數(shù)學(xué)系概率論課程教案

1、-PAGE . z第一章隨機(jī)事件與概率10課時目的與要求: 理解隨機(jī)事件的根本運算及古典概率的常規(guī)計算技巧二、重點：離散的古典概率與連續(xù)型的古典概率三、難點：離散型的古典概率四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P 11.1.1：隨機(jī)現(xiàn)象：即同一條件下可能出現(xiàn)的不同結(jié)果成為隨機(jī)現(xiàn)象。例1.1.1：隨機(jī)現(xiàn)象的例子：擲硬幣可能出現(xiàn)正反兩面。投擲骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)。一天進(jìn)入*超市的顧客數(shù)。*種電視機(jī)的壽命。測量*種物理量長度，直徑等的誤差。1.1.2 樣本空間： 隨機(jī)現(xiàn)象的一切可能結(jié)果成為樣本空間。例1.1.2

2、 投硬幣的樣本空間為，其中表示正面，表示反面，投骰子的樣本空間為進(jìn)入商場的顧客數(shù)的樣本空間為：電視機(jī)壽命的樣本空間為：測量誤差的樣本空間：注意：樣本點為有限個或者可列個的空間為離散樣本空間。樣本點不可列無限個的空間為連續(xù)樣本空間。1.1.3：隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的*些樣本點組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。通常用大寫字母A,B,C,表示.也可以用維恩圖表示隨機(jī)事件分為根本領(lǐng)件，必然事件，不可能事件。例1.1.3 擲骰子的樣本空間為： 事件A=出現(xiàn)1點為根本領(lǐng)件。 事件B=出現(xiàn)偶數(shù)點為復(fù)雜事件。 事件C=出現(xiàn)的點數(shù)小于7為必然事件。事件D=出現(xiàn)的點數(shù)大于6為不可能事件。1.1.4：隨機(jī)變量：表示隨

3、機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量為隨機(jī)變量。即為隨機(jī)事件到數(shù)的一個映射。例如：擲骰子 *=1，2，3，4，5，6. 擲幣 *=0，*=1. 電視機(jī)壽命T4000, T0,d=0時，即為傳染病模型。 當(dāng)c=0,d0時，即為平安模型。1.4.3 全概率公式 設(shè)為的一個分割，即互不相容，且，則證明：全概率公式的簡單應(yīng)用形式：例 1.4.5 摸彩模型設(shè)在n彩票有一獎券，求第二人摸到獎券的概率是多少？解：設(shè)則類似的故買彩票時候，無論先后，中獎時機(jī)均等。例 1.4.6 保險公司認(rèn)為*險種的投保人可以分為兩類：一類為容易出事故者，另一類為平安者。統(tǒng)計資料說明：易出事故者在一年發(fā)生事故的概率為0.4，而平安者發(fā)生事故的概率為

4、0.1，假設(shè)假定第一類人投保的比例為20%，現(xiàn)在有一人來投保，問該投保人在投保后一年出事故的概率有多大？解：設(shè)，則例 1.4.7 敏感性問題調(diào)查調(diào)查學(xué)生閱讀黃色書刊與影像，為得到真實結(jié)果，設(shè)計方案如下:問題A：你的生日是否在7月1日之前？問題B：你是否看過黃色書刊與影像？現(xiàn)在一個罐子里放白球與紅球，抽到白球答問題A，抽到紅球答問題B。根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果求看黃色書刊與影像的同學(xué)的比例。解；即于是例如在一次實際調(diào)查中紅球是30個，白球是20個，則，共收到1583試卷，其中389答復(fù)是，則由此計算得：。即約有7.62%的學(xué)生看過黃色刊物與影像。1.4.4 貝葉斯公式設(shè)是樣本空間的一個分割，即互不相容，且，

5、則例1.4.8 *地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，現(xiàn)用試劑檢查，有病呈陽性的占99%，無病呈陰性的占99.9%，現(xiàn)在*人檢查結(jié)果呈陽性，問他真的患肝癌的概率是多少？解：記B為被檢查者換有肝癌，A為事件檢查結(jié)果為陽性，則例1.4.9 伊索寓言孩子與狼的問題。 記A為小孩說謊，B為小孩可信，假設(shè)第一次村民印象為第二此村民印象為以上計算結(jié)果說明，經(jīng)過兩次說謊后，村民對小孩的可信度從0.8下降到0.138.以上例子也適用于銀行評級問題。1.5 獨立性1.5.1 獨立性的定義假設(shè)，則稱與相互獨立。假設(shè)，則稱與相互獨立。以上兩個定義是等價的。性質(zhì)1.5.1 假設(shè)與相互獨立，則與相互獨立，與相互獨立，與

6、相互獨立，證明：則與相互獨立，其余結(jié)論類似可證。1.5.2 多個事件的獨立性假設(shè)， ，且則相互獨立。N個事件的獨立類似定義例1.5.2 假設(shè)相互獨立，則與相互獨立。證明：所以與相互獨立。例1.5.3 兩個射手獨立射擊同一目標(biāo)，甲乙擊中的概率分別為0.9和0.8，求目標(biāo)被擊中的概率？解：法一法二例1.5.4 *零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，不合格品率分別為0.3,0.2,0.1；第二種工藝有兩道工序，不合格頻率分別為0.3,0.2，試問：那種工藝的合格品的概率比擬大？第二種工藝的兩道工序的不合格品概率都是0.3時，情 況如何？解：1由獨立性，兩種工藝的合格品概率分別為：故第二種工序的

