高考數(shù)學(xué)專題突破數(shù)形結(jié)合思想

1、高考數(shù)學(xué)專題突破：數(shù)形結(jié)合思想一.知識探究：數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法歷年來一直是高考考察的重點(diǎn)之一。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問 題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀 的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索， 促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，

2、 通過對規(guī)范圖形或示 意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。.數(shù)形結(jié)合的途徑（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、 復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂茫梢源蟠罂s短代數(shù)推理）實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念， 如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。2

3、如等式（x-2） （y -1） =4（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義， 據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化 .例如，將a 0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2 2目b cos0 （0 = 60域日=120。）與 余弦定理溝通，將abc 0且b+ca中的a、b、c與三角形的三邊溝通， 將有序?qū)崝?shù)對（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分

4、地發(fā)揮作用。2.數(shù)形結(jié)合的原則（1）等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺 顯的說明，但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。（2）雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時，既要進(jìn)行幾何直觀的分析， 又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索， 兩方面相輔相成， 僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析（或僅對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候, 若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。(3)簡單性原則就是找到解題思路之

5、后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式一一代數(shù)問題運(yùn)用 幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。二.命題趨勢縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合是每年高考必考的內(nèi)容，預(yù)測2008年對本專題的考察為：選擇題可采用的簡易解法，還有函數(shù)問題對應(yīng)圖形性質(zhì)等，尤其關(guān)注三個“二次”的互相轉(zhuǎn)化。三.例題點(diǎn)評題型1:利用數(shù)軸、韋恩圖解決集合與函數(shù)問題 TOC o 1-5 h z 例1.( 1)(2007年湖南理3)設(shè)M, N是兩個集合，

6、則“ M U N #0 ”是“ M。N #0 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件( 1999全國，1)如圖所示，I是全集，M P、S是I的3個子集，則陰影部分所 表示的集合是()A.(MT P)n SB.(MT P)U SC.(MT P)niSD.(MT P)UiS解析：(1 ) B ；由韋恩圖知M UN 0 v M n N #0 ;反之， M n N 二= M U N :一.(2) C;由圖知陰影部分表示的集合是Mn P的子集且是CiS的子集，故答案為C。點(diǎn)評：本題主要利用數(shù)軸、韋恩圖考查集合的概念和集合的關(guān)系。例2. (1) (06重慶卷)如

7、圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是()(2)(06 浙江卷)對 a,b w R,記 max|a,b |二，a,a 之 b _.函數(shù) f (x) = max|x+1|,|x 2|( x R)、b,a(x -2 2x+1 故f x =x-2則 fmin x . f點(diǎn)評：數(shù)學(xué)中考查創(chuàng)新思維，要求必須要有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查新定義函數(shù)的理解、解絕對值 不等式，中檔題，借形言數(shù)。題型2:解決方程、不等式問題例3.若方程lg(x2 +3x m)= lg(3 x滄x = (0, 3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2解析：(1)原萬程

8、可化為 (x2) +1 = m(0 x3)、一一 2 一一設(shè)丫1=-(乂-2) +1(0 x0, y之0）與圓?。▁1） +（y 1） =4（x0, y之0）相切時，截距 t取最大值tmax =2 +2J2 （如圖3中CD立置）；當(dāng)線段端點(diǎn)是圓弧端點(diǎn)時，t取最小值=訪=1 + J3（如圖中AB位置）。因此log a（UV）的最大值是2+2J5,最小值是1+J3。點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合的思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的一個基本方法。深刻理解這一觀點(diǎn)，有 利于提高我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。題型3:解決三角函數(shù)、平面向量問題例5. （1） （07年北京理13） 2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，

9、會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為 1 ,大正方形的面積為 25,直角三角形中較小的銳 角為6 ,那么cos2g的值等于。尸、 7（2） （2007年陜西15）如圖，平面內(nèi)有三個向量 OA、OB、OC ,其中OA與OB的夾角為 120 , OA與 OC 的夾角為 30，且| OA| = | OB | = 1 , | OC | =2V3 ,若OC =入OA +科OB （入，科C R），則入+科的值 口 A為。解析：（1）工；注意圖形是正方體，充分利用全等及直角三角形的性質(zhì)處理問題;25（2） 6;

10、解析：（OC ） 2=（入 OA+科 OB ） 2=入 2OA+科 2OB+2 入科 OA OB =12;注意OA與OC的夾角為30。，oa與OB的夾角為120。，結(jié)合圖形容易得到 OB與OC的夾角 為90。，得科=0;這樣就得到答案。點(diǎn)評：綜合近幾年的高考命題，平面向量單純只靠運(yùn)算解題是不夠的，需要結(jié)合幾何特征。例6. （2007山東20）如圖，甲船以每小時 30 J2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于 A處時，乙船位于甲船的北偏西 105的方向81處，此時兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá) %處時，乙船航行到甲船的北偏西120 cl方向的 3處,此時兩船

11、相距10衣海里，問乙船每小時航行多少海里 ？解：如圖，連結(jié) A1B2 ,A2B2 =1072 ,AA2 -20 30.2 10.2 , 60A1A2B2 是等邊三角形， NB1AlB2 =105 J60J45)在 gBzB中，由余弦定理得222_ ， _ ，一一B E2 A| B1A B2 - 2 A B1 , A B2 cos45= 202 (10 2)2 -2 20 10 .2 a=2002昌邑-10 -2.因此乙船的速度的大小為 答：乙船每小時航行 30、.2海里。點(diǎn)評：三角形經(jīng)常和正余弦定理結(jié)合到一塊，利用平面圖形的幾何意義以及具有幾何性質(zhì)的處理實(shí)際問題，注意對解的存在性的討論。題型4

