計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與分析課件

1、1第二章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與分析2022/7/292022/7/292本章的基本內(nèi)容 首先從計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)出發(fā)，介紹信號(hào)的采樣和恢復(fù)，然后講述線(xiàn)性離散系統(tǒng)的基本概念和分析方法，包括離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立和離散系統(tǒng)穩(wěn)定性、過(guò)渡過(guò)程特性和穩(wěn)定精度分析，為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。2022/7/293本章的基本內(nèi)容2.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.2 Z變換2.3 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程分析2.6 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析2022/7/2942.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù) 計(jì)算機(jī)只能接收、處理和輸出數(shù)字信號(hào)。對(duì)于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)這種模擬器件

2、和數(shù)字器件共存的混合系統(tǒng)，信號(hào)變換裝置A/D和D/A是必不可少。 從現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)的連續(xù)信號(hào)必須經(jīng)過(guò)采樣、A/D轉(zhuǎn)換等量化處理變換為數(shù)字信號(hào)，才能由計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算處理；同理，計(jì)算機(jī)輸出的離散的數(shù)字量也必須經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器和保持器形成連續(xù)信號(hào)，才能作用于被控對(duì)象。計(jì)算機(jī)輸入和輸出的信息轉(zhuǎn)換 時(shí)間上連續(xù)幅值上連續(xù)取值一般用十進(jìn)制數(shù)表示2022/7/2952.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)計(jì)算機(jī)輸入和輸出的信息轉(zhuǎn)換 2022/7/2962.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)時(shí)間上不連續(xù)幅值上連續(xù)取值脈沖序列信號(hào)采樣信號(hào)計(jì)算機(jī)輸入和輸出的信息轉(zhuǎn)換 2022/7/2972.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)時(shí)間上不連續(xù)幅值上不連續(xù)取值用二進(jìn)制代碼

3、形式表示計(jì)算機(jī)處理的信號(hào)2022/7/2982.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.1 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化 信號(hào)的采樣過(guò)程 在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，信號(hào)是以脈沖序列或數(shù)字序列的方式傳遞的，按一定的時(shí)間間隔T（采樣周期），把時(shí)間和幅值上連續(xù)的模擬信號(hào)變成在0、T、2T、KT時(shí)刻的一連串脈沖輸出信號(hào)的集合的過(guò)程叫做采樣過(guò)程。實(shí)現(xiàn)采樣動(dòng)作的裝置叫采樣開(kāi)關(guān)或采樣器。開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí)間2022/7/299模擬信號(hào)的采樣過(guò)程 采樣開(kāi)關(guān)輸入的原信號(hào) 為連續(xù)信號(hào)。當(dāng)采樣開(kāi)關(guān)的閉合時(shí)間很短時(shí)，采樣信號(hào) 就可以認(rèn)為是原信號(hào)在開(kāi)關(guān)閉合瞬時(shí)的值 ，可以看作是一個(gè)權(quán)重為 的脈沖函數(shù) 。整個(gè)采樣信號(hào)就可看作是一個(gè)加權(quán)脈沖序列

4、：2022/7/29102.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.1 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化 信號(hào)的采樣過(guò)程單位脈沖函數(shù)2022/7/29112.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.1 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化 采樣定理 在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，用抽取的離散信號(hào)序列代表相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)來(lái)參與控制運(yùn)算。所以，采集到的離散信號(hào)序列必須能夠表達(dá)相應(yīng)連續(xù)信號(hào)的基本特征。這個(gè)問(wèn)題和采樣周期的選取是密切相關(guān)的。采樣周期對(duì)采樣效果的影響 2022/7/2912香農(nóng)（Shannon）采樣定理指出： 對(duì)于一個(gè)具有有限頻譜 的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，采樣信號(hào) 唯一地復(fù)現(xiàn)原信號(hào) 所需的最低采樣角頻率 必須滿(mǎn)足 或 的條件。其中，

5、是原信號(hào)頻率的最高角頻率：采樣頻率與采樣周期的關(guān)系為：2022/7/29132.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.1 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化 采樣定理在實(shí)際中，采樣頻率通常取 ，或者更高。對(duì)于工業(yè)過(guò)程，人們?cè)趯?shí)踐中總結(jié)如下經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可供參考：溫度流量壓力液面成分1020s15s310s68s1520s變化速度快，信號(hào)頻率相對(duì)較高變化速度慢，信號(hào)頻率相對(duì)較低變化速度慢2022/7/29142.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.1 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化 采樣定理 將時(shí)間上離散、幅值上連續(xù)變化的離散模擬信號(hào) 用一組二進(jìn)制數(shù)碼來(lái)逼近的過(guò)程稱(chēng)為信號(hào)的量化。 執(zhí)行量化動(dòng)作的裝置是A/D轉(zhuǎn)換器，把在 范圍內(nèi)變化的采樣信號(hào)