7、合格品概率大。 2當(dāng)?shù)诙N工藝的兩道工序的不合格品概率都是0.3時故此時第一種工序的合格品概率高。例1.5.5 有兩名選手比賽射擊，輪流射擊同一目標(biāo)，甲每槍命中的概率為，乙每槍命中的概率為，甲先射，誰先擊中誰獲勝，問甲乙獲勝的概率各多少？解：設(shè)為第i次命中目標(biāo)，則例1.5.6 系統(tǒng)由多個原件構(gòu)成，每個原件正常工作的概率為，試求以下系統(tǒng)正常工作的概率。串聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)混合系統(tǒng)解：1 2 法一 法二3第二章隨機(jī)變量及其分布10課時目的與要求: 理解隨機(jī)變量的分布及密度及相關(guān)的計算技巧與應(yīng)用二、重點：隨機(jī)變量的分布及密度三、難點：隨機(jī)變量的分布及密度相關(guān)應(yīng)用四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相

8、結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P 61 2.1：隨機(jī)變量及其分布2.1.1：隨機(jī)變量的概念：隨機(jī)變量即為樣本空間到數(shù)得一個映射例：樣本點 合格品 0 不合格品 1隨機(jī)變量分為連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量兩類。2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義例2.1.1 向半徑為r的圓拋一點，為圓心到彈著點的距離，求的分布函數(shù)，并求解：當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)綜上 分布函數(shù)的性質(zhì)定理2.1.1 1單調(diào)性 假設(shè)，則. 2有界性 ，且3右連續(xù)性證明：3設(shè)，且 由此得 其他的性質(zhì)注意，對于連續(xù)密度與連續(xù)的分布函數(shù)例2.1.2 柯西分布為

9、：求.解：2.1.3 離散的隨機(jī)變量的概率分布列 分布列的根本性質(zhì) (1)非負(fù)性 (2)正則性 P66 例2.1.3 擲兩顆骰子，為點數(shù)之和，為6點的個數(shù)，為最大的點數(shù)，求的分布。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 1 2 3 4 5 6 例2.1.4 設(shè)離散的隨機(jī)變量的分布列為 -1 2 3 0.25 0.5 0.25 求，及分布函數(shù). 解：當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時當(dāng)時綜上 -1 0 1 2 3 單點分布 它的分布函數(shù)為 0 c 離散的隨機(jī)變量的分布函數(shù)呈階梯狀。例2.1.5 一汽車駛過三個路口，遇到紅綠燈的時間是一樣的，各個路口信號燈的工作是相互獨立的，為汽車首次遇到紅

10、燈經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列。解：設(shè)為汽車在第i個路口遇到紅燈，則 故的分布列為： 0 1 2 32.1.4 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)密度代表點概率質(zhì)量 分布函數(shù)表示區(qū)間概率質(zhì)量 區(qū)間概率質(zhì)量是由點概率質(zhì)量累加積分形成。故分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系為：且 密度函數(shù)的根本性質(zhì) 1非負(fù)性 2正則性 例2.1.7 向區(qū)間上任意投點，為投點的坐標(biāo)，求 的分布函數(shù)與密度函數(shù)。 解: 當(dāng)時 當(dāng)時當(dāng)時 綜上的分布函數(shù)為的密度函數(shù)為例2.1.8 *電子元器件的壽命為，其密度為 各個元件的工作是獨立的，問： 1任取一只，其壽命大于1500小時的概率是多少？ 2任取4只，4只壽命都大于1500小時的概率是多少？ 3

11、任取4只，4只中至少一只壽命大于1500小時的概 率是多少？ 4假設(shè)一只壽命大于1500小時，則該元件的壽命大 于2000小時的概率是多少？ 解：1 2 3 4記，則所以注意在計算過程中，針對連續(xù)型隨機(jī)變量，一個點的概率質(zhì)量認(rèn)定為0.2.2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的通俗理解，可以認(rèn)為是未來的均值估計。 P77 例2.2.1 兩個賭徒各出50法郎，約定誰先贏得三局，誰得到全部賭本，此時甲贏得兩局，乙贏得一局，因故皇帝召見終止賭博，問這100法郎的賭本應(yīng)該怎樣分配。 解：對于甲來說，可能出現(xiàn)的情況如下： 甲甲 甲乙 甲甲乙 乙甲 乙乙 設(shè)甲贏得的賭本為，則的分布為 0 100 所以甲分得的賭本

12、為元 乙分得的賭本為25元.定義2.2.1 對于離散的隨機(jī)變量 對于連續(xù)的隨機(jī)變量 期望是均值，也可以理解為重心。例2.2.2 對于*疾病的血液檢查，如果N個人逐步個檢查，工作量太大，現(xiàn)在K人一組，分組檢查，問是否可以節(jié)省工作量？解;設(shè)為分組后，每個人檢查的次數(shù)，則的分布列為： 適中選擇K可以保證故工作量可以減少.例2.2.3 每彩票售價5元，出售100萬，搖獎?chuàng)u6個，開獎規(guī)則如下： 1最后一位一樣者獲得六等獎，獎金10元。 2最后兩位一樣者獲得五等獎，獎金50元。 3最后三位一樣者獲得四等獎，獎金500元。 4最后四位一樣者獲得三等獎，獎金5000元。 5最后五位一樣者獲得二等獎，獎金500

