高考數(shù)學一輪復習二項式定理

1、高考一輪復習-二項式定理二、高考考點1、對二項式定理的掌握與應用：以二項展開式（或多項展開式）中某一項（或某一項 的系數(shù)）的問題為主打試題；2、對二項展開式的性質的掌握與應用：二項展開式中二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和；組合多項式的求和等問題。三、知識要點1、定義和+F +典哪。+” + T*冊*），這一公式表示的定理叫做二項式定理，其中（1）公式右邊的多項式叫做切*的二項展開式；上述二項展開式中各項的系數(shù)% （r=。工2,M叫做二項式系數(shù)，第r+1項叫做二項展開式的通項，用(2)叫做二項展開式的通項公式。2.認知（1）二項展開式的特點與功能（I ）二項展開式的特點項數(shù)：二項展開式共 n+1 （

2、二項式的指數(shù)+1）項；指數(shù)：二項展開式各項的第一字母a依次降哥（其哥指數(shù)等于相應二項式系數(shù)的下標與上標的差），第二字母 b依次升哥（其哥指數(shù)等于二項式系數(shù)的上標），并且每一項中兩 個字母的系數(shù)之和均等于二項式的指數(shù)n ；系數(shù)：各項的二項式系數(shù)下標等于二項式指數(shù)；上標等于該項的項數(shù)減去1 （或等于第二字母b的哥指數(shù)；（n）二項展開式的功能注意到二項展開式的各項均含有不同的組合數(shù)，若賦予a, b不同的取值，則二項式展開式演變成一個組合恒等式。因此，揭示二項式定理的恒等式為組合恒等式的母函數(shù)”，它是解決組合多項式問題的原始依據(jù)。又注意到在（口 +”的二項展開式中，若將各項中組合數(shù)以外的因子視為這一組

3、合數(shù)的系數(shù)，則易見展開式中各組合數(shù)的系數(shù)依次成等比數(shù)列。因此，解決組合數(shù)的系數(shù)依次成等比數(shù)列的求值或證明問題，二項式公式也是不可或缺的理論依據(jù)。（2）二項式系數(shù)的性質（I ）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等。（n）單調(diào)性：二項式系數(shù)（數(shù)列）在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間（項）取得最大值。其中，當 n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)C?最大;-1 n-kl當n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)C/ , 相等，且最大。（出）組合總數(shù)公式：. ：!即二項展開式中各項的二項式系數(shù)之和等于_（W） 分為二”的考察：二項展開式中各奇數(shù)項的二項式

4、系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即叫宵+c；穹咫y+ =2四、典型例題例1、已知二項式工 Vx展開式中，末三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列,求此展開式中所有的有理項。依題意得注意到這里”黃1 ,故得n=88 + r設第r+1項為有理項，則有x的哥指數(shù)4 為整數(shù),r=0, 4, 8,這里T，T5, T9為有理項,又由通項公式得:7 - 1 T = T =-所求二項展開式中的有理項分別為1 2569 , $ 8/ , “ 點評：二項展開式中關于某些項或某些項的系數(shù)問題，一般都要運用通項公式。為整式項;， x (訥相對常數(shù)，x為變量)，則當g(n,r)為自然數(shù)時】當g(n,r)為整數(shù)時+1為有理項。(

5、6512,試求:例2、已知 2Vx的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項；(3)系數(shù)最大的項。解：由題意得.；二 1n=10 丸.二項展開式的通項公式為n=10,，二項展開式共11項，二項展開式的中間一項即第六項的二項式系數(shù)最大所求二項式系數(shù)最大的項為 68(2)設第r+1項系數(shù)的絕對值 縊, 2 最大,則有(r Q10-r-r2解之得33 ,注意到YEN故得r=3.第4項系數(shù)的絕對值最大5.所求系數(shù)絕對值最大的項為京二YR(3)由通項公式的特征可知，系數(shù)最大的項應在項數(shù)為奇數(shù)的項內(nèi), 即在r取偶數(shù)的各項內(nèi)又r取偶數(shù)0, 2, 4, 6, 8,