6、通過(guò)字長(zhǎng)為 的A/D轉(zhuǎn)換器，變換成 范圍內(nèi)的某個(gè)數(shù)字量。量化單位定義為：q是二進(jìn)制數(shù)的最低有效位對(duì)應(yīng)的整量單位整量化方法：“只舍不入”和“有舍有入”2022/7/29152.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.1 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化 信號(hào)的量化 信號(hào)的恢復(fù)是指將采樣信號(hào)恢復(fù)到原連續(xù)信號(hào)，它是采樣過(guò)程的逆過(guò)程。將數(shù)字信號(hào)序列恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)的裝置稱(chēng)為采樣保持器。2022/7/29162.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.2 信號(hào)的恢復(fù)與采樣保持器信號(hào)的理想恢復(fù)需要具備3個(gè)條件：原連續(xù)信號(hào)的頻譜具有有限帶寬，即滿(mǎn)足采樣定理具有理想的低通濾波器應(yīng)用零階保持器恢復(fù)的信號(hào) 零階保持器將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)變成階梯信號(hào)，解決各采

7、樣點(diǎn)之間的插值問(wèn)題2022/7/29172.1 信號(hào)的采樣與恢復(fù)2.1.2 信號(hào)的恢復(fù)與采樣保持器 理想的低通濾波器是物理上不可實(shí)現(xiàn)的，故工程上通常采用接近理想濾波器特性的零階保持器來(lái)代替。零階保持器以前一時(shí)刻的采樣值為參考基值作外推，來(lái)近似原連續(xù)信號(hào)。ZOHt0110Tt零階保持器2022/7/2918時(shí)域方程 脈沖響應(yīng) 從頻率特性看，零階保持器具有低通濾波特性，但不是理想的低通濾波器，它除了允許采樣信號(hào)的主頻分量通過(guò)外，還允許部分高頻分量通過(guò)，不過(guò)它的幅值是逐漸衰減的;從相位特性看，零階保持器是一個(gè)相位滯后環(huán)節(jié)，相位滯后的大小與信號(hào)頻率及采樣周期T成正比，不利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。2022/7

8、/29192.2 Z變換 Z變換則是處理離散系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)工具。Z變換和拉氏變換有著密切聯(lián)系，可以認(rèn)為是從拉氏變換引伸出來(lái)的一種變換方法。2.2.1 Z變換的定義設(shè)離散系統(tǒng)的采樣信號(hào)為：對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，即得采樣信號(hào)的拉氏變換：2022/7/2920代入 可得：2.2 Z變換2.2.1 Z變換的定義 為便于計(jì)算，將采樣信號(hào) 的拉氏變換中包含的超越函數(shù) 定義為一個(gè)新的復(fù)變量Z，即 ，則 。其中，T為采樣周期，并將 記為 ，得到離散函數(shù) 的Z變換： 稱(chēng)為離散函數(shù) 的Z變換，也叫離散拉氏變換或采樣拉氏變換。2、上述求取Z變換方法稱(chēng)為單邊Z變換（當(dāng) 時(shí)， ），而稱(chēng) 為雙邊Z變換，在控制

9、系統(tǒng)中，通常只研究單邊Z變換；2022/7/2921需要注意以下幾點(diǎn)：1、任意項(xiàng) 具有明確的物理意義： 表示幅值，Z的冪次表示該采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻；3、Z變換是由采樣信號(hào)函數(shù)決定的，它反應(yīng)不出非采樣時(shí)刻的信息。如果存在兩個(gè)不同的時(shí)間函數(shù) 和 ， ,但其采樣值完全重復(fù),即 ，則 。這說(shuō)明Z變換 與 或離散函數(shù) 是一一對(duì)應(yīng)的，但是與 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不唯一。2022/7/2922 求取離散時(shí)間函數(shù) 的Z變換有多種方法，這里介紹常用的三種：級(jí)數(shù)求和法、部分分式展開(kāi)法和留數(shù)法。2.2 Z變換2.2.2 Z變換的求法(1) 級(jí)數(shù)求和法 按照Z(yǔ)變換的定義來(lái)求解取拉氏變換：依據(jù)Z變換定義可得：例2.1 求單位

