廣東省揭陽市第一中學(xué)2022學(xué)年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

1、2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，則等于( )ABCD2某校在高一年級進(jìn)行了數(shù)學(xué)競賽（總分100分），下表為高一一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績：55575961686462598088989560738874867

2、7799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績，運行相應(yīng)的程序，輸出，的值，則（ ）A6B8C10D123在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有( )A60種B70種C75種D150種4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）ABCD5已知雙曲線：，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為( )ABCD6在正項等比數(shù)列an中，a5-a1=15，a4-a2 =6，則a3

3、=（ ）A2B4CD87已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標(biāo)原點若,則直線與的斜率之積為（ ）ABCD8已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（ ）A1BCD9某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（ ）AB6CD10已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍是( )ABCD11已知集合，則集合真子集的個數(shù)為（ ）A3B4C7D812執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角平面角的大小為

4、時，k的值為_.14在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD15已知為正實數(shù)，且，則的最小值為_.16若變量x，y滿足：，且滿足，則參數(shù)t的取值范圍為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示組別頻數(shù) （1）已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查

5、的市民制定如下獎勵方案.（）得分不低于的可以獲贈次隨機(jī)話費，得分低于的可以獲贈次隨機(jī)話費；（）每次贈送的隨機(jī)話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機(jī)話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學(xué)期望附：，若，則，.18（12分）設(shè)，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù).若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.19（12分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.20（12分

6、）已知函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求，；（2）當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍.21（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表：衛(wèi)生習(xí)慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況

7、類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數(shù)380550330410400430習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習(xí)慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習(xí)慣良好者（）.寫出方差，的大小關(guān)系.22（10分）在平面直角

8、坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點，且，點的坐標(biāo)為，求的面積.2022學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】解不等式確定集合，然后由補集、并集定義求解【題目詳解】由題意或，故選：B.【答案點睛】本題考查集合的綜合運算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型2、D【答案解析】根據(jù)程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進(jìn)而求

9、得的值.【題目詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數(shù)，的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù)，故，所以.故選：D【答案點睛】本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.3、C【答案解析】根據(jù)題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計數(shù)原理計算可得答案【題目詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C【答案點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題4、D【答案解析】循環(huán)依次為 直至結(jié)束

10、循環(huán)，輸出，選D.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.5、D【答案解析】由|AF2|3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程xmy+，m0，設(shè)，即y13y2，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2-，y1y2，求出m的值即可求出直線的斜率.【題目詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，則F2（，0），設(shè)直線l的方程xmy+，m0，雙曲線的漸近線方程為x2y，m2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y10，由|A

11、F2|3|BF2|，y13y2由，得（2m）24（m24）0，即m2+40恒成立，y1+y2，y1y2，聯(lián)立得，聯(lián)立得，即：，解得：，直線的斜率為，故選D【答案點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題6、B【答案解析】根據(jù)題意得到，解得答案.【題目詳解】，解得或（舍去）.故.故選：.【答案點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.7、A【答案解析】設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x21再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案【題目詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x21y，得，則y，由，可得，即x

12、1x21又，故選：A點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點，先設(shè)A,B,再求切線PA,PB方程，求點P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點P的坐標(biāo)，計算量就大一些.8、D【答案解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項.9、D【答案解析】根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【題目詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D

13、【答案點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.10、B【答案解析】構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B【答案點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.11、C【答案解析】解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個可得答案.【題目詳解】解：由，得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C【答案點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用，含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個，屬于基礎(chǔ)

14、題.12、C【答案解析】由程序語言依次計算，直到時輸出即可【題目詳解】程序的運行過程為當(dāng)n=2時，時，此時輸出.故選：C【答案點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，可得，由此可得，則由可求k值.【題目詳解】解：如圖，設(shè)二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，則，動點Q的軌跡是拋物線，即則.二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：

15、.【答案點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.14、C【答案解析】根據(jù)確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計算得到答案.【題目詳解】由題意可得.因為，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.【答案點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.15、【答案解析】，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【題目詳解】由已知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：【答案點睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.16、【答案解析】根據(jù)變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過

16、定點，直線繞定點旋轉(zhuǎn)與可行域有交點即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.【題目詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點，當(dāng)時，滿足條件，當(dāng)時，直線得斜率應(yīng)該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【答案點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【答案解析】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式計算出平均數(shù)的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為，利用題中所給

17、數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率；（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為，再結(jié)合得元、元的概率，分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）由題意可得，易知，；（2）根據(jù)題意，可得出隨機(jī)變量的可能取值有、元，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【答案點睛】本題考查概率的計算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題時要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計算對應(yīng)事件的概率，考查計算能力，屬

18、于中等題.18、（1）函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；證明見解析；（2）且；【答案解析】（1）令，結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可；設(shè)切點橫坐標(biāo)為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，令，則，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；證明：假設(shè)存在，使得直線是曲線的切線，切點橫坐標(biāo)為，且，則切線在點切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又函數(shù)在時，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，令，

19、則，當(dāng)時，遞減，故當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時，則在遞減，在，遞增，當(dāng)時，故在遞減，可得當(dāng)時，當(dāng)時，易證，令，令，故，則，故在遞增，則，即時，故在，內(nèi)存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值由（1）知，故在遞減，在遞增，故時，遞增，不合題意；當(dāng)時，當(dāng)，時，遞減，當(dāng)時，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實數(shù)的范圍是且【答案點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題19、（1）見解析；（2）.【答案解析】（1）取的中點，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2

20、）以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值，進(jìn)而可求得其正弦值.【題目詳解】（1）取中點，連接、，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、中點，且，則四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面；（2）以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，因此，二面角的正弦值為.【答案點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）

21、【答案解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，運用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，討論和0的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【題目詳解】（1）由題得，因為在點與相切所以，（2）由得，令，只需，設(shè)（），當(dāng)時，在時為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，所以在時為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，且，所以在時有一個零點，在時，在時，當(dāng)即時，在小于零，所以在時為減函數(shù)，所以，符合題意；當(dāng)即時，在大于零，所以在時為增函數(shù)，所以，舍.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為【答案點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值，屬于中檔題處理函數(shù)單調(diào)性問題時，注意利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，特別是已知單調(diào)性問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零，或恒小于零，再分離參數(shù)求解，求函數(shù)最值時分析好單調(diào)性再求極值，從而求出函數(shù)最值21、（1）（2）（3）【答案解析】（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類