高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積

1、2008高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積知識梳理1.數(shù)量積的概念:(1)向量的夾角：如下圖，已知兩個非零向量a 和 b,作 OA=a, OB =b,則/ AOB= 0(0 0 = 0 .(1) e a= a - e=|a|cos 0 .(2)當(dāng) a 與b同向時，a b=|a|b|;當(dāng) a 與 b反向時，a b= 一|a|b|,特別地，aa=|a|2,或|a|= , a2 .a bu a b=0.a bcos 0 =|a|b|a- b|w|a|b|.運(yùn)算律：(1) a b=b a;(2)(入 a) b=入(a b)=a(入b); ( 3)( a+ b)c=a - c+ bc.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)

2、a= (x, y1)，b=(X2, y2),則a - b=X1X2+y1y2；|a|=Jx2 +y12 ；(3) cosa, b TOC o 1-5 h z X1X2 +y1y2.2222 .X1y1 X2y2a bu a - b=0u X1X2+y1y2=0.思考討論(a b) c與a (b c)是否相等？點擊雙基. （2004年全國I, 3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60 ,那么|a+3 b|等于A.B.，,10C.、13D.4解析：|a+3b|=、i(a+3b)2 = Ja2 +6a b +9b2 = 3、10C.入 v 3解析：: a與b的夾角為鈍角，cosa, b 3答案：

3、A. （2004年上海，6）（理）已知點A （1, 2）,若向量AB與a= （2, 3）同向，|aB |二2 而， 則點B的坐標(biāo)為.解析：設(shè)A點坐標(biāo)為（Xa, Ya） , B點坐標(biāo)為（Xb, Yb）.AB與a同向，可設(shè) AB=Xa=（2入，3入）（入0）.| AB |= v(2K)2 + G 2 =2 13，.二入=2.貝U AB = (xbXa, YbYa) = (4, 6),.Xb -Xa =4,Xa. Xb =5,. J,Yb -Ya =6.Ja =-2,Jb =4.B點坐標(biāo)為(5, 4).答案：(5, 4)(文)已知點A( 1, 5)和向量a = (2, 3),若AB=3 a,則點B的

4、坐標(biāo)為 解析：設(shè)B點坐標(biāo)為(Xb, Yb),貝UAB= (Xb+1, yb+5) =3a= (6, 9),x B +1 =6, . xB =5,Yb+5 =9.Yb =4.B (5, 4).答案：(5, 4)典例剖析1例U 判斷下列各命題正確與否：(1)若 aw0, a - b= a - c,貝U b= c;(2)若a b=a - c,則bw c當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立；(3)(a b)c= a(bc)對任意向量a、b、c都成立；(4)對任一向量a,有a2=|a|2.剖析：(1)(2)可由數(shù)量積的定義判斷.(3)通過計算判斷.(4)把a(bǔ)2轉(zhuǎn)化成aa=|af可判斷.解：(1) a b=a c,|a|

5、b|cosa =|a|c|cos3 (其中 a、3 分別為 a 與 b, a 與 c 的夾角). ,|a|w0,|b|cosa =|c|cos3 . cos”與cos3不一定相等，|b|與|c|不一定相等.b與c也不一定相等.，(1)不正 確.(2)若 a b=a-c,則|a|b|cosa=|a |c|cos3(a、3 為 a與b,a與 c 的夾角).|a| (|b|cosa |c|cos3) =0.|a|=0 或|b|cosa =|c|cos3 .當(dāng)bwc時,|b|cosa與|c|cos3可能相等. ( 2)不正確.(a b) c= (|a|b|cosa ) c,a (b c) = a|b|

6、c|cos9 (其中a、0分別為a與b, b與c的夾角).(a b) c是與c共線的向量，a (bc)是與a共線的向量. ( 3)不正確.(4)正確.評述：判斷上述問題的關(guān)鍵是要掌握向量的數(shù)量積的含義，向量的數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實數(shù)乘法的運(yùn)算律.【例2】 平面內(nèi)有向量 OA= (1, 7), OB= (5, 1), OP = (2, 1),點X為直線 OP上 的一個動點.(1)當(dāng)XA - XB取最小值時，求 OX的坐標(biāo);（2）當(dāng)點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求 cos/AXB的值.剖析：因為點 X在直線OP上，向量OX與而 共線，可以得到關(guān)于 OX坐標(biāo)的一個關(guān)系式，再根據(jù)XA - XB的最小值

7、，求得 OX的坐標(biāo)，而 cos/axb是XA與XB夾角的余弦，利 用數(shù)量積的知識易解決.解：（1）設(shè) Ox = （x, y）,點x在直線op上，向量OX與OP共線.又 OP= (2, 1),x-2y=0,即 x=2y.OX = (2y, y).又 XA= OA OX , OA = (1, 7),XA= (1-2y, 7-y).同樣 XB = OB OX、(52y, 1-y)于是 XA XB= (12y) (52y)+ (7-y) (1-y) =5y220y+12=5 (y-2) 2- 8.，當(dāng)y=2時，XA XB有最小值8,此時 OX = (4, 2).(2)當(dāng) OX = (4, 2),即 y

