高考數(shù)學必看之-知識點總結(jié)排列組合二項定理

1、高中數(shù)學第十章-排列組合二項定理考試內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.排列.排列數(shù)公式.組合.組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個性質(zhì).二項式定理.二項展開式的性質(zhì).考試要求：(1)掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用 問題.(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題.(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一 些簡單的應用問題.(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.10.排列組合二項定理知識要點一、兩個原理.乘法原理、加法原理.可以有重復元素的排列.從m個不同元素中，每次取出n

2、個元素，元素可以重復出現(xiàn)，按照一定的順序排 成一排，那么第一、第二第 n位上選取元素的方法都是 m個，所以從m個不 同元素中，每次取出n個元素可重復排列數(shù) mmm = mn.例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？(解：mn種)二、排列.對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取 m(mc n)個元素，按照一定順序 排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也 必須完全相同.排列數(shù).從n個不同元素中取出n(mcn)個元素排成一列，稱為從 n個不同元素中取出 m個元素的一個排列.從n

3、個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號 a：表示.排列數(shù)公式：Am =n(n -1)(n -m 1) = (m _n, n, m - N)(n -m)!注意：n n! =(n+1)! n! 規(guī)定 0! = 1AnA；+AmCmj小m、Am： A =nAm：規(guī)定 C04n=1.含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集 S有k個不同元素ai, a2,.a . 其中限重復數(shù)為ni、n2nk,且n = n i+rb+n k,則S的排列個數(shù)等于n! n =.n1!n2!.nk!例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個數(shù)n=( +2)! =3又例如:數(shù)字5、5、5、求其 1!2!

4、排列個數(shù)？其排列個數(shù)n3.1. 一 3! 一三、組合.1.組合：從n個不同的元素中任取n(mcn)個元素并成一組，叫做從n個不同 元素中取出m個元素的一個組合.組合數(shù)公式：Cm W = n(n -1)(n -m1)c；=一nAmm!m! (n - m)!兩個公式：cm=cnr；c叫+cm=cnm從n個不同元素中取出 m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中 取出n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從 n個不同元素中 取出n-m個元素的唯一的一個組合.(或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球具不同選法，分二類,一類是含紅球選法有 cm?c1K

5、m：一類是不含紅球的選法有c；)根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定 n+1個不同元素中取m個元素方法時，對 于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的 n個元素中再取m-1個元素，所以有cmt,如果不取這一元素，則需從剩余 n個元素中取出m個元素，所以共有cm種，依分類原理有cm + cm=cnm.排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順 序關(guān)系.幾個常用組合數(shù)公式C012 _ . n _ q n= 2nnc nc n n 2 TOC o 1-5 h z c0c2c4=c 1c3c

6、5c nc nc nc nc nc nCm, m . m.m m_ m1ncm 1 cm2cm -n- cm n1kcn= nck 1n-1常用的證明組合等式方法例，裂項求和法.如：/行力(n - 1)!(n-1)! n!ii.導數(shù)法.iii.數(shù)學歸納法.iv. 倒序求和法.遞推法(即用CMS遞推)如：C3+c4+c#,-cn=Cn；.構(gòu)造二項式.如：912+。：)2+一 +(Cn)242n證明：這里構(gòu)造二項式(x+1)n(1+x)n=(1+x)2n其中xn的系數(shù)，左邊為0 n 1 n 12n-2 . .n 021 2n2 TTn-*4+r -CnCn+CnC n+Cn C n + 乜。= (

7、5)十(Cn)十 十(Cn),由右邊 1C2n四、排列、組合綜合.1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法.排除法.捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體 排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某m(mWn)個元素必相鄰的排列有An喂t Am個.其中 An _md1 是一個“整體排列”，而Am則是“局部排列”.又例如有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為 a2-aJa)有n件不同商品，若其中A B排在一起有a笠A2.有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有 A2 A：

8、大注：區(qū)別在于是確定的座位，有A2種；而的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔 中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？ A：寸An：(插空法)，當n - m+ m,即。!時有意義.占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其 他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排 其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調(diào)序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有An

