高等數(shù)學數(shù)二

1、高等數(shù)學一對一講義考試形式和試卷結構150分，考試時間為180分鐘.線性代數(shù) 約22%2015年數(shù)學二考試大綱 考試科目：高等數(shù)學、線性代數(shù) 一、試卷滿分及考試時間：試卷滿分為二、答題方式：答題方式為閉卷、筆試.三、試卷內容結構：高等教學約78%四、試卷題型結構8小題，每小題4分，共32分6小題，每小題4分，共24分9小題，共94分試卷題型結構為：單項選擇題填空題解答題（包括證明題）高等數(shù)學一、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內容函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質及其圖形初等函數(shù) 函數(shù)關系的建立數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質函數(shù)的左

2、極限與右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限： TOC o 1-5 h z sin x1lim =1 lim 1 -= eT XX）函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質考試要求.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立應用問題的函數(shù)關系. 了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限

3、之間的關系.掌握極限的性質及四則運算法則.掌握極限存在的兩個準則， 并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型. 了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質.二、一元函數(shù)微分學考試內容導數(shù)和微分的概念導數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系平面曲線的切線和法線導數(shù)和微分的四則運算基本初等函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分

4、法高階導數(shù)一階微分形式的不變性 微分中值定理 洛必達（LHospital ）法則 函數(shù)單調性的判別 函數(shù)的極值 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值弧微分 曲率的概念曲率圓高等數(shù)學一對一講義與曲率半徑考試要求.理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導 性與連續(xù)性之間的關系.掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.了解 微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分. 了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù).

5、會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù).理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理， 了解并會用柯西（Cauchy ）中值定理.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最 大值和最小值的求法及其應用.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間（ab）內，設函數(shù)f（x）具有二階導數(shù).當f（刈0時，f的圖形是凹的；當f（x）0時，f（x）的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形. 了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概

6、念，會計算曲率和曲率半徑.三、一元函數(shù)積分學考試內容：原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質 定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導數(shù)牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 反常（廣義）積分 定積分的應用考試要求：.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元 積分法與分部積分法.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分.理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式.

7、了解反常積分的概念，會計算反常積分.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋 轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等） 及函數(shù)的平均值.四、多元函數(shù)微積分學考試內容：多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法二階偏導數(shù) 多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質和計算考試要求：了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質.高等數(shù)學一對一

8、講義了解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念，會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微 分，了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù).了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值， 會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）.五、常微分方程考試內容：常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程一階線性微分方程 可 降階的高階微分方程線性微分方程解的性質及解的結構定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于

9、二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程的簡單應用考試要求：. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程.會用降階法解下列形式的微分方程：y=f（x），y= f（x，y）和y=f（y,y）.理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分 方程.會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù) 非齊次線性微分方程.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.線性代數(shù)一、行列式考試內容：行列式的

10、概念和基本性質行列式按行（列）展開定理考試要求：. 了解行列式的概念，掌握行列式的性質.會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式.二、矩陣考試內容：矩陣的概念 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 方陣的哥方陣乘積的行列式矩陣的轉置 逆矩陣的概念和性質矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣 矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運算考試要求：.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱 矩陣和正交矩陣以及它們的性質.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的哥與方陣乘積的行 列式的性質.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆

11、的充分必要條件.理解伴隨矩陣的 概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣. 了解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概 念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法. 了解分塊矩陣及其運算.高等數(shù)學一對一講義三、向量考試內容：向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的極大線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系向量的內積線性無關向量組的的正交規(guī)范化方法 考試要求：1,理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念.理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及 判別法.了解向量組的極大線性無關組和向量組

12、的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩的關系.了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特（ Schmidt）方法.四、線性方程組考試內容：線性方程組的克拉默 （Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構齊次線性方程組的基礎解系和通解非齊次線性方程組的通解考試要求：.會用克拉默法則.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎解系和通解的 求法.理解非齊次

13、線性方程組的解的結構及通解的概念.會用初等行變換求解線性方程組.五、矩陣的特征值及特征向量考試內容：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質 相似矩陣的概念及性質矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣考試要求：.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣特征值和特征向量.理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對 角矩陣.理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質.六、二次型考試內容：二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣二次型的秩 慣性定理 二次型的標準形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標準形二次型及其矩陣的

