高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案

1、1求圖621中各畫斜線部分的面積 解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為0 1所求的面積為A 0(a x)dx |x2 |x20 .x軸上的投影區(qū)間為0 1所求的面積為解法二 畫斜線部分在y軸上的投影區(qū)間為1 e所求的面積為解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為3 1所求的面積為解 畫斜線部分在x軸上的投影區(qū)間為1 3所求的面積為2.求由下列各曲線所圍成的圖形的面積y ；x2與x2y28(兩部分都要計(jì)算)解y 1與直線yx及x2 xyex yex與直線x1解所求的面積為(4)y=ln x, y 軸與直線 y=ln a, y=ln b (ba0).解所求的面積為3求拋物線yx24x3及其在點(diǎn)(0 3)和

2、(3 0)處的切線所圍成的圖形的面積 解y2 x4過點(diǎn)(0, 3粒的切線白斜率為4切線方程為y4(x3)過點(diǎn)(3, 0粒的切線白斜率為2切線方程為y2x6兩切線的交點(diǎn)為母3)所求的面積為4求拋物線y2=2px及其在點(diǎn)(孝r)處的法線所圍成的圖形的面積解2yy2p在點(diǎn)(2,p)處y 次,p) 1法線的斜率k1法線的方程為y p (x手)即x 3P y求得法線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為(2,p)和(2 p, 3p)法線與拋物線所圍成的圖形的面積為5求由下列各曲線所圍成的圖形的面積(1)2acos解F尸2所口曰)所求的面積為A 1 2 (2acos )2d 4a2 ,cos2 d a2220(2)xaco

3、S3t, yasin3t;解(3)=2a(2+cos)解所求的面積為6求由擺線xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)與橫軸所圍成的圖形的面積 解x=u(r xin，)、mfl cts /)所求的面積為7求對(duì)數(shù)螺線ae()及射線所圍成的圖形面積 解所求的面積為8求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積（1）3cos 及 1cos解b（2,-）由對(duì)稱性所求的面積為曲線3cos與1cos交點(diǎn)的極坐標(biāo)為A（3 ,-）2 3 V2sin 及 2 cos2加日面積的焦點(diǎn)的曲線/sin與2 cos2的交點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M （字噂）所求的面積為9求位于曲線丫=6、下方該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以

4、及x軸上方之間的圖形的面積解設(shè)直線ykx與曲線yex相切于A（x（）y0）點(diǎn)則有 求得 xoi yoe ke所求面積為10求由拋物線y24ax與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形的最小值解 設(shè)弦的傾角為 由圖可以看出 拋物線與過 弦所圍成的圖形的面積為顯然當(dāng)2時(shí)A10當(dāng) 萬時(shí)A10因此 拋物線與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形的面積的最小值為11把拋物線y24ax及直線xx)(x00)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn) 計(jì)算所得旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)計(jì)計(jì)算所解所得旋轉(zhuǎn)體的體積為12由yx3x2 y0所圍成的圖形 分別繞x軸及y軸旋算所得兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積解繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為13把星形線x2/3 y2

5、/3 a2/3所圍成的圖形 繞x軸旋轉(zhuǎn)的軸旋得旋轉(zhuǎn)體的體積解由對(duì)稱性所求旋轉(zhuǎn)體的體積為14用積分方法證明圖中球缺的體積為v h2(r H)RR證明 Vx2(y)dy(R2 y2)dyR HR H15求下列已知曲線所圍成的圖形 按指定 轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積y x2 x y2繞y軸解 V1ydy0(y2)2dy(Jy2 ：y5)0 磊2510a解 V 0 y2(x)dxy ach : x0 xa y0 繞 x 軸a2ch2xdx x au a3 ch2udu0 a0 x2 (y 5)2 16 繞 x 軸4 4解 V (5 16 x2)2dx(5 .16 x2)2dx44y2a轉(zhuǎn)體的擺線xa(ts

6、in t) ya(1cost)的一拱 y0繞直線解 V12a (2a)2dx12a (2a y)2dx16求圓盤x2 y2 a2繞xb(ba0)旋轉(zhuǎn)所成旋體積a a,V (b , a2 y2)2dy(b .、a2 y2)2dyaa17設(shè)有一截錐體 其高為h上、下底均為橢圓的軸長(zhǎng)分別為2a、2b和2A、2B求這截錐體解 建立坐標(biāo)系如圖 過y軸上y點(diǎn)作垂直于 平面則平面與截錐體的截面為橢圓易得其長(zhǎng)短 分別為截面的面積為(A A-ay) (B B-by) hh于是截錐體的體積為18計(jì)算底面是半徑為R的圓 而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積由已積其解 設(shè)過點(diǎn)x且垂直于x軸的截