9、種，m(mYn)個元素的全排列有Am種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排n 成一列，其中m個兀素次序一定，共有勺種排列萬法.Am例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？n n nkn C (k_1)n C nAk解法一：（逐步插空法）（m+1 （m+2 - n = n! / m；解法二：（比例分配法）A；/Am.平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有C例如：從1, 2, 3, 4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有C4 =3 （平 2!均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例

10、如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？ 82C18C2 （P =10-） c20/2!注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有 A：=An/Am,當n - m+1 m,即叱時有 2意義.隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題例如：xi+x2以3枚4=12的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組. 每一種方法所得球的數(shù)目依次為x1,x2,x3,x4顯然x1+x2+x3+x4=12 ,故（x1,x2,x3,x4）是方程的一組解.反之

11、，方程的任何一組解（y1,y2,y3，Y4）,對應著惟一的一種在12不建演成x廟板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應.即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)C13.注意：若為非負數(shù)解的x個數(shù)，即用a1,a2,.an中a1x1 +x2 +. +xn =A= ai -1 +a2 -1 +.an -1 =A ,進而轉(zhuǎn)化為求 a的正整數(shù)解的個數(shù)為n 1CA -n .定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都r k -r包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有ArAnT.例如：從n個不同元素中，每次取出 m個元素的排列，其中某個元素必須固定在 （或不固定在）某一位置上，

12、共有多少種排法？固定在某一位置上：A：;不在某一位置上：A：-A：或At+AmJ.A；（一類是不取出特殊元素a,有An1, 一類是取特殊元素a,有從m-1個位置取一個位置, 然后再從n-1個元素中取m-1,這與用插空法解決是一樣的）指定元素排列組合問題.i.從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元 素都包含在內(nèi)。先c后a策略，排列C；CkjAk；組合C；Cniii.從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素 都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列Cnk；組合C.iii從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或 組合）都

13、只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列CjCeAk；組AC sC k_s 口 7 r 7 n -r .II.排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略；合理分類與準確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略；“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略.2.組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù) 相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為a/a；（其中A為非均勻

14、不編號分組中分法數(shù)）.如果再有k組均勻分組應再除以Ak.例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為C112c4c：/a2 = 1575.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為C101C91C2C（2c42c2/A2 A4 非均勻編號分組：n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的 順序，其分法種數(shù)為a Am例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為 2、3、5,去參加不同的勞動，其安排方法 為：c112c3c5 A3種.若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4,參加不同的勞動，則安排方法有C12C兔5 A3種均勻編號分組：n個不同元素分成m組

15、，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的 順序，其分法種數(shù)為 a/a； Am.例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動，分法種數(shù)為244C 10C8c 4a3非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的 m組，每組元素數(shù)目均不相 同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A=Cm1 Cm2. CmkA C n Cn-m1 Cn-(m1m2 -. -mk.1)例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為Ci2c3c5=2520若從10 人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為c101cs2c7=12600.五、二項式定理.1.二項式定理：（

16、a+b）n0anb4Cn1an,b*-4cnanbr+一比門的.展開式具有以下特點：項數(shù)：共有n+1項；0）0T07CC1 c2crcn.C Cn,C n,C n,Cn,C n； 每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的開幕排列展 開.二項展開式的通項.（a+b）n 展開式中的第 r+1 項為：Tr 419 nanbr（0Wr En,rWZ）.二項式系數(shù)的性質(zhì).在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；二項展開式的中間項二項式系數(shù) 最大.n.當n是偶數(shù)時，中間項是第1+1項，它的二項式系數(shù)cl,最大；.當n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第立!項和第 9+1項，它們的二項式系數(shù)22n -1 n 1C 2n=C 2n 最大.系數(shù)和：c0忙n+忙n=2ncKind+.yng+.wn附：一般來說（ax+by）n（a, b為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項或最小的項 時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當a 1或b1時，一般采用解不等式組AkjAE或,Ak*書（Ak為Tk書 6k 之AyAk注意：i. 一般地，如果事件 A與B相互獨立，那么A與與B, A與B