常州大學數(shù)值分析07-08試卷B及參考答案

1、0 江蘇工業(yè)學院20072008學年第2學期碩士生考試試題解答一、(10分)舉例說明如何在數(shù)值計算過程中防止相近數(shù)相減及避免“大數(shù)吃小數(shù)”答：1)防止相近數(shù)相減舉例：當x充分大時，即x1時，計算.X+1、】x會出現(xiàn)相近數(shù)相減，可以用下述數(shù)學上等價的表達式1x+1+：X來計算，以避免相近數(shù)相減。5分2)避免“大數(shù)吃小數(shù)”舉例：設(shè)8,i=1:1000,為區(qū)間0,0.5上的隨機數(shù)，在字長為5的計算機上計算iS=12345+8+8+8121000時，如果采用上述給定的順序計算S，則會出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象；要避免大數(shù)吃小數(shù)，這里可以采用表達式：S=8+8+8+12345規(guī)定的順序來計算即可。212100

2、05分注：學生的舉例只要符合要求均可以算對。二、(15分)(1)敘述Newton插值方法的方法思想；設(shè)f=0,f=1,f=3,f=5,試求f(x)的三次Newton插值多項式;(3)利用上述插值公式近似計算f(2.3).解：(1)牛頓插值方法是通過構(gòu)造如下形式的多項式N(x)=a+a(xx)+a(xx)(xx)+a(xx)(xx)010201n,n通過Newton差商公式得到，且僅與xx0,1,0n1,x有關(guān)，由此可以保n其中a,i=0,1,2,i證在增加節(jié)點時，原先的計算量能夠被充分利用。(2)根據(jù)列表函數(shù)可得差商表如下：00001.00001.0000003.00002.00000.500

3、005.00002.00000-0.1667f(x)的三次Newton插值多項式為：N(x)=(x1)+0.5(x1)(x2)0.1667(x1)(x2)(x3)3(3)f(2.3)沁N(2.3)沁1.54053三、(15分)簡要敘述求非線性方程f(x)=0根的迭代法的方法思想。選用適當?shù)牡椒ㄇ蠓匠蘹32x2x1=0在x=2.5附近的一個根，精度為103。解：(1)求非線性方程f(x)=0根的迭代法的方法思想將方程f(x)=0改寫成x=屮(x) 由給定的初始近似解x0，給出如下迭代公式如果上述迭代序列X收斂,k則X*為方程f(X)二0的根。x=申(x)，k0,1,2,k+1k即limXX*

4、kkT87分(2)將方程x3-2x2-x-10改寫成X31+X+2X2由此可得到相應的迭代公式x31+x+2x2。k+1k由于上述迭代公式的迭代函數(shù)在x2.5處的導數(shù)的絕對值小于1，因此上述迭代公式在0 x2.5附近具有局部收斂性。04分通過上述迭代可以得到上述方程根的數(shù)值近似計算結(jié)果如下：k012345xk2.50002.51982.53132.53792.54172.54394分四、(10分)敘述確定二次函數(shù)yax2+bx+c擬合下述列表函數(shù)的步驟xx0 x1xnf(x)f(x)0f(x)1f(x)n解：第一步，構(gòu)造函數(shù)屮(a,b,c)=(ax2+bx+c-f(x)2iiii05分第二步，

5、令000上述方程是關(guān)于所求參數(shù)a,b,c的線性方程組。第三步，解上述方程組可得所求參數(shù)a,b,c，由此可得到用二次函數(shù)擬合上述列表函數(shù)的最小二乘解。5分五、(15分)敘述復化Simpson積分公式S計算Jbf(x)dx的方法思想，并用復化Simpsonn公式S計算積分n其中n3。fmI=J2cosx3dx解：方法思想：由截斷誤差可知當區(qū)間長度ba較大時，梯形求積公式的誤差較大.為此,利用積分關(guān)于區(qū)間具有可加性，將a,b區(qū)間上的積分，分成若干小區(qū)間上的積分，以此來減少積分區(qū)間長度引起的誤差.這就引入了復合求積公式.具體如下：設(shè)分點xa+ih，h(ba)/n將區(qū)間a,b分成n等分，則iJbf(x)