7、面面積為A(x) 知條件知它是邊長(zhǎng)為Jr2 x的等邊三角形的面 值為所以 V R J3(R2 x2)dx 心 R3R 、，319證明由平面圖形0axb 0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為證明 如圖 在x處取一寬為dx的小曲邊梯形 小曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積近似為2xf(x)dx這就是體積元dV2xf(x)dx于是平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為20利用題19和結(jié)論 計(jì)算曲線ysin x(0 x)和素即x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積解 V 2 0 xsinxdx 2 0 xd cosx 2 ( xcosx sinx)0 2 221計(jì)算曲線yln x上相應(yīng)于&

8、 x a的一段弧的長(zhǎng)度8.8882解 s 3、1 y (x)dx 3、,1 (x)dx飛 x dx令 Ji x2 t 即 x Jt2 1 貝U J? 22計(jì)算曲線y 罟(3 x)上相應(yīng)于1x33弧的長(zhǎng)度.xy11 x2x 2的一段所求弧長(zhǎng)為23計(jì)算半立方拋物線y2 2(x 1)3被拋物線y2微截得的一段弧的長(zhǎng)度 33y2 2(x 1)33得兩曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為2 所求弧長(zhǎng)為s 21,1 y 2dx因?yàn)樗詙2dy使細(xì)的漸24計(jì)算拋物線y 、 3縱坐標(biāo) y a(1 cos) |a2Px從頂點(diǎn)到這曲線上的一點(diǎn) M(xy)的弧長(zhǎng):x2(y)dy ； 1 (P)2dy 1PoyJp225計(jì)算星形線x

9、acoS3t y asin2t的全長(zhǎng)解 用參數(shù)方程的弧長(zhǎng)公式26將繞在圓(半徑為a)上的細(xì)線放開拉直 線與圓周始終相切細(xì)線端點(diǎn)畫出的軌跡叫做圓 伸線它的方程為 計(jì)算這曲線上相應(yīng)于t從0變到的一段弧的長(zhǎng)度解由參數(shù)方程弧長(zhǎng)公式27在擺線xa(tsin t) ya(1cost)上求分?jǐn)[線第一拱成1 3的點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)t從0變化到t0時(shí)擺線第一拱上對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為s(t0)則當(dāng)t02時(shí) 得第一拱弧長(zhǎng)s(2)8a為求分?jǐn)[線第一拱為1 3的點(diǎn)為A(xy)令解得t。2-因而分點(diǎn)的坐標(biāo)為3橫坐標(biāo) x a(2- sin2-) (233故所求分點(diǎn)的坐標(biāo)為吟28求對(duì)數(shù)螺線ea相應(yīng)于自0到的一段弧長(zhǎng)解用極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式29

10、求曲線1相應(yīng)于自3至4的一段弧長(zhǎng)43解按極坐標(biāo)公式可得所求的弧長(zhǎng)30求心形線a(1cos的全長(zhǎng)解用極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式 習(xí)題631由實(shí)驗(yàn)知道 彈簧在拉伸過程中 需要的力F(單位N)與伸長(zhǎng)量s(單位cm)成正比 即Fks(k為比例常數(shù))如果把彈簧由原長(zhǎng)拉伸6cm計(jì)算所作的功解將彈簧一端固定于A另一端在自由長(zhǎng)度時(shí)的點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立坐 標(biāo)系功元素為dWksds所求功為66，一.W o ksds 2ks20 18k(牛厘米)2直徑為20cm、高80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10N/cm2的蒸汽 設(shè)溫度 保持不變要使蒸汽體積縮小一半問需要作多少功？解由玻馬定律知設(shè)蒸氣在圓柱體內(nèi)變化時(shí)底面積不變高度減小x

11、厘米時(shí)壓強(qiáng) 為P(x)牛/厘米2則功元素為 dW ( 102)P(x)dx所求功為40 40W ( 102) -800-dx 80000-dx 800 ln2(J)0800 80(1)證明 把質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處所作的功是其中g(shù)是地面上的重力加速度 R是地球的半徑(2)一顆人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為173kg在高于地面630km處進(jìn)入軌道問把這顆衛(wèi)星從地面送到630的高空處 克服地球引力要作多少功？已知g98m/s2 地球半徑 R6370km證明(1)取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)把質(zhì)量為m的物體升高的功元素為所求的功為(2)W 6.67 1011 173 5.98 1024 630 103 9

12、.75 105 (kJ)()6370 103(6370 630) 103一物體按規(guī)律x ct3作直線運(yùn)動(dòng) 媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比 計(jì)算物體由x0移至xa時(shí) 克服媒質(zhì)阻力所作的功解因?yàn)閤 ct3所以2v x(t) 3cx2 阻力 fkv29kc2t4 而 t (x/ 所以c功元素dWf(x)dx所求之功為5用鐵錘將一鐵釘擊入木板 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比 在擊第一次時(shí) 將鐵釘擊入木板1cm如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等問錘擊第二次時(shí)鐵釘又擊入多少？解設(shè)錘擊第二次時(shí)鐵釘又擊入hcm因木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇與鐵釘擊入木板的深度x(cm)成正比 即fkx功元素dWf dxkxd