13、00元。 6最后六位一樣者獲得一等獎，獎金500000元。解：設(shè)為中獎金額，則的分布如下： 500000 50000 5000 500 50 10 0 0.000001 0.000009 0.00009 0.0009 0.009 009 0.9彩票機(jī)構(gòu)的收益為 例2.2.4 設(shè)，求解; 2.2.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)計算原理：原像與像等概率。例2.2.6 隨機(jī)變量的分布列如下： 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求的分布.解： 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 4 1 0 1 4 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 合并為 0 1 4 0.1 0.4

14、0.5在計算相關(guān)問題的時候，注意對應(yīng)的點概率質(zhì)量均為 對應(yīng)的點概率質(zhì)量均為 所以函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義為： 性質(zhì)2.2.1 假設(shè)c是常數(shù)，則性質(zhì)2.2.2 假設(shè)a是常數(shù)，則性質(zhì)2.2.3 例2.2.7 *公司經(jīng)銷*種原料，原料的市場需求量噸服從300,500上的均勻分布，每售出1噸原料，獲利1.5千元，積壓1噸損失0.5千元.問公司組織多少貨源，可以使得平均收益最大？解:設(shè)組織貨源為a噸，則獲利為 即則平均利潤為 故當(dāng)噸時，平均收益最大。2.3 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例：*手表廠，甲乙兩個師傅所做產(chǎn)品誤差分布如下： 甲師傅的誤差數(shù)據(jù) 0 1 乙?guī)煾档恼`差數(shù)據(jù) 0 10 2.3.1 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定

15、義 以下三種分布，求它們的方差。三角分布 1均勻分布倒三角分布例2.3.2 *人有一筆資金，可投入兩個工程：房地產(chǎn)和商業(yè)，為房地產(chǎn)的收益，為商業(yè)的收益，收益的分布如下： 11 3 0.2 0.7 0.1 6 4 0.2 0.7 0.1 試問：如何投資較好？ 解：標(biāo)準(zhǔn)差兩工程平均收益相差不大，但房地產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故風(fēng)險大，商業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)差小風(fēng)險相對較小，故投資商業(yè)工程更好.2.3.2 方差的性質(zhì)性質(zhì)2.3.1 證明：記性質(zhì)2.3.2 證明：性質(zhì)2.3.3 證明：推論 例2.3.3 設(shè)顆骰子的點數(shù)，求解：2.3.3 切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在，則或者證明;設(shè)是連續(xù)的隨機(jī)變量，為密度函數(shù)

16、. 記，則定理2.3.2 設(shè)隨機(jī)變量的方差存在，則的充要條件為幾乎處處等于常數(shù)a,即證明：充分性顯然，下證明必要性，設(shè)，這時存在，由于 于是即則 即取，必要性得證 2.4 .常用離散分布一.兩點分布或 0 1二.二項分布例 2.4.1 *特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？解;設(shè)為治愈的人數(shù)，則，所求概率為 至少有8人治愈的概率是09885.例 2.4.2 設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)，求解：由得即所以于是 二項分布的期望和方差記二項分布的密度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 例 2.4.3 甲乙約定比賽十局，以贏得局?jǐn)?shù)多者為勝，設(shè)在每局中甲贏的概率為0

17、.6，乙贏的概率為0.4，比賽各局是獨立的，試問;甲勝，乙勝，平局的概率各多大？解：設(shè)為甲勝的局?jǐn)?shù)，則 2.4.2 泊松分布泊松分布的密度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 應(yīng)用圍在一天，來到*商場的顧客數(shù).單位時間，*電路受到的外界電磁波的沖擊次數(shù).1平方米，玻璃上的氣泡數(shù).一個鑄件上的砂眼數(shù).在一定時期，*放射物質(zhì)放射出來的粒子數(shù).以上隨機(jī)現(xiàn)象均服從泊松分布.泊松分布的期望與方差例2.4.4 一鑄件的砂眼數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，求至多一個砂眼的概率與至少兩個砂眼的概率.解：設(shè)鑄件的砂眼數(shù)為，且，則鑄件至多一個砂眼的概率為至少2個砂眼的概率為例2.4.5 *商品的月銷售量服從參數(shù)

18、為8的泊松分布，問進(jìn)貨多少才能以90%的概率滿足顧客需求. 解：設(shè)銷售量為，則，設(shè)最小進(jìn)貨量為n. 則 而 故月初進(jìn)貨量應(yīng)該是12件.定理2.4.1泊松定理假設(shè)時，有記，則 證明：記，即對固定的k有 從而當(dāng)n很大，p很小時，有例2.4.6 *種疾病的發(fā)病率為0.001，*單位有5000人，問該單位患病人數(shù)不超過5人的概率為多少？解：設(shè)患病人數(shù)為，則，且 所求概率為例2.4.7 有10000人參加人壽保險，每個人的保費為200元，假設(shè)投保人意外死亡，受益人可以獲得100000元賠償，假設(shè)人群的死亡率為0.001，試求保險公司賠本的概率；至少獲利500000元的概率。解：設(shè)為死亡的人數(shù)，則，由于n

19、很大所以利用泊松分布處理，(1)當(dāng)，即時，保險公司虧損.當(dāng)，即時，保險公司收益至少有500000元.例2.4.8 為保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工，機(jī)器的工作是相互獨立的，每臺設(shè)備出故障的概率為0.01，試求在以下情況下，設(shè)備不能及時維修的概率。一名維修工負(fù)責(zé)20臺設(shè)備;三名維修工負(fù)責(zé)90臺設(shè)備;10名維修工負(fù)責(zé)500臺設(shè)備;解：1設(shè)表示在20臺設(shè)備中出故障設(shè)備的臺數(shù)，則 用參數(shù)的泊松分布來計算 2設(shè)表示在90臺設(shè)備中出故障設(shè)備的臺數(shù)，則 用參數(shù)的泊松分布來計算 3設(shè)表示在500臺設(shè)備中出故障設(shè)備的臺數(shù)，則 用參數(shù)的泊松分布來計算數(shù)據(jù)顯示，假設(shè)干維修工共同負(fù)責(zé)大量設(shè)備的維修效率更高.其他