8、=2 時，有 XA = (3, 5), XB = (1 , 1)|XA|= 34 , |XB|=j2.XA XBcos/ AXB=|XA|XB|4/717評述：（1）中最值問題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以 構(gòu)造函數(shù).而（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用 .【例 3】已知向量OP1、OP2、OP3 滿足 0Pl + OP2+OP3=0, 10Pl|=|OP2 |=|OP3|=1.求證： PiP2P3是正三角形剖析：由10Pl | = |0P2 | = |0P3 | = 1知O是4PiP2P3的外接圓的圓心， 要證 PiP2P3是正三角形，只需證/ PiOP2=/P2OP3

9、=/P3OPi 即可，即需求 0Pl與 OP2,OP2與 OP3,OP3與 0Pl的夾角.由西+麗+6居=0變形可出現(xiàn)數(shù)量積，進(jìn)而求夾角.證明： OK+OK +范=0,Op1 + Op2 = - Op .1.|Op1 + Op2 i=i- OP31.lOPi |2+| OP2 |2+2OPi OP2 =|OP3 i2.又lOR |=|OP |=|OP3 1=1一 一 1OP OP2 =.2,-.1 I 0Pli |OF2 IcosZ PiOP2=，2即/ PiOP2=120 .同理/ PiOP3=Z P2OP3=i20 .， PiP2P3為等邊三角形.評述：解本題白關(guān)鍵是由 O百+ O百+OK

10、 =0轉(zhuǎn)化出現(xiàn)向量的數(shù)量積，進(jìn)而求夾角 .深化拓展本題也可用如下方法證明：以O(shè)點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè) Pi (xi, yi), P2(X2,y2), P3 ( X3, y3),則 OFi= (Xi, yi), OP2 = (X2, 丫2), OP3= (X3, y3).由 OPi +OP2 +OP3= 0,得 ji +X2 +X3 =0, . ：Xi +X2 = X3,iyi +y2 +y3 =0. m +y? = V3,由 I畝 i=i麗 i=iOp3i=i , 得 Xi2+yi2=X22+y22=X32+y32=i.- 2+2(XiX2+yiy2)=i. I PiP2 1= J (

11、Xi X2)2 + (yi y2)22222_=XiX2yiy2 _2xiX2 - 2yi y2=J2（1 X1X2 一y1y2）=石.同理 | 而31= J3 , 靛 |=4 .， PlP2P3為正三角形.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ).若a= ( 2, 3), b= (4, 7),則a在b方向上的投影為A. 3BqC.也D. . 65 TOC o 1-5 h z 55行比 人心jmm旦/a a b 2 父(一4) +3X713V65解析：a在b萬向上的投影為 =.一=-；=.I bIJ(_4)2 +72病 5答案：C12.已知 a|=10, |b|=12,且（3a） （ b） =36,則 a與 b 的夾

12、角是 5A.60B.1200.135D.1501一解析：由（3a） （ b） = 36 得 a b= 60.5cos a, b又 0 w a, 答案：B=a b-60|a|b| 10 12b v 180 ,1 =.2a, b =1203.若向量c垂直于向量a 和 b, d=入 a+b （入、e r,且入w w0),則c/ dcd0. c不平彳T于d,也不垂直于dD.以上三種情況均有可能解析：-.1 ca, c b,c a=0, c - b=0.c d= c（入 a +b）=c（入a）+ c（科b）=入 c a +c -b=0.答案：B.給出下列命題：若 a2+b2=0,貝U a=b=0;已知a

13、、b、c是三個非零向量，若 a+ b= 0, 則 |a - c|=|b - c|;在 ABC 中，a=5, b=8, c=7，則 BC 0A =20 ;a與b是共線向量 仁a - b=|a|b|.其中真命題的序號是 .(請把你認(rèn)為是真命題的序號都填上)解析： a2+b2=0,a|=- |b|.又|a|0, b|0,|a|=|b|=0. . a=b= 0.，正確. TOC o 1-5 h z a+ b=0,a= b,|a-c|=|a|c|cosa, c |,|bc|=|b| 1011cos b,c|=|a|c11cos a,c|=a|c|cos (兀一a, c) |=|a|c|cosa, c|.