6、dx工Jxf(x)dx將每個小區(qū)間上的積分都用Simpson公式給出,i1i-1則得計算定積分的復化Simpson公式如下:Jbf(x)dxa工6f(叮+4f(xii1)+f(x)Sin7分利用上述公式，取n3時，可得如下計算結(jié)果：s=0.70238分六、(15分)說明求解微分方程初值問題的Runge-kutta方法的方法思想，并選用適當?shù)姆椒ń馕⒎址匠坛踔祮栴}Jy-3x-ysinx,0 x0.4!y(0)-1的數(shù)值解，取步長h0.2.解：對于方程Jyf(x，y)，xxx0ny(x)y00龍格-庫塔(RungeKutta)方法利用微分中值：y(x)-y(x)y(g)(x-x)f(g,y(g)(

7、x-x)i+1ii+1ii+1i其中g(shù)e(x,x).由于g未知，從而f(g,y(g)未知，故我們不能直接應用上述公式解微ii+1分方程.在實際計算時，我們只好尋找f(g,y(g)的適當近似，并由此得到相應的算法.例如:若用f(x,y(x)近似f(g,y(g)就可以得到Euler公式；更一般地，我們可以考慮用區(qū)ii間x,x上某幾個點處f(x,y(x)的值的加權(quán)平均作為f(g,y(g)的近似，并滿足一定ii+1誤差要求，由此給出相應的公式：這就是Runge-Kutta(龍格-庫塔)算法的思想.7分上述方程利用Runge-lutta方法計算得到的數(shù)值解為：x=0.2時，k1=0.0000k2=0.2

8、002k3=0.1982k4=0.3935y(1)=1.0397x=0.4時，k1=0.3934k2=0.5811k3=0.5756k4=0.7503y(2)=1.1549即x=00.20000.4000y=1.00001.03971.15498分注：允許用其他方法，例如Euler方法，求解微分方程的數(shù)值解.七、(10分)用LU分解法求解方程組：則有L=100-110-211U=2-110-1100-3解方程組Ly二b可得y=53-6解方程組Ux二y可得原方程組的解x=1-125分5分八、(10分)1)寫出求解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代格式的分量形式，其中A=(a)eRnxn，bgR

9、n；ij2)編寫求解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代格式的Matlab程序，要求該程序能根據(jù)方程的系數(shù)矩陣A、右端項b、初始近似解x、精度delta及最大許可迭代次數(shù)maxi輸0出在許可迭代次數(shù)內(nèi)由Jacobi迭代得到的滿足精度要求的近似解及達到精度要求需要的最少迭代次數(shù)或輸出在許可的迭代次數(shù)內(nèi)Jacobi迭代沒有得到滿足精度要求的近似解的提示信息。解：1)Jacobi迭代格式的分量形式為：xk+i=(b一藝axk一工axk)/a，i=1,2,n，iiijjijjiiTOC o 1-5 h zjTj=i+1其中a豐0，i1,2,n。ii4分2)滿足上述要求的Matlab程序如下：funct

10、ionx,iternum=jacobi(A,b,x0,delta,max1)%Input-Aisannbynnonsingularmatrix%-bisannby1matrix%-x0isannby1matrix;theinitialguess%-deltaistoleranceforX%-max1isthemaximumnumberofiterations%Output-Xisannby1matrix;thejacobiapproximationtothesolutionofAX=B%Examiningtheinputsifnargin2error(moreaugmentsareneeded

11、);break;endifnargin3x0=zeros(size(b);endifnargin4delta=1e-13;endifnargin5error(Incorrectnumberofinputs);break;endn=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0;fork=1:max1iternum=iternum+1;forj=1:nifabs(A(j,j)(delta+eps)error(A(j,j)equaltozero,dividedbyzero);endx(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:n)*x0(1:j-1,j+1:n)/A(j,j);enderr=norm(x-x0);relerr=err/(n