20、的分布2.4.3 超幾何分布設(shè)有N件產(chǎn)品，其中M個次品，不放回抽取n件，求有k件次品的概率.2.4.4 幾何分布與負(fù)二項分布幾何分布*射擊運發(fā)動，每槍擊中的概率為p,求第k槍首次擊中的概率.負(fù)二項分布*射擊運發(fā)動，每槍擊中的概率為p,求第r槍擊中的時，總共射擊了k發(fā)子彈的概率.例：第3槍擊中的時候，共射出了4發(fā)子彈的概率 1 2 3 4第r槍擊中的時，總共射擊了k發(fā)子彈的概率.2.5 常用的連續(xù)分布2.5 .1 正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的期望與方差標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望與方差假設(shè)，求假設(shè)，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布根本運算性質(zhì) 1 2 3正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理2.5.1 假設(shè)隨

21、機(jī)變量，則證明： 兩邊求導(dǎo)得即例2.5.2 假設(shè)隨機(jī)變量，求 1 2常數(shù)a，使得 解：12查表得 ，故 正態(tài)分布的原則 假設(shè)隨機(jī)變量，則這說明以為中心，為半徑的圍集中了大局部的密度，隨機(jī)變量以較大概率出現(xiàn)在這個圍。2.5.2 均勻分布記 a b例2.5.4 設(shè)隨機(jī)變量現(xiàn)在對進(jìn)展4次獨立觀察，試求至少有3次觀測值大于5的概率。解;設(shè)為觀測值大于5的次數(shù)，則由條件 于是 均勻分布的期望與方差2.5.3 指數(shù)分布指數(shù)分布的密度 指數(shù)分布的期望與方差指數(shù)分布主要刻畫原件壽命，及等待效勞的時間。例2.5.5 如果*設(shè)備在時間發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，則兩次故障的時間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布。證

22、明：由得 當(dāng)時，有 當(dāng)時，有 故的密度為所以2.5.4伽瑪分布伽瑪函數(shù)伽瑪函數(shù)的運算性質(zhì) 伽瑪分布的密度記作特別的當(dāng)時，伽瑪分布就是指數(shù)分布，即特別的當(dāng)時，伽瑪分布就是自由度為n的卡方分布2.5.5貝塔分布貝塔函數(shù)貝塔函數(shù)的運算性質(zhì) 1 2 證明：2 作變化，其雅克比行列式 2得證.貝塔分布的密度2.6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布計算原理;原相與相等概率2.6.1 離散的隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.6.1 隨機(jī)變量的分布列如下，求的 分布列.的分布列為 合并得定理2.6.1 設(shè)是連續(xù)的隨機(jī)變量，其密度為嚴(yán)格單調(diào)，為其反函數(shù)，則 其中證明：不妨設(shè)單調(diào)增，則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，對分布函數(shù)求導(dǎo)得密度 即 定理2.

23、6.2 對隨機(jī)變量，則證明 故例2.6.2 1設(shè)隨機(jī)變量，試求的 分布2設(shè)隨機(jī)變量，試求的 分布 解：1由于服從正態(tài)分布，又 所以 2由于服從正態(tài)分布，又所以 .定理2.6.3 設(shè)隨機(jī)變量，則的密度為 證明：當(dāng)時， 此時 當(dāng)時， 綜上 絕緣材料的壽命服從對數(shù)正態(tài)分布.設(shè)備故障的維修時間服從對數(shù)正態(tài)分布.家里僅有兩個小孩的年齡差服從對數(shù)正態(tài)分布. 類似有定理2.6.4 設(shè)隨機(jī)變量，則例2.6.3 設(shè)隨機(jī)變量，求的分布解：當(dāng)時， 當(dāng)時，故求導(dǎo)得故例2.6.4 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求 的密度函數(shù) 解;當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時, 求導(dǎo)得 綜上第三章多維隨機(jī)變量及其分布10課時目的與要求: 理解多維隨機(jī)

24、變量及其分布的根本原理并能解決相應(yīng)的實際應(yīng)用問題二、重點：多維隨機(jī)變量及其分布三、難點：多維密度及其分布四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P 139多維隨機(jī)變量的定義：稱為n維隨機(jī)變量。稱為N維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。定理3.1.1 二維聯(lián)合分布的性質(zhì)：1單調(diào)性 當(dāng)時，有 當(dāng)時，有2有界性3右連續(xù)性4非負(fù)性引例3.1.1 二元函數(shù) 不滿足性質(zhì)4.故不是二維分布函數(shù)。3.1.3 聯(lián)合分布列* y.聯(lián)合分布的根本性質(zhì)：1非負(fù)性：2正則性：引例3.1.2 從1,2,3,4中任取一數(shù)記為，再從中任取一數(shù)記為，求