14、，正確.2. 22a b -c 25 64 -49 1 cosC=2ab2 5 82BC CA=| BC |CA |cos （兀一C） =5X8X （ - ） = 20；.不正確.2a 與 b是共線向量 ua=Xb（bw0）仁 a b=入 b2,而 |a|b|=| 入 b|b|=| 入 |b|2.，不正確.答案：.已知|a |=亞，|b|=3, a和b的夾角為45 ,求當(dāng)向量 a+入b與入a+b的夾角為銳角時, 入的取值范圍.解：a+入b與入a+ b的夾角為銳角，即（a+ 入 b） （入 a+ b） 0,也就是入a2+ （入2+1） a b+入b20,即2 入+ （入 2+1）. .2 . 3

15、 , +9 入 0,解得入v一11“函或入 一W+J85666.如下圖，以原點和 A （5, 2）為兩個頂點作等腰直角4OAB,使/ B=90求點B和向量AB的坐標(biāo).分析：這里關(guān)鍵是求出 B點的坐標(biāo)，設(shè) B （x, y）,由OB，AB和|OB |二|AB|,則可列出x、y的方程組.解：設(shè)B點坐標(biāo)為（x, y）,則 OB = (x, y), AB = (x5, y2)OB AB , x （x5） +y （y 2） =0,即 x2+y25x 2y=0.又|OB |=| AB|,x2+y2= （x-5） 2+ （y-2） 2, 即 10 x+4y=29.解得“I，7 TOC o 1-5 h z r7

16、x1 =,2或3yi =2B 點坐標(biāo)為（7, 3）或（3, 7）.2222故 AB=（- 3,工）或 AB=（7,-2222培養(yǎng)能力7. （2004年浙江,14）（理）已知平面上三點A、B、C 滿足 |AB|=3, |BC|=4, |CA|=5,則 AB BC + BC - CA + CA - AB 的值等于 .解析： |AB|2+|BC|2=|CA|2,.ABC為直角三角形，其中/ B=90 .k.*.+J,AB BC + BC . CA + CA . AB =0+| BC |CA |cos （兀一/ C） +| CA | AB |cos （兀一/A） =25.答案：25（文）已知平面上三點

17、 A、B、C 滿足| AB |=2 , | BC |=1 , | CA |= 73 ,則F- -FAB - BC + BC - CA+CA - AB 的值等于 .解析： |BC|2+|CA|2=|AB|2,.ABC為直角三角形且/ C=90 .AB BC + BC CA + CA AB =| AB | BC |cos （兀一/ B） +0+| CA| AB |cos （兀一/ A）答案：48.已知 Fi (1, 0) , F2 (1, 0) , A ( 1 , 0),動點 P 滿足 3pf； PA + PF； PA =0.2(1)求動點P的軌跡方程.(2)是否存在點P,使PA成為/ F1PF2

18、的平分線？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在， 請說明理由.1斛：(1)設(shè) P (x, V),貝u PF1 = ( 1-x, y), PF2 =(1 X, y) , PA = ( 一 x, 2y). TOC o 1-5 h z 12122 PF1 PA= (1x) ( - - x) + (y) 2= (x+1) (x)2+y2,22PF2 PA= (1x) ( 1 -x) + ( y) 2= (x1) (x- 1) +y2.221, 3 (x+1) (x- - ) +y2 + (x1) (x- 1) +y2=022 .xZ+yJ1即為P點的軌跡方程.4(2)設(shè)存在，貝U cos/ FPA=cos/

19、APF2.H 11-*.PF1 PA PF2 PA一F I L .|PF111PA| |PF2 11PA|將條件3pf1 - PA=- PF2 - PA代入上式不成立.，不存在.探究創(chuàng)新9.已知平面向量 a = ( J3 , 1), b= ( 1,),22(1)證明：ab;(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+ (t2 3) b, y= ka+tb,且xy,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(3)據(jù)(2)的結(jié)論，確定函數(shù) k=f (t)的單調(diào)區(qū)間.(1)證明：a-b=V3X-+ (-1)x 3Y =0.(2)解：xy,x y=0,且 a b=0, a2=4, b2=1,整理得一4k+t (f

20、-3) =0,k= L t( t2 3).4(3)解：記 f (t) =1 (t33t),f (t) =3t20.令 f (t) 0 得 tv1 或 t1.因444此，當(dāng)te(巴 i)時，f (t)是增函數(shù)；當(dāng)te(1, +8)時，f 也是增函數(shù).再令(t) v 0,得i vtv 1,故 te(1, i)時，f (t)是減函數(shù).思悟小結(jié).平面向量的數(shù)量積及其幾何意義是本節(jié)的重點，用數(shù)量積處理向量垂直問題，向量的長 度、角度問題是難點.向量的數(shù)量積是向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算， 結(jié)果卻是一個數(shù)量， TOC o 1-5 h z 所以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示是純數(shù)量的坐標(biāo)表示.向量a與b的夾角：(1)當(dāng)a與b平移成有公共起點時兩向量所成的角才是夾角；(2)a bx1 x2 y1 V20 = ,=:|a |b|22221 11 1X1y1X2y2教師下載中心教學(xué)點睛.本課時復(fù)習(xí)的重點是：平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，掌握向量垂直的條件，了解用 平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