10、階躍函數(shù)的Z變換。解：即在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)：依據(jù)Z變換的定義，可得：如 ，利用等比級(jí)數(shù)求和公式，可得：2022/7/2923(1) 級(jí)數(shù)求和法 按照Z(yǔ)變換的定義來(lái)求解例2.2 求指數(shù)函數(shù) 的Z變換。解：對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)：依據(jù)Z變換的定義，可得：2022/7/2924(1) 級(jí)數(shù)求和法 按照Z(yǔ)變換的定義來(lái)求解（b）當(dāng)設(shè) 為 的m重極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)成部分分式形式為：的非重極點(diǎn)其中2022/7/2925(2) 部分分式展開(kāi)法 分解成簡(jiǎn)單部分分式之和，通過(guò)查Z變換表求出相應(yīng)的Z變換（Z變換表見(jiàn)20、21頁(yè)）（a）當(dāng) 具有非重極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)成部分分式形式為：為為常數(shù)，其中例

11、2.3 已知函數(shù) ，求 。解：有兩個(gè)單極 ，則展開(kāi)部分分式之和有：查Z變換表可得：2022/7/2926(2) 部分分式展開(kāi)法 分解成簡(jiǎn)單部分分式之和，通過(guò)查Z變換表求出相應(yīng)的Z變換（Z變換表見(jiàn)20、21頁(yè)） ( )為全部極點(diǎn)，其中有m個(gè)非重極點(diǎn)和n-m個(gè)重極點(diǎn)， 為重極點(diǎn)的重?cái)?shù)。如果函數(shù) 為嚴(yán)格的真有理分式，則 的Z變換 可直接由下式求得:2022/7/2927(3) 留數(shù)法 針對(duì)函數(shù)的每個(gè)極點(diǎn)求留數(shù)2022/7/2928(3) 留數(shù)法 針對(duì)函數(shù)的每個(gè)極點(diǎn)求留數(shù)例2.4 已知函數(shù) ，求 。有一個(gè)2重單極點(diǎn) ，兩個(gè)單極點(diǎn) 。解：線(xiàn)性定理：位移定理：在t=0初值定理：終值定理：(1-z-1)F(

12、z)在單位圓上及單位圓外無(wú)極點(diǎn)滯后超前2022/7/29292.2 Z變換2.2.3 Z變換的基本定理終值定理成立的條件:在單位圓上和圓外沒(méi)有極點(diǎn)存在單位圓外極點(diǎn)如果使用終值定理：實(shí)際上：是發(fā)散的2022/7/2930復(fù)位移定理：復(fù)域微分定理：離散卷積定理：復(fù)域積分定理：2022/7/29312.2 Z變換2.2.3 Z變換的基本定理 已知Z變換表達(dá)式 ，求相應(yīng)離散序列 或 的過(guò)程稱(chēng)為Z反變換，記為：常用的Z反變換方法有長(zhǎng)除法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法 2022/7/29322.2 Z變換2.2.4 Z反變換 Z反變換結(jié)果只反映采樣時(shí)刻的信息，它與連續(xù)信號(hào)無(wú)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：因此：比較可得：依據(jù)

13、Z變換定義得到的是數(shù)值解，很難得到解析解，不便于分析。2022/7/2933(1) 長(zhǎng)除法 展開(kāi)成按照z-1升冪排列的冪級(jí)數(shù)2.2 Z變換2.2.4 Z反變換例2.5 已知 ，求反Z變換。解：從而得到：2022/7/2934(1) 長(zhǎng)除法 展開(kāi)成按照z-1升冪排列的冪級(jí)數(shù)2022/7/2935(2) 部分分式展開(kāi)法 展開(kāi)成部分分式，通過(guò)查Z變換表，求和 設(shè)已知Z變換函數(shù) 無(wú)重極點(diǎn)，且 ，先求出 的極點(diǎn) 。再將 展開(kāi)為分式之和：然后逐項(xiàng)查表得到最后寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的采樣函數(shù)：例2.6 已知 ，求反Z變換 。解：2022/7/2936(2) 部分分式展開(kāi)法 展開(kāi)成部分分式，通過(guò)查Z變換表，求和采用部分分式