25、的聯(lián)合分布列及解： 1 2 3 41234 0 0 0 0 0 03.1.4聯(lián)合密度函數(shù) 定義3.1.4 假設(shè)， 則稱為的聯(lián)合密度函數(shù)。且聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：1非負(fù)性：2正則性：設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求：解：123.1.5 常用的多維分布一，多項分布；其中各出現(xiàn)次，則例3.1.4。100件產(chǎn)品，一等品60件，二等品30件，三等品10件，任取三件，分別表示一等品，二等品的數(shù)量，求：的聯(lián)合分布其中，當(dāng)0 1 2 30123 0 0 0 0 0 0可以計算其他有關(guān)事件的概率：二，多維超幾何分布可以看成取各種類型的球個的概率。例3.1.5 將例改為不放回抽樣，抽取3次，分別表示一等品，二等品的數(shù)量，求：

26、的聯(lián)合分布其中，當(dāng)0 1 2 30123 0 0 0 0 0 0計算其他有關(guān)事件的概率：三，多維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求四，二元正太分布P 152&3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性3.2.1 邊際分布的定義設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為的邊際分布函數(shù)為：3.2.2 邊際分布列邊際分布列的定義;設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為：1 2 3 01 0.54 0.460.16 0.33 0.513.2.3 邊際密度函數(shù)邊際密度分別為：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求1邊際密度函數(shù)，； 2及解：1當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時所以的邊際密度函數(shù)為2二維正太分布的邊際分布為一維正太分布這里 令

27、隨機(jī)變量的獨立性定義3.2.1 假設(shè)對于聯(lián)合分布的分布函數(shù)，對于任意的，滿足則稱相互獨立。另外對于聯(lián)合密度函數(shù)，假設(shè)滿足則稱相互獨立。例3.2.6 從中任取兩個數(shù)，求以下事件的概率；兩數(shù)之和小于；兩數(shù)之積小于。 解：相互獨立，故聯(lián)合密度函數(shù)為：1事件的概率為：2事件的概率為：假設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為問；是否獨立？當(dāng)時，有當(dāng)時，有于是同樣，當(dāng)時，有當(dāng)時，有于是故，所以不獨立。假設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;判定獨立性？1 234解：1即即故所以獨立。2由于的取值受的決定，故不獨立。 3于是，所以獨立。4邊際分布為于是，所以不獨立。3.3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布原理：原相與相等概率。設(shè)

28、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列如下-1 1 2-12試求1 2 3解：所求分布列為：-2 0 1 3 4-3 -2 0 1 3-1 1 2 例3.3.2 泊松分布的可加性設(shè)隨機(jī)變量，求證：證明;故記為一般的有例3.3.3 二項分布的可加性設(shè)隨機(jī)變量，求證：證明;由得，又故這說明 記為一般的有3.3.2 最大值與最小值的分布例3.3.4 最大值分布設(shè)是n個相互獨立的隨機(jī)變量，假設(shè)，在以下情況下求的分布。 1； 2同分布，。 3同分布，為連續(xù)隨機(jī)變量，的密度均為。 4解：1的分布為; (2) 假設(shè)同分布，則3假設(shè)同分布，則的密度函數(shù)為：4由得：例3.3.5最小值分布設(shè)是n個相互獨立的隨機(jī)變量，假設(shè)，在以

29、下情況下求的分布。 1； 2同分布，。 3同分布，為連續(xù)隨機(jī)變量，的密度均為。 4解：1的分布為; (2) 假設(shè)同分布，則3假設(shè)同分布，則的密度函數(shù)為：4由得：例3.3.6 *段道路原來有5個路燈，道路改建后有20個路燈來晚間照明，改建后道路管理人員發(fā)現(xiàn)燈泡更容易壞了，請解釋其中原因。 解; 。其平均壽命為小時，5個燈泡第一個燒壞的時間 假設(shè)燈泡每天用10個小時，則30天換燈泡的概率為;20個燈泡第一個燒壞的時間 這說明道路改建后，在30天換燈泡的概率更加高，為此需要換上高壽命的節(jié)能燈。3.3.3連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1 設(shè)是兩個獨立的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為和，則其和的密度函數(shù)為：

30、證明：類似可證：故原結(jié)論成立。例3.3.7 正態(tài)分布的可加性設(shè)是兩個獨立的隨機(jī)變量，證明其和解：由得又其中，這里命題得證.一般的假設(shè) 則其中，。例：設(shè)是兩個獨立的隨機(jī)變量，則 例3.3.8 伽瑪分布的可加性設(shè)是兩個獨立的隨機(jī)變量，證明其和由得故記為一般的有又，所以可得以下兩個結(jié)論：m個獨立同分布的指數(shù)分布變量之和為伽瑪分布變量。即，. 則記為2，. 則即3.3.4 變量變換法原理：利用原相與相等概率，得到相關(guān)結(jié)論。 對應(yīng)的雅可比行列式為則例3.3.11積的公式設(shè)是兩個獨立的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為和，則其和的密度函數(shù)為：解：記則，于是于是例3.3.12商的公式設(shè)是兩個獨立的隨機(jī)變量，其密度函

31、數(shù)分別為和，則其和的密度函數(shù)為：法一：解：記則，于是于是法二：即 即為：3.4.2 多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是二維的隨機(jī)變量, 的期望為：特別的例3.4.1 在長度為a的線段上任意取得兩個點，求兩點間的平均長度。解; 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下于是例3.4.2 設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量，均服從指數(shù)分布，求的數(shù)學(xué)期望。解：由得 于是 這里設(shè)是二維的隨機(jī)變量，則有證明：一般的有：設(shè)是二維的隨機(jī)變量且相互獨立，則有證明：由相互獨立，有。一般的有這里相互獨立。設(shè)是二維的隨機(jī)變量且相互獨立，則有證明;由方差的定義：一般的例3.4.3 設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差。解;例3

