中證培訓(xùn)-金融衍生品高級研修班課堂筆記（四）

1、中證培訓(xùn)“金融衍生品高級研修班”課堂筆記（四）衍生品定價(jià)模型、參數(shù)估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)管理2015年5月26日至5月31日，中國證券業(yè)協(xié)會(huì)在廈門舉辦了金融衍生品高級研修班。由國務(wù)院學(xué)科評議組成員、廈門大學(xué)金融學(xué)國家重點(diǎn)學(xué)科學(xué)術(shù)帶頭人、廈門大學(xué)證券研究中心主任鄭振龍教授和廈門大學(xué)金融工程研究中心主任陳蓉教授擔(dān)任主講，并邀請了三位業(yè)界專家中證報(bào)價(jià)系統(tǒng)衍生品業(yè)務(wù)部高級經(jīng)理肖華、華泰證券金融創(chuàng)新部副總經(jīng)理李升東和招商證券衍生投資部期權(quán)做市業(yè)務(wù)負(fù)責(zé)人鄧林進(jìn)行交流。來自全國51家證券公司及系統(tǒng)相關(guān)單位共計(jì)70名學(xué)員參加了培訓(xùn)。培訓(xùn)班為期六天，課程內(nèi)容包含5個(gè)模塊：期權(quán)基本原理與期權(quán)交易策略、奇異期權(quán)與結(jié)構(gòu)型產(chǎn)品、金

2、融衍生品與金融創(chuàng)新、衍生品定價(jià)模型、參數(shù)估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)管理和期權(quán)交易與做市商實(shí)務(wù)。本部分內(nèi)容主要為衍生品定價(jià)模型、參數(shù)估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)管理：一、衍生品定價(jià)模型對于普通歐式期權(quán)，最常使用的就是Black-Scholes模型，而該模型有以下幾個(gè)假設(shè)。一是股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即，二是允許賣空標(biāo)的證券，三是假設(shè)沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都完全可分，四是衍生證券的有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付，五是不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，六是假設(shè)證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的，七是假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)。基于以上假設(shè)，BSM偏微分方程的推導(dǎo)，具體如下。設(shè)f是依賴于股價(jià)的衍生證券，根據(jù)伊藤引理可得， ，在t中，f的價(jià)值

3、變化滿足，由于假設(shè)了股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，同時(shí)為了消除風(fēng)險(xiǎn)源z，因此構(gòu)建一個(gè)包括1單位衍生證券的空頭和單位標(biāo)的證券的多頭組合，令代表該組合的價(jià)值，則，該組合在t后組合變化為，帶入和服從的隨機(jī)微分方程即可得，由于消除了風(fēng)險(xiǎn)，組合價(jià)值應(yīng)該獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即，因此可得，化簡就有，這就是著名的BSM微分方程，它適用于其價(jià)格取決于S的所有衍生證券的定價(jià)。二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理是衍生品定價(jià)中的基本原理，可以看到BSM 偏微分方程中，受制于主觀風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未出現(xiàn)，這就意味著無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對f的價(jià)格產(chǎn)生影響，因而可以做出一個(gè)大大簡化我們工作的假設(shè)在對衍

4、生證券定價(jià)的時(shí)候，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性測度不需要額外的收益來吸引投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)以求得現(xiàn)值，這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理下，歐式期權(quán)的價(jià)格可以寫為未來回報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)中性期望的無風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)值，例如對于歐式看漲期權(quán)有 。在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的模型假設(shè)下，就可以相應(yīng)推出BSM歐式期權(quán)定價(jià)公式。對于歐式看漲期權(quán)，有 BSM期權(quán)定價(jià)公式具有豐富的金融含義。例如，利用BSM公式來復(fù)制期權(quán)時(shí)，投資組合中股票的數(shù)量就是；如果從金融工程角度看，歐式看漲期權(quán)可以

5、分拆成或有資產(chǎn)看漲期權(quán)多頭和X份的或有現(xiàn)金看漲期權(quán)空頭之和。此外，BSM公式中是在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下 的概率，即歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行概率。陳教授還對BSM公式進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展，分別講解了無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)、無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)、有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)等。三、衍生品定價(jià)的一般方法和原理。第一種是構(gòu)造偏微分方程的方法，主要是構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合，類似于構(gòu)造BSM偏微分方程，可以在一般的隨機(jī)過程模型下，應(yīng)用標(biāo)的資產(chǎn)及其衍生品構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合，再根據(jù)產(chǎn)品的特征設(shè)定邊界條件求解PDE，這樣就可以為衍生品進(jìn)行定價(jià)了。求解PDE其實(shí)就是找到一個(gè)函數(shù)，其求偏導(dǎo)的結(jié)果滿足這個(gè)方程和邊界條件，該函數(shù)就是用標(biāo)的資產(chǎn)