14、正定性考試要求：了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正 交變換和配方法化二次型為標準形.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法.高等數(shù)學一對一講義高等數(shù)學大體框架. 一元函數(shù)微積分學一元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)(基礎)；一元函數(shù)微分學：導數(shù)和微分、導數(shù)的應用；一元函數(shù)積分學：不定積分、定積分、定積分的應用。.多元函數(shù)微積分學(1)多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù)；(2)多元函數(shù)微分學：偏導數(shù)、全微分、應用、極值；(3)多元函數(shù)積分學：二重積分及其應用.常微分方程一階(可分離變量、齊次方

15、程、一階線性)；高階(二階常系數(shù)線性)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第一節(jié)函數(shù)1.基本概念 鄰域與去心鄰域： 設6是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-6,a+6)為點a的6鄰域，記作U (a, 5).點a的5鄰域去掉中心a后，成為a的去心6領域，記作U (a,6).函數(shù)：設數(shù)集D u R,若每個xw D ,按對應法則f，總有唯一確定的值 y與之對應，這個值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作 f (x),即y = f(x).三種特殊的函數(shù)：-1, x ： 0(1)符號函數(shù) y=sgnx =J0, x = 0 ,特別地 | x |= xsgn x .J, x0一，1, x Q(2)狄利克雷(Dirichlet )函數(shù)

16、D (x) =40, x R Q(3)取整函數(shù) y =x . x10 , VxW D ,有| f(x)| M ，則 f(x) 有界；若 /M A0 ,三/ w D ,有 | f (x0)|A M ,則 f(x)無界.(2)單調性設f (x)的定義域為D , Vx，x2乏D且x1 x2,若有f (x1) f (x2),則稱f (x)在D上單調減少.(3)奇偶性設函數(shù)f(x)的定義域D關于原點對稱.VxwD,若有f(-x)= f(x),則f(x)為偶函數(shù)；若有f(x) =f(x),則f (x)為奇函數(shù).奇偶函數(shù)的基本運算性質：奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇

17、函數(shù)；偶數(shù)個奇(或偶)函數(shù)之積是偶函數(shù)，奇數(shù)個奇函數(shù)之積是奇函數(shù).(4)周期性設f (x)的定義域為D,若三丁 0 , VxWD,x+T d D ,有f(x + T) = f (x),則稱f(x)為周期函數(shù)，T為周期.常見函數(shù)(1)反函數(shù)設y = f (x)為單調函數(shù)，由y = f (x)解出x =中(y),稱x = 9(y)為函數(shù)y = f (x)的反函數(shù)，記作y = f(x).(2)復合函數(shù)設函數(shù)y=f(u)的定義域為 D1，函數(shù)u=g(x)在D上有定義，且 g(D)uD1，則y =( f g)(x) = f g(x)為復合函數(shù).(3)基本初等函數(shù)(5類)哥函數(shù)：xa ( a亡R是常數(shù))；

18、x指數(shù)函數(shù)：a (20且2#1)；對數(shù)函數(shù)：loga x (20且2*1);三角函數(shù)： sin x , cosx , tanx , cotx , secx , cscx ；反三角函數(shù): arcsin x , arccosx , arctanx , arc cot x .(4)初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而構成的式子稱為初等函數(shù).(5)哥指函數(shù)y = f(x)g(x),在后期求導和求極限的過程中，一般將函數(shù)轉化為：y = eg(x)1n f(x).高等數(shù)學一對一講義第二節(jié)極限考研數(shù)學中求極限的題目不少于10分，至少有一道大題.1.極限的定義（1）數(shù)列極限n-N 定義

19、：lim an =aun ?.例1 （2014年數(shù)三）若 lim ann :,=a,且a=0,則當n充分大時有（）Vs 0 ,三N w Z+,當 n a N 時，有 |an a |父名.anan一1(C) ana n（2）函數(shù)極限自變量趨于有限值lim f (x) = Au Vs 0 ,X_X336 0 ,當 0|乂一|6 時，有 |f(x) A| ,m6 a 0 ,當 x0 6 x x0 時, x兇一有| f (x) -A|0 ,三6 a 0 ,當 x0 x x0 +6 x陶時，有| f (x) -A|0,三X 0 ,當 | x|X 時，有 | f (x) A|0 X 0 ,當 x X 時，