32、.4.4 設(shè)一袋中裝有m個顏色不同的球，每次從中任取一個，有放回地摸取n次，以表示n次摸球所摸得得不同顏色的數(shù)目，求解; 則由得3.4.3 協(xié)方差定義3.4.1 協(xié)方差的定義：特別的1當(dāng)，稱正相關(guān)。2當(dāng)，稱負(fù)相關(guān)。3當(dāng)，稱不相關(guān)。性質(zhì)3.4.4 證明：由協(xié)方差的定義有性質(zhì)3.4.5 假設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，則，反之不然。 證明;由相互獨立有，所以=0假設(shè)隨機(jī)變量，且，這里隨機(jī)變量不獨立，但對于任意的二維隨機(jī)變量，有證明：由方差定義得：性質(zhì)3.4.7 性質(zhì)3.4.8 性質(zhì)3.4.9 性質(zhì)3.4.10 證明：由協(xié)方差的性質(zhì)得;假設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;求解：于是例3.4.8 二維隨機(jī)變量的

33、聯(lián)合分布函數(shù)如下;求解：先計算邊際密度再計算一階矩，二階矩。則 則3.4.4 相關(guān)系數(shù)定義; 稱為的線性相關(guān)系數(shù)。 相關(guān)系數(shù)也可以看成標(biāo)準(zhǔn)變量的協(xié)方差。， 則；引理3.4.4. 施瓦茨Schwarz不等式對于任意二維隨機(jī)變量，存在，則有：證明：不妨設(shè)，因為的時候，不等式成立是顯然的。對于函數(shù)恒成立，故即 成立。性質(zhì)3.4.11 ，或。性質(zhì)3.4.12 的充要條件是幾乎處處有線性關(guān)系，即證明：充分性證明。假設(shè)，則，于是必要性證明. 當(dāng)時，有由此得即故當(dāng)時，幾乎處處線性正相關(guān)。當(dāng)時，有由此得即故當(dāng)時，幾乎處處線性負(fù)相關(guān)?？偨Y(jié)1當(dāng)時，則稱不相關(guān)，即之間沒有線性關(guān)系當(dāng)時，則稱完全正線性正相關(guān)。 當(dāng)時，

34、則稱完全正線性負(fù)相關(guān)。當(dāng)越接近1，線性相關(guān)程度越高。 當(dāng)越接近0，線性相關(guān)程度越底。二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;求的相關(guān)系數(shù)。解;先計算邊際密度 例3.4.11 設(shè)有一筆資金，總量為1 如今投資甲乙兩種證券，投給甲，投給乙，于是形成一個投資組合，分別為甲乙的收益率，均值分別為代表平均收益，方差分別為代表風(fēng)險。的相關(guān)系數(shù)為，求組合的平均收益與風(fēng)險方差。并求使得投資風(fēng)險最小的。解;組合的收益為組合的平均收益為組合的風(fēng)險方差為要使得最小，必須解得：此時風(fēng)險最小。3.5 條件分布與條件期望3.5.1 條件分布一離散隨機(jī)變量的條件分布的定義：設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，且，在的條件下，求的分布。解：由條件概

35、率的定義，得：設(shè)進(jìn)入商店的顧客人數(shù)為，且，每個顧客購置*商品的概率為P，顧客購物相互獨立，求購物顧客人數(shù)的分布列。解：由題意得：由全概率公式得：即二連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布的定義： 則 類似的例3.5.5 設(shè)服從上的均勻分布，求解：所以 三連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式3.5.2 條件數(shù)學(xué)期望定理3.5.1 重期望公式設(shè)是二維隨機(jī)變量，且存在，則證明：僅證明連續(xù)的情況，離散的類似證明。 記 則重期望公式的應(yīng)用形式 離散的情形 連續(xù)的情形例3.5.7：一礦工被困在有三個門得礦井，第一個門通一坑道，沿此坑道3小時抵達(dá)平安區(qū)，第二個門通一個坑道，5小時返回原處，第三個門通一個坑道，7小時可返回原處，

36、求礦工平均多少小時到達(dá)平安區(qū)。解：假設(shè)為礦工到達(dá)平安區(qū)的需要的時間，為第一次選擇的門，則由于第一個門3小時到達(dá)平安區(qū)，所以 由于第二個門5小時返回原處，所以 由于第三個門7小時返回原處，所以 又所以即所以礦工平均要15小時才能到達(dá)平安區(qū)。口袋有編號為1,2，.，n的n個球，假設(shè)取到1號球，則得1分球，且停頓摸球；假設(shè)取得i號球，則得到i分，且將球放回，重新摸球，如此下去，求得到是平均總分?jǐn)?shù)。解;設(shè)為得到的總分?jǐn)?shù)，為第一次取到的球的，則。又因為，而當(dāng)時，。所以由此解得：例3.5.9 設(shè)電力公司每月供給*工廠的電力服從10,30的均勻分布單位，而實際需要的電力服從10,20的均勻分布單位，如果電力

37、足夠，則每電可以創(chuàng)造30萬元的利潤，如果電力缺乏，則每電力只有10萬的利潤，求該廠每個月的平均利潤。解;設(shè)每個月的利潤為萬元，則當(dāng)時當(dāng)時則 所以該廠的平均利潤為433萬元。例3.5.10 隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望設(shè)為獨立的隨機(jī)變量序列，整數(shù)獨立，證明: 證明：應(yīng)用設(shè)N為一天到商場的顧客數(shù)是一個隨機(jī)變量，且。設(shè)為第i個顧客的購物金額，且是獨立同分布的，假設(shè)與相互獨立，則此商場一天的平均營業(yè)額為一只昆蟲產(chǎn)卵數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每個卵成活的概率為，這里，而表示第i個卵成活，則一只昆蟲產(chǎn)卵后的平均成活卵數(shù)為第四章大數(shù)定理與中心極限定理2課時目的與要求: 理解大數(shù)定理與中心極限定理的根本原理并能解決相應(yīng)