6、所滿足的隨機(jī)微分方程來表達(dá)的。邊界條件本質(zhì)上是數(shù)學(xué)概念，在金融上就是把合約條款數(shù)學(xué)化，比如期權(quán)價(jià)格的到期回報(bào)，期貨價(jià)格在到期的時(shí)候收斂于現(xiàn)貨價(jià)格，零息債價(jià)格到期等于100等等。第二種是衍生品定價(jià)的鞅方法。對于鞅定價(jià)，關(guān)鍵是找到等價(jià)鞅測度。假設(shè)兩種資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下分別服從以下過程：，則用N(t)做計(jì)價(jià)單位的資產(chǎn)價(jià)格，在測度是鞅過程，即。緊接著，陳教授又介紹了這類鞅定價(jià)的一些例子，包括以貨幣市場賬戶為記賬單位、以股票為記賬單位和資產(chǎn)交換期權(quán)的定價(jià)思路。在上述兩大定價(jià)原理之下，對于回報(bào)復(fù)雜的衍生品或隨機(jī)過程設(shè)定比較復(fù)雜時(shí)，在數(shù)學(xué)上無法求得解析解的，就只能通過數(shù)值方法進(jìn)行分析，數(shù)值方法主要有三種，

7、一是二叉樹，二是蒙特卡洛模擬，三是有限差分法， 二叉樹模型的思想其實(shí)是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)，在樹圖的構(gòu)造中，主要是構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的樹圖，樹上每一步所服從的分布和參數(shù)都一致。最簡單的二叉樹方法通常設(shè)定參數(shù)股價(jià)向上運(yùn)動(dòng)概率p、股價(jià)向上運(yùn)動(dòng)的倍數(shù)u和向下運(yùn)動(dòng)的倍數(shù)d滿足以下三個(gè)等式：則由以上條件可得， ，期權(quán)的價(jià)格為。在得到參數(shù)之后，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上期權(quán)價(jià)格的計(jì)算方法由倒推定價(jià)而得。即對于歐式期權(quán)而言，將T時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在時(shí)間長度內(nèi)以無風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)求出每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值；對于美式期權(quán)而言，在樹形結(jié)構(gòu)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，都要比較在本時(shí)刻提前行權(quán)和繼續(xù)持有的時(shí)間到下一

8、個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)的價(jià)值，選擇較大者作為本節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。其他構(gòu)造樹圖的方法還有三叉樹、控制變量技術(shù)和適應(yīng)性網(wǎng)狀模型等。第二種數(shù)值方法是蒙特卡洛模擬，其基本思路是盡可能的模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑下期權(quán)回報(bào)的均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中為了模擬路徑，我們可以把期權(quán)有效期分為N個(gè)長度為的時(shí)間段，則上式的近似方程為，其中S(t)是t時(shí)刻S的價(jià)值，是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本，通過N個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣就可以構(gòu)建一條資產(chǎn)價(jià)格的蒙特卡洛模擬樣本路徑，并得到相應(yīng)的回報(bào)值。重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，貼現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值。操作中，尤其需要關(guān)

9、注蒙特卡洛的效率由于蒙特卡洛涉及到大量計(jì)算機(jī)運(yùn)算，如何權(quán)衡效率和精度也是需要注意的。第三種數(shù)值方法就是有限差分，其核心思想是用離散算子逼近BSM偏微分方程中的各項(xiàng)，有限差分方法和樹圖方法相當(dāng)近似，可以解決相同類型的衍生證券定價(jià)問題，尤其是那些具有提前執(zhí)行特征的期權(quán)，而且可以進(jìn)一步推廣到多個(gè)標(biāo)的變量的情形。有限差分與樹圖的不同之處在于，樹圖方法包含了資產(chǎn)價(jià)格的擴(kuò)散和波動(dòng)率情緒，而有限差分方法中的個(gè)點(diǎn)則是固定和均勻的，只是參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形，而且有限差分法要比樹圖更加靈活。具體來說，樹圖方法和有限差分方法最適合具有提前行權(quán)特征的期權(quán)，而蒙特卡羅方法最適合路徑依賴期權(quán)和高維