14、展開(kāi)，得：查Z變換表，得到：即：從而有：應(yīng)當(dāng)注意，經(jīng)反變換得到 的只是在采樣時(shí)刻 與 在該時(shí)刻的值相等，而在其他時(shí)刻的值可以任意。時(shí)域函數(shù) 可以利用 在 全部極點(diǎn)上的留數(shù)之各求得，即：2022/7/2937(3) 留數(shù)法 也稱(chēng)反演積分法，Z變換函數(shù)可能是超越函數(shù)，無(wú)法應(yīng)用部分分式法或長(zhǎng)除法求解反變換。2.2 Z變換2.2.4 Z反變換例2.7 設(shè)Z變換函數(shù) ，試用留數(shù)法求其Z反變換。解：函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：1和0.5，先求出 對(duì)這兩個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)2022/7/2938(3) 留數(shù)法 也稱(chēng)反演積分法從而求得：2022/7/29392.3 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)在本質(zhì)上屬于離散控制系統(tǒng)，

15、離散控制系統(tǒng)的性能分析和控制器設(shè)計(jì)離不開(kāi)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（模型）。Z變換是離散系統(tǒng)分析和描述的有力工具。2.3.1 差分方程及其求解連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程用微分方程來(lái)描述離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程用差分方程來(lái)描述工程中的大多數(shù)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，可近似認(rèn)為是線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)2022/7/2940線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)通過(guò)常系數(shù)線(xiàn)性微分方程來(lái)描述線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)通過(guò)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程來(lái)描述2.3 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.3.1 差分方程及其求解1、差分的定義一階前向差分的定義為n階前向差分的定義為 同理，一階后向差分的定義為 n階后向差分的定義為 設(shè)單輸入單輸出計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)某一時(shí)刻輸入為 ，輸出為 ，則n階線(xiàn)性定常

16、離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的一般形式為：二階、常系數(shù)、線(xiàn)性差分方程2022/7/29411、差分的定義后向差分：前向差分：包括Z變換法和遞推求解法。解：2022/7/29422、差分方程的求解(1) Z變換法 用Z變換求解常系數(shù)線(xiàn)性差分方程和用拉氏變換解微分方程很相似。先利用初始條件，將差分方程轉(zhuǎn)換成為變量Z的代數(shù)方程，再求出Z反變換。例2.8 已知連續(xù)系統(tǒng)微分方程為 ，輸入 ，初始條件為 ，試用前向差分方法進(jìn)行離散化，并對(duì)所得差分方程進(jìn)行求解 。用各階前向差分方程代替原方程中的各階導(dǎo)數(shù)，得：根據(jù)前向差分定義，得：解：2022/7/2943例2.8 已知連續(xù)系統(tǒng)微分方程為 ，輸入 ，初始條件為 ，試用前

17、向差分方法進(jìn)行離散化，并對(duì)所得差分方程進(jìn)行求解 。對(duì)以上差分方程兩邊分別進(jìn)行Z變換離散化后，得：代入初始條件對(duì)其進(jìn)行Z反變換得到解：2022/7/2944(2) 遞推求解法例2.8 已知連續(xù)系統(tǒng)微分方程為 ，輸入 ，初始條件為 ，試用前向差分方法進(jìn)行離散化，并對(duì)所得差分方程進(jìn)行求解 。用各階前向差分方程代替原方程中的各階導(dǎo)數(shù)，得：根據(jù)前向差分定義，得：通過(guò)迭代可得：2022/7/2945線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)用傳遞函數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)性能線(xiàn)性離散系統(tǒng)用脈沖傳遞函數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)性能2.3 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.3.2 脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義 在零初始條件下，離散控制系統(tǒng)輸出序列的Z變換與輸入序列Z

18、變換之比稱(chēng)為離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)只決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。2022/7/29461、脈沖傳遞函數(shù)的定義 離散系統(tǒng)既可以采用差分方程描述，也可以采用Z傳遞函數(shù)描述，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)換。系統(tǒng)差分方程：零初始條件下系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特性多項(xiàng)式2022/7/29471、脈沖傳遞函數(shù)的定義已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)，其脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算步驟：對(duì)G(s)進(jìn)行拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng)：對(duì)g(t)采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：對(duì)脈沖響應(yīng)g*(t)做Z變換，求得Z傳遞函數(shù)：離散化后G(z)的極點(diǎn)是G(s)的極點(diǎn)按z=esT的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)過(guò)來(lái)的；G(z)的零點(diǎn)的位置與采