38、的實際應(yīng)用問題二、重點：大數(shù)定理與中心極限定理三、難點：中心極限定理四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P 229伯努利大數(shù)定理：定理設(shè)為n重伯努利實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次實驗A出現(xiàn)的概率嗎，則對于有證明：由于 且由切比雪夫不等式當(dāng)時，有P 233切比雪夫大數(shù)定理定理 設(shè)為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，每個存在，切則證明:因為為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，故當(dāng)時，有特別的有當(dāng)同分布時，有P.238 中心極限定理 例4.4.2 設(shè)為獨立同分布的隨機(jī)變量，記 則當(dāng)?shù)臅r，的密度接近正態(tài)分布。P239

39、面圖P.240 & 4.4 中心極限定理定理 4.4.1(林德貝格-勒維中心極限定理)設(shè)為一列獨立同分布隨機(jī)變量序列，且，記 則P242定理 4.4.2(隸莫弗-拉普拉斯極限定理)設(shè)n重伯努利實驗中，事件A每次出現(xiàn)的概率為P，記為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)。記 則P243 修正一復(fù)雜系統(tǒng)由100個互相獨立工作的部件組成，每個部件正常工作的概率為0.9，整個系統(tǒng)至少有85個部件正常工作，系統(tǒng)才能正常，試求系統(tǒng)正常工作的概率。解：設(shè)為100個部件中正常工作的的部件數(shù)，即則故系統(tǒng)正常工作的概率為0.966.P243 修正P244 .例4.46*制藥廠生產(chǎn)的*藥品，對*種疾病的治愈率為80%，現(xiàn)在為了

40、檢驗此治愈率，任意抽取100個此種病得患者進(jìn)展臨床試驗，如果至少有75人治愈，則此藥品通過檢驗，分別在以下情況計算此藥品通過檢驗的可能性。此藥品的實際治愈率為80%。此藥品的實際治愈率為70%。解：設(shè)為100個臨床受試者中治愈的人數(shù)，則 12*車間有同型號的機(jī)床200臺，一個小時每臺機(jī)床70%的時間是工作的，各臺機(jī)床工作是相互獨立的，工作的時候每臺機(jī)床消耗的電能為15千瓦KW.問至少要多少電能才可以有95%的可能性保證此車間生產(chǎn)正常。解：設(shè)為200臺機(jī)床中同時工作的機(jī)床數(shù)，供電量為y千瓦kw則電力需求量為 為使工作正常，必須 則又故解得；故至少要2252kw才能有95%的概率保證此車間正常工作

41、。*調(diào)查公司受委托，調(diào)查*電視節(jié)目在S市的收視率P，調(diào)查公司將所有調(diào)查對象看此節(jié)目的的頻率作為的估計，現(xiàn)在要保證有90%的把握，使得調(diào)查的收視率與真實的收視率之間的差異不大于5%。問至少要調(diào)查多少對象？解：設(shè)共調(diào)查n個對象，記：則 則當(dāng)?shù)臅r,有由題意又解得故至少要調(diào)查271個對象。P248 定理4.4.4 (雅普洛夫中心極限定理)設(shè)為獨立的隨機(jī)變量序列，假設(shè)存在，滿足：則對于任意的*,有注意要點：雅普洛夫定理的條件更寬松，對于只要求獨立，不需要同分布，的密度依然是正太密度。一份試卷由99個題目組成，難度由易到難排列，*學(xué)生答對第i題的概率為，答題是相互獨立的，并且要答對60個以上的題才算通過考

42、試，試計算學(xué)生通過考試的概率。解：設(shè) 則又故學(xué)生通過考試的概率為0.005.P237.2*計算機(jī)主機(jī)有100個終端，每個終端有80%的時間被使用。假設(shè)各個終端被使用是相互獨立的，試求至少15個終端空閑的概率。解：設(shè)*為總共使用的終端個數(shù)，則其中則 由中心極限定理正態(tài)分布故15個終端空閑的概率為0.9155P237.3有一批建筑房屋的木柱，其中80%的長度不小于3 m,現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取100根。問其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：設(shè)*為100根中長度不小于3m的根數(shù)，則其中則 由中心極限定理正態(tài)分布，則故至少有30根木柱短于3m的概率為0.0088.第五章三大抽樣分布3課時一 目的與要求

43、: 三大抽樣分布的的形式二 重點：三大抽樣分布的應(yīng)用三 難點：三大抽樣分布的推演四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.課題引入伽瑪分布的一般形式;分布的一般形式P 126. 例 2.6.3.假設(shè)，則解：先求的分布函數(shù) 當(dāng)時故的分布函數(shù)為：則的密度函數(shù)為：即假設(shè)， 獨立，則假設(shè)，且獨立，則證明; 由得推論：假設(shè)，獨立，則設(shè)是來自正態(tài)分布的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為則有：1相互獨立；2；3.證明：的聯(lián)合密度為記，作一個正交變換，其中于是，的聯(lián)合密度為則獨立同分布于由于則。證畢. P 286 F-分布 設(shè)，獨立，則稱服從自由度為