10、度衍生品。四、BSM定價(jià)公式的擴(kuò)展由于BSM定價(jià)公式存在一些不足，因此后來學(xué)者對于一些假設(shè)做了放松，例如交易成本為零、波動(dòng)率為常數(shù)、資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變動(dòng)等，都做了一定的修正。就波動(dòng)率一點(diǎn)而言，后人建立了更為復(fù)雜的隨機(jī)波動(dòng)率模型，其基本形式為 其中最為常見的是Heston模型，即認(rèn)為波動(dòng)率服從CIR過程，避免了波動(dòng)率出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況。五、數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理一般涉及到異常值的剔除和缺漏值補(bǔ)充，完成第一步之后，還需要對數(shù)據(jù)做基本的描述統(tǒng)計(jì)，包括最大值、最小值、均值、方差、峰度、偏度等，需要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，即JB檢驗(yàn)是否顯著。對于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，還需要做平穩(wěn)性檢驗(yàn)、自相關(guān)檢驗(yàn)和ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)。在

11、數(shù)據(jù)分析上，需要做到以下幾點(diǎn)，一是明確分析目標(biāo)，確定用于分析的模型，考慮參數(shù)的選取和限制條件，二是收集數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)的精度和來源要有一定要求，進(jìn)一步要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，得到能夠作為輸入量的“干凈的”數(shù)據(jù)，三是參數(shù)估計(jì)，四是估計(jì)量的檢驗(yàn)，包括能否在經(jīng)濟(jì)意義上說的通、統(tǒng)計(jì)上是否顯著、樣本外預(yù)測能力是否較好、模型是否穩(wěn)健等等。六、波動(dòng)率估計(jì)與預(yù)測模型金融資產(chǎn)收益的波動(dòng)率描述和預(yù)測是現(xiàn)代金融學(xué)界和實(shí)務(wù)界研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，同時(shí)，這也與資產(chǎn)定價(jià)理論的檢驗(yàn)、最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇、衍生產(chǎn)品套期保值策略的設(shè)計(jì)以及金融風(fēng)險(xiǎn)的測度和管理密不可分。無論是對即將正式進(jìn)入市場的各類參與者還是我國的金融監(jiān)管當(dāng)局而言，對金融

12、市場的波動(dòng)特征和風(fēng)險(xiǎn)狀況進(jìn)行準(zhǔn)確的刻畫和科學(xué)的預(yù)測，進(jìn)而探索有效的市場風(fēng)險(xiǎn)防范和監(jiān)控手段，都具有非常重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。波動(dòng)率的特征一般有：聚類性。即高波動(dòng)率后跟著高的波動(dòng)，低的波動(dòng)后面跟著低的波動(dòng)；均值回復(fù)。即在固定范圍內(nèi)變動(dòng)；連續(xù)性，即波動(dòng)率一般很少有跳躍等等。波動(dòng)率主要可分為歷史波動(dòng)率和隱含波動(dòng)率。歷史波動(dòng)率的估計(jì)量有很多，大致上分成三種，一是最常見的標(biāo)準(zhǔn)差，二是極差波動(dòng)率，三則是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，這里仍假設(shè)股價(jià)過程服從集合布朗運(yùn)動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)差算法，即方差的平方根，方差計(jì)算為 ，這里 通常為對數(shù)收益率，一般在樣本不是特別大的情況下，設(shè)平均收益率 為0。對于極差波動(dòng)率一般有以下幾種估計(jì)方法，一是

13、Parkinson估計(jì)量，表達(dá)式為： ，這里的 是交易時(shí)段的最高價(jià)，是交易時(shí)段的最低價(jià)格；二是Garman-Klass估計(jì)量，表達(dá)式為；三是Rogers-Satchell 估計(jì)量，表達(dá)式為；四是Yang-Zhang估計(jì)量，表達(dá)式為，其中，；五是GK-YangZhang extension估計(jì)量，表達(dá)式為。第三類是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，即日內(nèi)收益率平方和的加總，計(jì)算方法為， 。已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率被認(rèn)為是提高了度量波動(dòng)率的準(zhǔn)確性，但可能受到市場微觀結(jié)構(gòu)的噪音干擾，對時(shí)間間隔的選取依賴性較高，同時(shí)也忽略的每日之間的價(jià)格變化。對于波動(dòng)率的預(yù)測模型，主要有以下幾種，一是EWMA模型，其模型基本框架是，其中， ，該模型

