人教A版高中數(shù)學(xué)必修三《6.2.1-6.2.2排列與排列數(shù)》教案

1、6.2.1- 6.2.2 排列與排列數(shù)本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊，第六章計(jì)數(shù)原理，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)排列與排列數(shù)。排列與組合是在學(xué)習(xí)了兩個計(jì)數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩個計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時(shí)排列和組合又能進(jìn)一步簡化和優(yōu)化計(jì)數(shù)問題。教學(xué)的重點(diǎn)是排列的理解，利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，難點(diǎn)是運(yùn)用排列解決實(shí)際問題。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.B.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運(yùn)用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.C.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并能運(yùn)用排列的相關(guān)知識解一些簡單的排列

2、應(yīng)用題.1.數(shù)學(xué)抽象：排列的概念 2.邏輯推理：排列數(shù)的性質(zhì) 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用排列數(shù)解決計(jì)數(shù)問題4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為排列問題重點(diǎn)：理解排列的定義及排列數(shù)的計(jì)算 難點(diǎn)：運(yùn)用排列解決計(jì)算問題 多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)溫故知新兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最

3、后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)問題1. 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動.分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動，1名參加上午的活動，另1名參加下午的活動”，可以分兩個步驟：第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法

4、種數(shù)為32=6.問題如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，則問題可敘述為：從3個不同的元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？問題2. 從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：從4個數(shù)中每次取出三個按“百位、十位、個位” 的順序排成一列，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)，可以分三個步驟解決：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個數(shù)中任取一個，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個數(shù)字中取，有3種方法；第3步，確定個位上的數(shù)字，只能從余下的2個數(shù)字中取，有2種方法；根據(jù)分步

5、乘法計(jì)數(shù)原理，從1、2、3、4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按百位、十位、個位的順序排成一列，不同的排列方法為432=24因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示 同樣，問題2可以歸結(jié)為： 從4個不同的元素a,b,c,d中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cbd,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,不同的排列方法為432=24上述問題1,2的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？一、排列的

6、相關(guān)概念1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(mn)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點(diǎn)析理解排列應(yīng)注意的問題(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.1.下列問題中:10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本;10位同學(xué)互通一次電話;10位同學(xué)互通一封信;10個沒有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段.屬于排列的有()A.1個B.2個C.3個D.4個解析:由排列的定義可知是排列,不是排列.答案:B二、典例解析

7、例1. 某省中學(xué)足球隊(duì)賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個排列.解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為65=30.例2. （1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？（2）學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從

8、這5盤菜中任取3盤，放在3個位置（給3名同學(xué)）的一個排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.解： （1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為543=60.（2）可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為555=125.二、排列數(shù)與排列數(shù)公式1.排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做 從

9、n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號Anm表示.2.排列數(shù)公式:Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!,這里m,nN*,并且mn.3.全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.這時(shí),排列數(shù)公式中m=n,即有Ann=n(n-1)(n-2)321.也就是說,將n個不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示.于是,n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成Ann=n!.另外,我們規(guī)定,0!=1.問題3. 你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別?“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概

10、念,一個排列是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).例3. 計(jì)算：（1）A73；2A74；3A77A44；4A64A22.解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得（1）A73 =765=210；（2）A74 =7654=840；（3）A77A44 =7!4!=765=210；（4）A64A22=654321=720.由例3可以看出，A77A44 =7!4!；A64A22=6！=A66，即A64=A66A22 =6!2!；觀察這兩個結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？

11、事實(shí)上，Anm=nn-1n-2n-m+1=nn-1n-2n-m+1n-m21n-m21=AnmAn-mn-m=n!n-m!即Anm=n!n-m!例4.用09這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在09這10個數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題。解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字可以從19這9個數(shù)字中取出1個，有A91種取法；第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)中取2個, 有A92種取法； 如圖根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所

12、求的三位數(shù)的個數(shù)為A91A92 =998=648.解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從19這9個數(shù)字中取出3個，有A93種取法；第2類，個位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)中取出2個放在百位和十位，有A92種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有A92種取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,所求三位數(shù)的個數(shù)為A93+A92+A92=987+98+98=648.解法3：從09這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為A103，其中0在百位上的排列數(shù)為A92，它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的

13、個數(shù)，即所求三位數(shù)的個數(shù)為A103-A92=1098-98=648.1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對重要元素區(qū)別對待,間接法對對立面比較容易求解的題目特別實(shí)用.跟蹤訓(xùn)練 有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?解:(方法一分類法)分兩類:第1類,化學(xué)被選上,有A31A53種不同的安排方法;第2類,化學(xué)不被選上,有A54種不同的安排方法.故共有A31A53+A54=300(種)不

14、同的安排方法.(方法二分步法)第1步,第四節(jié)有A51種排法;第2步,其余三節(jié)有A53種排法,故共有A51A53=300(種)不同的安排方法.(方法三間接法)從6門課程中選4門安排在上午,有A64種排法,而化學(xué)排第四節(jié),有A53種排法,故共有A64-A53=300(種)不同的安排方法.通過引導(dǎo)學(xué)生回顧計(jì)數(shù)原理，進(jìn)一步比較分析加深對兩個計(jì)數(shù)原理得理解。通過具體問題，分析、比較、歸納出對排列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉排列和排列數(shù)的概念，進(jìn)而靈活運(yùn)用排列數(shù)解決問題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 三、達(dá)標(biāo)檢測1.從

15、5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.60解析:此問題相當(dāng)于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù),即共有 A52 =20(種)不同的送書方法.答案:C2.設(shè)mN*,且m15,則A20-m6=()A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)解析: A20-m6 是指從20-m開始依次連續(xù)的6個數(shù)相乘

16、,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).答案:C3.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有()A.24種 B.144種 C.48種 D.96種解析:第1步,先安排甲有A21種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有A22A41種不同的演出順序;第3步,安排剩余的三個演員有A33種不同的演出順序.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有A21A22A41A33=96(種)不同的演出順序.故選D.答案:D 4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有種不同的種法.解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同

17、的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題,所以不同的種法共有A84 =8765=1 680(種).答案:1 6805.用1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個?(2)這些四位數(shù)中大于6 500的有多少個?解:(1)偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6,有A31種排法,其他位上有A63種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有四位偶數(shù)A31A63=360(個);能被5整除的數(shù)個位必須是5,故有A63=120(個).(2)最高位上是7時(shí)大于6 500,有A63種,最高位上是6時(shí),百位上只能是7或5,故有2A52種.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,這些