6、 10時，相應的各項系數(shù)分別為4510510545J_即分別為1, 一，一一, 2?由此可知，系數(shù)最大的項為第即 一5項(r=4),點評：(1)解決二項式問題要注意區(qū)分兩種系數(shù)：一種是某一項的系數(shù)，按通常的多項式系數(shù)去理解、認定；一種是某項的二項式系數(shù)，僅指這一項中所含的那個組合數(shù)。二者在特殊情況下方為同一數(shù)值。展開式中系數(shù)絕對值最大的項,式中系數(shù)最大的項，必要時可適時轉化。(3)本題解法 題兩制”：對于(2),我們運用一般方法進行推導；對于(3),我們運用認知、列舉、比較的方法導出目標。當指數(shù)n數(shù)值較小時，（3）的解法頗為實用。例3、 已知a0, b0, 2m+n=0 ,用力H 0 ,且在

7、* +歷乎 的展開式中系數(shù)最大a的項是常數(shù)項，求 1 的取值范圍。T牛 _門，妹一*中）解：設二項展開式中 心 為常數(shù)項，4+1 - 儀 速一二，依題意令12加一（邢-月）二。則將已知式n = -2網(wǎng) 代入得12M = 3儲注意到這里 用H0 ,由得r=4展開式中系數(shù)最大的項是工；于是有淞418 a 90045 dr 865 4 4因此可知，所求b的取值范圍為1_54一例4、(1)求證：h1-I能被（用T），整除冊K欄3）；(2)C: + 2C； + 3C：+ +l)C：=5+2).2i證明:（1）為利用二項式定理，對 中的底數(shù)n變形為兩數(shù)之和（或差）。,n3，且mwN，二產(chǎn)】=1 + （用T

8、）：于是有1= 1+(葉1-1=1+%1)+-1) j堂口一 1嚴卜1=心/（”-1）+乙（方-1）,一+以二；,一1廣=（” i前+ %+1）+鑿配i）巧注意到n3，且代加，故 l + Ci + C；-iRT）十+M;（網(wǎng)-1）*wN* 因此由（派）式知鏟-i能被（用一始整除；（2）證法一（倒序相加法）：設， 2,注意到二項式系數(shù)的性質:將式右邊各項倒序排列:戶。cl fB-1s=(l) +雞+ 配1皮+ tC；+得 2s=（劉+ 2）m：+C：+C；+C；）二,二證法二（分項求和法）：注意到左邊各項的相同結構，且各項的通項:&OJZM）據(jù)此變形左邊各項得（知此y+嘮=d+物密右邊= +以+

9、 C1+有+ + 2C； + O= 二： =；， 二, I=（用+ 2）1 2=右邊，原等式成立點評：證明組合恒等式，除去利用二項公式這一組合的母函數(shù)外,上述兩種方法（特別是證法二）是基本證明方法。例5、設（4xT） =$口+4/+出工+。加工，求展開式中各二項式系數(shù)的和；展開式中各項系數(shù)的和；與+ R +伽9的值的+4+”加的值同+WI+%ool的值解：令. 一； I-1注意到這里n=200,故展開式中各二項式系數(shù)的和% + % + % + + 縊=2200展開式中各項系數(shù)的和注意到了。)=%+ % +。2 +電+ %的+。加0八一1)=的一%+出一的+一人的+%。. I , -：旬+ &