19、樣周期有關(guān)，一般多于G(s)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，沒(méi)有極點(diǎn)那種對(duì)應(yīng)關(guān)系；2022/7/29482.3 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.3.2 脈沖傳遞函數(shù)2、系統(tǒng)框圖的脈沖傳遞函數(shù) 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，既有被控對(duì)象那樣的連續(xù)環(huán)節(jié)，又有計(jì)算機(jī)這樣的離散環(huán)節(jié)，而且采樣開(kāi)關(guān)位置因系統(tǒng)而異，因此，各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的求法比連續(xù)系統(tǒng)要復(fù)雜。分析連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖的方法不能直接一一照搬到離散控制系統(tǒng)，還需要考慮到離散系統(tǒng)的特殊性。2022/7/29492、系統(tǒng)框圖的脈沖傳遞函數(shù)(1)、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)兩個(gè)環(huán)節(jié)間有采樣開(kāi)關(guān)：串聯(lián)環(huán)節(jié) 兩個(gè)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)：通常情況下： 2022/7/29502、系統(tǒng)框圖的脈沖傳遞函數(shù)(

20、1)、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)有采樣開(kāi)關(guān)：無(wú)采樣開(kāi)關(guān)： 兩種情況的極點(diǎn)相同，但零點(diǎn)不同。根據(jù)環(huán)節(jié)之間有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，連續(xù)元件前后有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，正確寫(xiě)出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，對(duì)于研究系統(tǒng)的性能是非常重要的。2022/7/29512、系統(tǒng)框圖的脈沖傳遞函數(shù)(1)、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)并聯(lián)環(huán)節(jié) 帶零階保持器 2022/7/29522、系統(tǒng)框圖的脈沖傳遞函數(shù)(2)、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 在求離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)列出各變量之間的關(guān)系，然后消去中間變量，得到輸出量Z變換和輸入量Z變換之間的關(guān)系。 考慮典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，其等效傳遞函數(shù)如圖所示，反饋通道中連續(xù)環(huán)節(jié)H(s)

21、為測(cè)量變送裝置的傳遞函數(shù)。D(s)為控制器，其輸入為E*(s)，輸出為U*(s)。則：2022/7/2953輸出信號(hào)： 偏差信號(hào)： 采樣后的偏差信號(hào)： 采樣后的輸出信號(hào)： 輸出信號(hào)的Z變換： 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 數(shù)字控制器傳遞函數(shù)廣義對(duì)象傳遞函數(shù)2022/7/2954(2)、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)部分離散控制系統(tǒng)輸出及脈沖傳遞函數(shù)（見(jiàn)書(shū)P36表2.2）2022/7/2955(2)、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)部分離散控制系統(tǒng)輸出及脈沖傳遞函數(shù)（見(jiàn)書(shū)P36表2.2）2022/7/29562.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的最基本要求，是保證系統(tǒng)能正常工作的首要條件。在連續(xù)系統(tǒng)中，通常在S域就

22、可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。同理，在離散系統(tǒng)中，可以在Z域?qū)ο到y(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究。為了研究計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先需要分析S平面與Z平面的關(guān)系。S平面與Z平面的映射關(guān)系可由 來(lái)確定，設(shè) ，則：2022/7/29572.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.4.1 S平面到Z平面的變換S平面與Z平面的映射關(guān)系2.4.1 S平面到Z平面的變換當(dāng)=0，即s平面的虛軸，對(duì)應(yīng)z平面的單位圓當(dāng)0，即s右半平面對(duì)應(yīng)z平面的單位圓外s平面角頻率 與z平面相角 關(guān)系2022/7/29582.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 在Z平面上，當(dāng) 為某個(gè)定值時(shí)， 隨 由 變到 的軌跡是一個(gè)圓，圓心位于原點(diǎn)，半徑為 ，圓心角隨 線(xiàn)性增大。S

23、平面上的主帶和旁帶2022/7/2959頻率混疊現(xiàn)象 每個(gè)頻帶映射到Z平面與之對(duì)應(yīng)的是整個(gè)Z平面，其中位于S平面虛軸左邊部分都與Z平面單位圓內(nèi)部區(qū)域?qū)?yīng)；在虛軸左邊部分都與Z平面單位圓外部區(qū)域?qū)?yīng)，每個(gè)頻區(qū)內(nèi)的一段虛軸都與Z平面單位圓周相對(duì)應(yīng)。2022/7/29602.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.4.2 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 系統(tǒng)極點(diǎn)在S平面內(nèi)具有負(fù)實(shí)部，即極點(diǎn)都要分布于S平面的左半部，如果有極點(diǎn)出現(xiàn)在S平面右半部，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以S平面的虛軸是連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界線(xiàn)。線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 極點(diǎn)滿(mǎn)足 ，即系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)均應(yīng)分布于Z平面的單位圓