12、:解析幾何問題x -1,，例7. (1) (06湖南卷)已知x y+1 W0,貝u x2+y2的最小值是 ；2x-y-20(2) (06全國II )過點(diǎn)(1, g 的直線l將圓(x 2)2+y2=4分成兩段弧，當(dāng)劣弧 所對的圓心角最小時，直線l的斜率k =。x 1解析：(1)由乂丫+10 ，畫出可行域，得交點(diǎn) A(1 , 2), B(3, 4),則x2十y2 2x- y-2 b0) a b的右焦點(diǎn)為F(g0),過點(diǎn)F的一動直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程；(2)若在 Q 的方程中，令 a2 =1 +cos3 +sin3 , b2 =

13、sin10 0 b0)上的點(diǎn) A (xi, y。、B(X2, y2), a2b2又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P (x, y),則,2 2 2 22. 2b x1 a y= a b2 2,2 22 2b x2 a y2= a b1 口當(dāng)AB不垂直x軸時，Xi#X2,由(1) ( 2)得 b2 (xi x2)2x+a2 (y1 y2)2y = 0,.y-y2_ . x-x2b2xya2yxc?. b2x2+a2y2-b2cx= 0 (3),2喈AB垂直于x軸時，點(diǎn)P即為點(diǎn)F,滿足方程(3),故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2+ a2y2 b2cx = 0,(2)因?yàn)檐壽EH的方程可化為:2 y b2 TOC o 1

14、-5 h z .M( c , bc) , N ( - , - bc ) , F (c, 0),使 MNF為一個正三角形時, 2 2a2 2abcb22則 tan - = -2a-=,即 a = 3b ,由于 a = 1 + cos +sin 日68ab2 =sin 0 10 0 0)的第一項(xiàng)xn = 1,以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在(xn由，f (xnQ)處的切線與經(jīng)過(0, 0)和(x n ,f(x n)兩點(diǎn)的直線平行(如圖)求證：當(dāng)n = N時,(I )x 2+xn =3x；書 +2xn+; (n) d)”2證明：(I)因?yàn)閒(x) =3x2+2x,所以曲線y = f (x)

15、在(xn由，f (xn由)處的切線斜率2-kn 1 - 3xn 12xn 1 .* xn ,所以 Xn + Xn = 3xn 書 2 Xn 書.因?yàn)檫^(0,0)和(4, f(xn)兩點(diǎn)的直線斜率是(II )因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=x2+x當(dāng)xA0時單調(diào)遞增,-24222-而 xn x xn =3Xn 甲 +2xn 4 W4Xn42xn -1 =(2xn 平)2 2Xn_1 ,所以Xn E 2Xn卅，即之1 ,因此Xn2xnxnXn 二Xn J Xn/又因?yàn)?X2 +4 之 2(X： + Xn+),令 Yn = X： + Xn,則加 -.Yn211因?yàn)?Yi =Xi2 +Xi =2，所以 Yn (-)

16、nJ1 71 =(-)n HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 22因此 Xn MX； +% M(n：故(nMXn (-)n.222點(diǎn)評：切線方程的斜率與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對應(yīng)，建立了幾何圖形與函數(shù)值的對應(yīng)。 題型6:平面幾何問題例11.已知AABC三頂點(diǎn)是 A(4,1), B(7,5), C(-4,7),求/A的平分線 AD的長。解析：第一步，簡單數(shù)形結(jié)合，在直角坐標(biāo)系下，描出已知點(diǎn) A, B,C ,畫出AABC的邊及其/ A的平分線AD o (如圖)第二步，觀察圖形，挖掘圖形的特性(一般性或特殊性)，通過數(shù)量關(guān)系證明(肯定 或否定)觀察、挖掘出來的特性

17、。特性有：(1) AB_AC;(2) /BAD=/CAD=45；(3) CD=2DB， (4) /ABC=2/ACB=60口等等。證明: A(4,1), B(7,5), C(7) . . AB =(3,4), AC =(-8,6) , AB =5, AC =10T T AB AC = 3 8 4 6 = 0AB_AC， AD是NA的平分線;CD AC(2) /BAD =NCAD =45： =： DB AB10=25平分線定理)；. . (3) CD =2DB, tan/ABC =tan/60=T3=2,.(4)/ABC =22ACB =60 口不正確，第三步，充分利用圖形的屬性，創(chuàng)造性地數(shù)形結(jié)

18、合，完成解題。過點(diǎn)D 作 DE _L AB ,交AB于點(diǎn)E ,則有ABDE s ABCA或DE =1 AC =10等等。又在10RtAADE 中，(可以口答出) ad| =J2|de =10，2。點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)是作圖要基本準(zhǔn)確，切忌隨手作圖！數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是挖掘圖形的幾何屬性，切忌只重數(shù)量關(guān)系忽視位置關(guān)系！如果把本題的圖形隨手作成如下一般平面圖 形，則失去了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，很難挖掘出圖形的幾何屬性，是很失敗的。例 12, 已 知A= (x,y )| x| 1,| y| 1 , B= (x,y )|( x-a)+(y - a)wi, aeR，若An bw 。， 則a的取值范圍解析：如圖，集合 a所表示的點(diǎn)為正方形PQRS勺內(nèi)部及其邊界，