10、+ %+ -+ al99 = ；/(1)-/(-1)=-(3蒯-5嗎仿得一一一又一；”一電+ + 口刈=，（3加+ 5嗎-1解法一(直面原式)：-1 .:- L-J 1-一 二：二 1, .，.， 1又,一 ， _ .七，.：二二一 1： 1再由二項式的展開式知， ，二一匚一:-二.kl+hl+ +%ol=5)+ 出 + (-%) + 4 + +(-。)+。如廣 f(T)T = 5蒯-1點評：對于二項展開式中各奇數(shù)項系數(shù)的和或各偶數(shù)項系數(shù)的和或其它有關多項式中系數(shù)的和，一般可根據(jù)問題的具體情況，對未知數(shù)x賦予適當?shù)臄?shù)值，運用特取法求出和式的值。例6、化簡下列各式(1)卷+ 9緇+9乜9七；+

11、9&分析：注意到二項展開式中各項的特征：“泮 ，其中b的方哥與組合數(shù)上標相同。為利用二項式公式求解，依次對原式實施湊因子和湊項，即使各項中有關因子的方哥等于組合數(shù)上標，又使以原式為基礎湊出的式子符合二項展開式的特征。(1)令 x=則-：,-.3一郎3二；，二二七,一二匚= (1 + 3)2,即二-：二”故得一 :令工+蜉+小+配+9乜,二；/由：-.一得.一-1.二二，二=1(106-55).故得 即點評：對于組合數(shù)系數(shù)成等比數(shù)列的組合式求和，一般是在適當作以湊因子或湊項的構造之后，運用二項式公式本身化簡或求值。例7、試求下列二項展開式中指定項的系數(shù)：(1) 工的展開式中1項的系數(shù)；(2)。-

12、X)1-2了)。的展開式中/項的系數(shù)；(1+1)+0 +彳)+(1 +彳?+(1 + 1嚴的展開式中/項的系數(shù)；(/ +立+2)的展開式中x項的系數(shù)；(5)(i+2i-37y的展開式中一項的系數(shù);解：,)(/2尸(1)借助配方轉化”：原式工.原展開式中工4項的系數(shù)，即（7 - 2）”展開式中工】4項的系數(shù)又.一展開式的通項公式為 &=耳靖叫號令 2Q0-r） = 14 得r=3.d展開式中=d-2T=-960/所求原展開式中I，項的系數(shù)為-960;（2）注意到日 的哥指數(shù)3較小，借助 局部展開”：原式-.；展開式中,的系數(shù)為 C5 （-8硝+區(qū)）4方+ Cj （-相）+限）塌=-泣_ 20 c

13、Mi2e-用=-590（3）解法一（求和轉化）：（i+z）ai-a+jr）原式所求原展開式中I4項的系數(shù)即為Q+工產(chǎn) 展開式中2項的系數(shù),所求展開式中工項的系數(shù)為端解法二（集零為整）：考察左式各部，展開式中 工 項的系數(shù)為+以+4=解+己）+雋+或=窗 + C：） + C； + +（4）解法一（兩次利用二項式定理）(/ +3+ 2)5 =(/ + 2)+ 3不設展開式中第r+1項為含有x的項，1C 二：)匚二廠要使x的哥指數(shù)為1,必須且只需r=1即一而(7 + 2)，展開式中的常數(shù)項為24 ,故得原展開式中X的系數(shù)為15x2* = 240解法二(利用求解組合應用題的思路)：(7 + 3 + 2

14、)5 =(工+ 3k+2y (/ + 3工+ 2) IJ注意到欲求(/ + 3工+2)展開式中x的一次項，只要從上式右邊 5個因式中有1個因式取 3x,其余四個因式都取常數(shù) 2即可。原展開式中x的一次項為C卜位)C 0 = 24。工所求原展開式中x的系數(shù)為240;(5)解法一(兩次利用二項展開式的通項公式)：注意到-/-二 一其展開式的通項?川=噩(21-：3/廠(r=023)又(21-3/丫的展開式的通項% = C12T1(-3)”，耽0=0,1,2,j) 依題意 r+t=5 , 0kr6fc = 0 k -1 k = 2由此解得一.；，|.由、得所求展開式中 , 項的系數(shù)為* * 2$ (-3)。+C C (一3)1 + 瑞 0 21(-3