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)?答:故又可看作是初等函數(shù).是!由于映射與函數(shù)不是用一個(gè)式子表達(dá)出來(lái)的.因?yàn)樗?/p>