44、m與n的F分布，記作先導(dǎo)出的密度，由商的密度公式得 作變換得即再求出的密度對于注意：當(dāng)隨機(jī)變量時，對于給定，稱滿足等式稱為分布的分位點.由分布的構(gòu)造知，假設(shè)，則則 即又故例5.4.2：P288推論5.4.1：設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本 ，記，其中，則有證明：由于兩樣本獨立可知，相互獨立，由定理5.4.1知，由分布的定義可知：.P 288 t-分布定義5.4.3 設(shè)，獨立，則稱服從自由度為n的t分布，記作由于于是兩邊求導(dǎo)得：而，則P290推論5.4.2 設(shè)是來自正態(tài)分布的一個樣本，分別為樣本均值與樣本方差，則有證明：由于則當(dāng)隨機(jī)變量時，對于給定，稱滿足等式稱為分布的分位點.由分布的構(gòu)造知：例如

45、：5.5充分統(tǒng)計量例5.51 為了研究*個運發(fā)動的打靶命中率，觀察其10次射擊，發(fā)現(xiàn)第三，六次不中外，其余8次都命中，這樣的觀測結(jié)果包含兩種信息打靶10次命中8次；2次不中是在第3次與第6次。明顯第2種信息對于命中率沒有什么幫助，即實驗編號信息對于參數(shù)命中率無關(guān)緊要。即樣本加工不損失信息。定義5.51設(shè)是來自*總體的樣本，為總體的分布函數(shù)，對于統(tǒng)計量，如果不依賴參數(shù)，則稱為的充分統(tǒng)計量。例5.5.2 設(shè)總體為二點分布，為樣本，令取則故為的充分統(tǒng)計量。對于任意一組樣本取有故不是的充分統(tǒng)計量。5.5.2因子分解定理定理5.5.1 設(shè)總體的密度函數(shù)為，為樣本，則是充分統(tǒng)計量的充分必要條件為：存在兩個

46、函數(shù)和使得證明:現(xiàn)在僅僅證明離散的形式必要性證明設(shè)是充分統(tǒng)計量，則在下與無關(guān)，記為，令，當(dāng)時有充分性證明由于 當(dāng)時有該分布與無關(guān)。這就證明了充分性。第六章參數(shù)估計點估計與極大似然估計2課時一 目的與要求: 理解點估計與極大似然估計的根本原理與計算方法，并會做相關(guān)的應(yīng)用二、重點：矩估計與極大似然估計三、難點：極大似然估計四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P 286矩估計的根本原理：引例例1 設(shè)總體*在區(qū)間上服從均勻分布，其中是未知參數(shù)，如果取得的樣本值為，求的矩估計值。解：因為總體的密度函數(shù)為于是則的矩估

47、計量為例2設(shè)總體*服從正態(tài)分布，其中是未知參數(shù)，如果取得的樣本值為，求的矩估計值。解；由于總體*服從正態(tài)分布，故即于是由以上式子解得的矩估計量為：P 2871.極大似然估計的根本原理：一般我們在選擇參數(shù)的時候是以使得該事件樣本發(fā)生的可能性最大為原則。2.似然函數(shù)的定義原則：選擇參數(shù)必須使得似然函數(shù)最大或者使得最大，此時需要滿足條件：例1：設(shè)總體服從泊松分布如果取得樣本觀測值求參數(shù)的極大似然估計。解：概率函數(shù)為：似然函數(shù)為;取對數(shù)得;為使得似然函數(shù)最小必須有：故的極大似然估計為：例2：設(shè)總體服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為如果取得觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計。解：似然函數(shù)為； 取對數(shù)得；為使得似然函數(shù)

48、最大必須有：故的極大似然估計為：設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中是未知參數(shù)，如果取得觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計。解;似然函數(shù)為：為使得似然函數(shù)最大必須有：于是的極大似然估計為：， 設(shè)是來自均勻分布總體的樣本，試求的極大似然估計解：似然函數(shù)為:故的極大似然估計為：其中第七章假設(shè)檢驗3課時目的與要求: 假設(shè)檢驗的根本原理重點：假設(shè)檢驗的操作流程難點：假設(shè)檢驗的原理的理解及運用圍。四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入及概念的介紹1假設(shè)檢驗的根本原理；小概率事件在幾次統(tǒng)計結(jié)果中是不應(yīng)該出現(xiàn)的。如果出現(xiàn)應(yīng)該拒絕成認(rèn)，并以此為根底來作有效的統(tǒng)計結(jié)論的判斷。2根本的概念：顯著性水平；即使確定小概率的一個標(biāo)準(zhǔn)。拒絕域：小概率事件對應(yīng)的區(qū)域假設(shè)檢驗的三種形式121注：三種形式主要針對不同的產(chǎn)品的檢驗?zāi)Ｐ投ǖ?。即在不同產(chǎn)品模型中正常與非正常的界定標(biāo)準(zhǔn)。根本原理：大概率事件在一次統(tǒng)計結(jié)果中出現(xiàn)是應(yīng)該的，正常的，可以承受的。小概率在一次統(tǒng)計結(jié)果中出現(xiàn)是不正常的，不可承受的。簡單言之：一般最初采集的樣本是把概率事件對應(yīng)的樣本，大概率事件的樣本最早出現(xiàn)。邏輯框架：假設(shè)為真而統(tǒng)計指標(biāo)落在無病對應(yīng)的大概率區(qū)間則成認(rèn)為真，即承受無病判斷，否則拒絕。假設(shè)為真而統(tǒng)計指標(biāo)落在正常時對應(yīng)的大