說明線性代數(shù)3

1、3.4 矩陣的秩向量組 稱為矩陣A的列向量組.向量組 , , ， 稱為矩陣A的行向量組矩陣秩的本質(zhì)仍然是向量組的秩定義 矩陣 的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩; 其列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.例如 矩陣 的行秩和列秩各為多少?A的行秩和列秩相等,這是偶然還是必然?為探討行秩與列秩的關(guān)系，先解決矩陣初等變換對行秩、列秩的影響定理1 對矩陣施以初等行 變換，不改變行 秩.（列）（列）證明首先把 寫成行向量組形式.(1) 對換兩行(即向量 互換位置 )(2) 用非零數(shù) k 乘第 i 行(3) 用非零數(shù) k 乘第 i 行加到第 j 行定理2 對矩陣施以初等行 變換，列 向量間的線性關(guān)系不變. （列）（

2、行）“線性關(guān)系不變”包含兩層含義: 矩陣A的列向量組 中,部分組 線性無關(guān), 則A1 的列向量組對應位置的向量也線性無關(guān), 反之亦然. 矩陣A的列向量組 中,向量 可由其中的線性表示: 則A1的列向量組 中,向量 可由其中的線性表示:反之亦然.【注】對矩陣施以初等行變換，行向量間的線性關(guān)系可能改變,對列亦然. 推論 對矩陣A施以初等行變換，列秩不變. 對矩陣A施以初等列變換，行秩不變.例如 綜上對矩陣施以初等變換，行秩、列秩均不變. 定理3 矩陣的行秩和列秩相等. A1的行秩等于列秩=r, 則A的行秩等于列秩=r.任一矩陣經(jīng)初等變換可化為等價標準形!稱A1為A的等價標準形行變換列變換矩陣的秩定

3、義 矩陣A的行秩、列秩，統(tǒng)稱為矩陣A的秩，記作 . 的取值范圍： 稱矩陣A為行滿秩， 稱矩陣A為列滿秩. 行滿秩、列滿秩矩陣，統(tǒng)稱為滿秩矩陣. 【結(jié)論】行滿秩 矩陣的行向量組線性無關(guān).列滿秩 矩陣的列向量組線性無關(guān).矩陣的秩行向量個數(shù)矩陣的秩列向量個數(shù)矩陣的行向量組線性相關(guān).矩陣的列向量組線性相關(guān).例2 求向量組 的秩.例1 將 化為等價標準形，并求A的秩. 【注】化階梯形矩陣即可!例如 A的行向量組和列向量組都線性無關(guān).【結(jié)論】行列向量組都線性無關(guān)行列向量組都線性相關(guān)矩陣秩的判定定理引例 n個n維向量的相關(guān)與無關(guān),可通過n階行列式是否為零判斷.矩陣的秩可否通過矩陣中元素構(gòu)成的行列式來討論?矩

4、陣的k階子式引理 矩陣A有一個r階子式不為零，則 r(A)r.無關(guān)增維仍無關(guān)定理4 矩陣A存在r階子式不為零,而所有高于r階的子式均為零.(反證法)續(xù)例2 求向量組 的秩.【注】化階梯形矩陣即可!分析其依據(jù)?【結(jié)論】 階梯形矩陣中不全為0的行數(shù)(階梯的個數(shù)).借助矩陣研究向量組 我們可通過矩陣的初等變換求矩陣的秩,而矩陣的秩本質(zhì)上就是向量組的秩,那么向量組的秩即可通過矩陣秩的求法來得到. 進一步,要找出向量組的”代表”即”極大無關(guān)組”,也可通過矩陣的初等變換來實現(xiàn). 【結(jié)論】 設(shè)向量組 的秩為r, 證明:中任意r個線性無關(guān)的向量都是它的一個極大無關(guān)組.【注】向量組的極大無關(guān)組不一定唯一.借助矩

5、陣研究向量組例3 求如下向量組的秩, 并從中選出一個極大無關(guān)組,將其余向量用極大無關(guān)組線性表示. 解一 列向量組構(gòu)成矩陣A,對A施以初等行變換化為階梯形矩陣則 , 即 根據(jù)初等行變換不改變列向量間的線性關(guān)系知, 線性無關(guān),則 線性無關(guān), 即是該向量組的一個極大無關(guān)組.繼續(xù)通過初等行變換,將 化為基本單位向量.則 故解二 把向量組寫成行向量構(gòu)成矩陣A,對A施以初等行變換化為階梯形矩陣則由階梯形矩陣得又由階梯形矩陣最后兩行知由此可知則則 即為原向量組的一個極大無關(guān)組. 【法一】 1.將向量寫作矩陣的列向量，作初等行變換，化階梯形，得到極大無關(guān)組； 2.繼續(xù)作初等行變換，將極大無關(guān)組中向量化為基本單位向量，以得到其余向量用極大無關(guān)組的線性表示.【法二】1.將向量寫作矩陣的行向量，作初等行變換，化階梯形矩陣； 2. 記錄行變換過程，得到極大無關(guān)組, 進而將其余向量用極大無關(guān)組線性表示.歸納方法基本概念：行秩、列秩、行秩與列秩相等，等價標準型， 矩陣經(jīng)初等變換可化為等價標準型.基本定理：初等變換不改變矩陣的秩初等行變換，