20、有 | f (x) A|0 , mX 0 ,當 x X 時，有 | f (x) A|名. x一.極限的性質(1)數(shù)列極限的基本性質(唯一性)極限若存在必唯一.(有界性)若lim an存在，則三M 0 ,使| an |M M ,反之不對.n 二n若數(shù)列an無界，則& 一定發(fā)散.（保萬性）1：若m an=a，且a0（或a 0 nnn n n(或 an 0 (anE0),且liman=a,則a0 (或aE0) nnnn 二(收斂列與子列極限的關系)若lim an = a ,則它的任一子列極限存在且為 a .n 二使用較多的是：若數(shù)列an有兩個子列收斂于不同的極限，則數(shù)列an是發(fā)散的.lim an =

21、 a = lim a2n 1 = lim a2n = a .n_ -n一 n_j ：例2設an =(_1)n研究lim an是否存在. nn_j(2)函數(shù)極限的基本性質(唯一性)極限若存在必唯一.(局部有界性)若lim f (x)存在，則35 A0及M A0 ,當0/ x-x0 6時，| f (x)|0 (或A 0 ,使得當0|x x|6 時，有 f(x)0 (或 f (x) 0(或f(x) E0),且m ()f Ac =，則A之0(或AM0). x的 TOC o 1-5 h z .I A I1 :若 lim f (x) = A(A#0),則則0 ,使得當 0 |x x | J一!xxO2(函

22、數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)lim f(x) = A= Vxn乏U (x0, 6) , lim xn = x0,都有jxn-：xex 皿有 g(x) #u,則媽 f g(x) =lim f (u) = A .x ;A0u .u。(4)極限存在準則高等數(shù)學一對一講義(夾逼準則)1：設 bnanWg 且 lim bn=lim cn= a ,則 lim an=a . n_ .， n 二， n 二1：設 f (x) E g (x) E h(x),且 lim f (x) = lim h(x) = A ,則 lim g(x) = A.1 lim( n n 1. J hm x一. T x(單調有界定理)單調有界

23、數(shù)列必有極限.單調遞增有上界，數(shù)列極限存在；單調遞減有下界，數(shù)列極限存在 例5數(shù)列也,2十點,。2十JT:72 ,的極限存在.兩個重要極限和一些重要結論兩個重要極限:limx_0sin x1=1,lim(1 + x)x =e (或 lim(1x 0 x_:二1+ -)x =e，仔型). xsin x 求 lim .xx1 kx 求 lim(1 -).(2)重要結論 lim qn =0 (|q|0,則P是關于口是的k階無窮小. a(2)無窮小的性質無窮小的基本性質有限個無窮小的和、差、積還是無窮?。挥薪绾瘮?shù)與無窮小之積是無窮??；常數(shù)與無窮小之積是無窮小 .等價無窮小的性質(自反性)： |_| ：

24、.(對稱性)若u|JP,則Pot.(傳遞性)若uLJB,沌,則BUY.-1|.:|:(替換性)若 口 |_口，且 lim)存在，則 lim = lim . aa a(重要性質)- o(-).常用等價無窮小x2當 xt 0 時，x Lsinx _tanx _ arcsinx_l arctanxL ln(1 + x)U ex -1, 1 -cosxL ,(1 x)- L : x , ax -1 LI x ln a10高等數(shù)學一對一講義例10,tan x - sin x求 hm 2x 0 ln(1 x )sin x第三節(jié)連續(xù)1.基本概念(1)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù) y = f (x)在 x0 處連續(xù) u

25、I i mAy = 0 l i m x(= )f 0 x冷學名 a 36 0 ,當 0 , .x0 x)0 x|x% |6 時，有 | f (x) f (%)|Xq第一類間斷點：f (x0 0)與f (% + 0)都存在11高等數(shù)學一對一講義可去間斷點：f (x0 -0)= f(x0 + 0)(#f (x0)；跳躍間斷點：f(% 一0) = f(% 0).第二類間斷點：f (x0 0)與f (x0 +0)至少有一個不存在2例12討論f(x)= x Zx 的間斷點,并判斷類型.|x|(x2 -1)2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質一般用于證明題.(有界性與最大最小值定理)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界且一定能取得最大值和最小值(零