14、的有點(diǎn)是所需的參數(shù)很少，同時(shí)波動(dòng)率權(quán)重隨時(shí)間下降符合波動(dòng)率長記憶的特點(diǎn)，但缺點(diǎn)也在于此，權(quán)重的選擇是關(guān)鍵，可以用極大似然估計(jì)方法得到權(quán)重估計(jì)值。第二類波動(dòng)率預(yù)測模型就是GARCH類， GARCH模型全稱為廣義自回歸條件異方差模型，具體形式為，其中，。GARCH模型在估計(jì)和運(yùn)用中需要注意以下幾點(diǎn)，一是建模之前首先需要判斷是否存在GARCH效應(yīng)，進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，即平方的自相關(guān)檢驗(yàn)；二是估計(jì)GARCH的參數(shù)，需要用極大似然法進(jìn)行估計(jì)；三是需要對模型的殘差項(xiàng)進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是否已經(jīng)消除了GARCH效應(yīng)；第四步才是利用GARCH來進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測。第三類波動(dòng)率預(yù)測模型為HAR-RV模型

15、，全稱是異質(zhì)性自回歸的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型。模型的主要結(jié)構(gòu)為：，即預(yù)測的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率受到日波動(dòng)率、周波動(dòng)率和月波動(dòng)率的影響。隱含波動(dòng)率則是采用每時(shí)每刻的期權(quán)價(jià)格，倒推出其中隱含的波動(dòng)率，在定價(jià)合理時(shí)，其代表了市場投資者對未來波動(dòng)率的一種預(yù)期。目前主要包括在BSM模型下推出的BS隱含波動(dòng)率，以及無模型的隱含波動(dòng)率，后者的典型代表是CBOE推出的VIX指數(shù)。七、參數(shù)估計(jì)與校準(zhǔn)隨機(jī)過程模型的參數(shù)估計(jì)就是利用過去某段時(shí)間內(nèi)的歷史數(shù)據(jù)直接對隨機(jī)過程模型進(jìn)行擬合，求出模型的參數(shù)，并通過均方根誤差、殘差平方和、似然比等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對模型的優(yōu)劣進(jìn)行檢驗(yàn)，這一估計(jì)得到的參數(shù)用于定價(jià)時(shí)，往往誤差較大，因?yàn)楣烙?jì)得到的是在現(xiàn)

16、實(shí)測度下的參數(shù)，但定價(jià)的時(shí)候往往需要得到風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的參數(shù)。所以在參數(shù)估計(jì)中，往往使用的是“校準(zhǔn)”方法，即利用市場的價(jià)格數(shù)據(jù)，通過令模型定價(jià)結(jié)果與市場價(jià)格的誤差最小倒推出參數(shù)的最優(yōu)取值，校準(zhǔn)所得到的參數(shù)反映了市場的實(shí)際信息，因而是目前金融市場為衍生品定價(jià)時(shí)主要使用的參數(shù)估計(jì)方法。參數(shù)校準(zhǔn)一般需要使用校準(zhǔn)函數(shù)：，同時(shí)參數(shù)的校準(zhǔn)是一個(gè)最小化的過程，需要猜測參數(shù)向量的初始值，比較計(jì)算結(jié)果與市場數(shù)據(jù)的差，再對參數(shù)值進(jìn)行修正，最后需要反復(fù)迭代以上幾步，得到穩(wěn)健的估計(jì)值。八、風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)知識本知識點(diǎn)主要分為三個(gè)部分，其一是風(fēng)險(xiǎn)管理概述，其二是風(fēng)險(xiǎn)的度量和計(jì)算，三是衍生品交易的風(fēng)險(xiǎn)管理。風(fēng)險(xiǎn)管理概述。風(fēng)險(xiǎn)大體上分成市場風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)。市場風(fēng)險(xiǎn)又稱價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)，是市場波動(dòng)而引起的風(fēng)險(xiǎn)，包括利率風(fēng)險(xiǎn)、匯率風(fēng)險(xiǎn)、股票價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和商品價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)度