13、x擊第一次作功為擊第二次作功為因?yàn)閃i %所以有解得 h 2 1(cm)6設(shè)一錐形貯水池 深15m 口徑20m盛滿水 今以唧筒將水吸盡 問要作多少功？解 在水深x處 水平截面半徑為r 10 |x功元素為 3所求功為1875(噸米)57785.7(kJ)尺寸如圖所示當(dāng)水箱裝滿水7有一閘門 它的形狀和尺寸如圖 水面超過門頂2m求閘門上所受的水 壓力解建立x軸方向向下原點(diǎn)在水面水壓力元素為閘門上所受的水壓力為c5.P 22xdx x22 21(噸)=205 8(kN)8灑水車上的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體時(shí) 計(jì)算水箱的一個(gè)端面所受的壓力解 建立坐標(biāo)系如圖 則橢圓的方程為壓力元素為 所求壓力為4 02c

14、os2tdx 卷(噸)17.3(kN)(提示積分中所作的變換為x: 4加)9有一等腰梯形閘門 它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m高為20m較長(zhǎng)的底 邊與水面相齊 計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力幽5）1rV解建立坐標(biāo)系如圖直線AB的方程為壓力元素為所求壓力為20P x(10 1x)dx 146705，（噸）14388（千牛）10 一底為8cm、高為6cm的等腰三角形片 鉛直地沉沒在水中 頂在上 底在下且與水面平行而頂離水面3cm試求它每面所受的壓力解建立坐標(biāo)系如圖腰AC的方程為y 2x壓力元素為3所求壓力為M也6P 4x(x 3)dx 4(1x3 3x20 33 321 x C(6,4)168（克）（牛）

15、11設(shè)有一長(zhǎng)度為1、線密度為的均勻細(xì)直棒在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力解建立坐標(biāo)系如圖在細(xì)直棒上取一小段dy引力元素為dF在x軸方向和y軸方向上的分力分別為12設(shè)有一半徑為R、中心角為的圓弧其線密度為常數(shù) 在圓心處有一質(zhì)量為m的求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力形細(xì)棒質(zhì)點(diǎn)F試ds-Rd 6解根據(jù)對(duì)稱性Fy0引力的大小為2Gm sin-方向自M點(diǎn)R 2弧中點(diǎn)總習(xí)題六yR x起指向圓1 一金屬棒長(zhǎng)3m離棒左端xm處的線密度為(x) -4（kg/m）問x為何值時(shí)0 x一段的質(zhì)量為全棒質(zhì)量的一半x3斛x應(yīng)滿足0彳7dt 50；0dtdt g2/F70 1因?yàn)?o1 dt

16、 2, t 1 c)2 ,x 1 2 二、t1 L 20,t 1所以 2x 1 2 1x 4(m)且當(dāng)x0 12求由曲線asin a(cossin)0)所圍圖形公共部分的面積解S 2 (|)2 1 ; a2(cossin )2d3設(shè)拋物線y ax2 bx c通過點(diǎn)(0 0)時(shí)y0試確定a、b、c的值使得拋物線ax2 bx c與直線x1 y0所圍圖形的面積使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小解 因?yàn)閽佄锞€y ax2 bx c通過點(diǎn)(0 0)所以c0從而拋物線y ax2 bx與直線x1 y0所圍圖形的面積為令a b 4得b中3 2 99該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為令普 U 12得2(8

17、 12a) 0得a 5于是b2 d 53811b334求由曲線y x，與直線x4 x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 解所求旋轉(zhuǎn)體的體積為5求圓盤(x 2)2 y2 1繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 3解 V 2 2 x 1 (x 2)2dx6拋物線y 1x2被圓x2 y2 3所需截下的有限部分的弧長(zhǎng)x2 y2 3解由 1 2解得拋物線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為（72,1） （72,1）于是所求 y -x 2 2的弧長(zhǎng)為7半徑為r的球沉入水中 球的上部與水面相切 球的比重與水相同 現(xiàn)將 球從水中取出需作多少功解 建立坐標(biāo)系如圖 將球從水中取出時(shí) 球的各點(diǎn)上升的高度均為2r在 x處取一厚度為dx的薄片 在將球從水中取出的過程中薄片在水下上升的高度為rx在水上上升的高度為rx在水下對(duì)薄片所做的功為零在水上對(duì)薄片所做的功為 對(duì)球所做的功為8邊長(zhǎng)為a和b的矩形薄板 與液面成角斜沉于液體內(nèi) 長(zhǎng)邊平行于液面 而位于深h處 設(shè)ab液體的比重為 試求薄