24、內(nèi)。只要有極點(diǎn)在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定；當(dāng)極點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，臨界穩(wěn)定在工程上也認(rèn)為是不穩(wěn)定。2022/7/29612.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.4.2 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：假設(shè)該脈沖傳遞函數(shù)具有n個(gè)相異的實(shí)數(shù)極點(diǎn) ，則系統(tǒng)輸出：進(jìn)行Z反變換得：如果所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，即 ，則：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。上述結(jié)論對(duì)有重根的情況也成立。2022/7/29622.4.2 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件S平面Z平面穩(wěn)定性討論= 0，虛軸r = 1，單位圓穩(wěn)定邊界 0，左半部分r 1 ，單位圓內(nèi)穩(wěn)定 0，右半部分r 1 ，單位圓外不穩(wěn)定= 0，實(shí)軸正實(shí)軸不穩(wěn)

25、定為常數(shù)，實(shí)軸的平行線(xiàn)端點(diǎn)為原點(diǎn)的射線(xiàn)不穩(wěn)定2022/7/2963直接法：求解系統(tǒng)的特征根;間接法：用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界為單位圓，不能直接采用連續(xù)系統(tǒng)的勞斯判據(jù)方法。需要引入雙線(xiàn)性變換（又稱(chēng)W變換），將Z平面的單位圓映射到W平面的左半平面。2.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.4.3 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法則：令可以得到2022/7/2964極點(diǎn)在Z平面的單位圓上，則有 ，對(duì)應(yīng)于W平面中的 ，即虛軸上。2.4 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.4.3 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法在W平面的虛軸上：極點(diǎn)在Z平面的單位圓內(nèi)，則有 ，對(duì)應(yīng)于W平面中的 ，即虛軸以左。極點(diǎn)在Z平面的單位圓外，則有

26、，對(duì)應(yīng)于W平面中的 ，即虛軸以右。例2.9 設(shè)具有零階保持器的線(xiàn)性離散系統(tǒng)如圖所示，采樣周期T=1s，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。解：系統(tǒng)的特征方程：建立勞斯表：2022/7/2965雙線(xiàn)性變換：第一列元素均為正：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍：2022/7/29662.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程分析 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程是指系統(tǒng)在外部信號(hào)作用下從原有穩(wěn)定狀態(tài)變化到新的穩(wěn)定狀態(tài)的整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性通常是指系統(tǒng)在單位階躍參考輸入信號(hào)作用下的過(guò)渡過(guò)程特性。同連續(xù)系統(tǒng)一樣，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程的形態(tài)特征也是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的，與閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在Z平面上的分布有關(guān)。20

27、22/7/2967實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量2.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程分析極點(diǎn)在單位圓外的正實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為單調(diào)發(fā)散，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。極點(diǎn)等于1，在單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為等幅序列，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量單調(diào)衰減。且極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，其值越小且衰減越快。極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量是以2T為周期的正負(fù)交替衰減振蕩。極點(diǎn)等于-1，在單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量是以2T為周期的正負(fù)交替的等幅振蕩。極點(diǎn)在單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量是以2T為周期的正負(fù)交替發(fā)散振蕩。2022/7/29681、實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量2

28、.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程分析2022/7/2969復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量2.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程分析2022/7/29702、復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量2.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程分析極點(diǎn)在單位圓外的 平面上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為發(fā)散振蕩序列，系統(tǒng)不穩(wěn)定。極點(diǎn)在單位圓上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為等幅振蕩序列，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為衰減振蕩序列。復(fù)極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，相應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量衰減也越快。位于Z平面左半平面的復(fù)極點(diǎn)，其暫態(tài)響應(yīng)分量同位于Z右半平面相應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)情況類(lèi)似，不同的是其振蕩頻率要高于Z右半平面復(fù)極點(diǎn)的暫態(tài)響應(yīng)分量的振蕩頻率。2022/7/29713、結(jié)論2.5 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程分析當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出分量是衰減序列，而且極點(diǎn)越接近Z平面的原點(diǎn)，輸