3連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題

1、 第三講連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題一、預(yù)備知識(shí)動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題歷來是數(shù)學(xué)家們關(guān)注的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題。從17世紀(jì)末的伯努利，到20世紀(jì)50年代的貝爾曼和龐特里亞金，中間經(jīng)過拉格朗日、歐拉等一大批數(shù)學(xué)家的努力，才使動(dòng)態(tài)最優(yōu)化理論日臻完善。20世紀(jì)初，在拉姆齊(1928)的工作之后，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技巧才被廣泛地引入到經(jīng)濟(jì)學(xué)中來，目前，這些技巧已是大多數(shù)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)家不可或缺的工具。上一節(jié)，我們探討了離散時(shí)間的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題，介紹了古典的拉格朗日乘數(shù)法和比較現(xiàn)代的貝爾曼方程法。本節(jié)我們將在連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題中，也介紹兩種方法，他們是古典的變分法和比較現(xiàn)代的漢密爾頓最大值原理。下面分別介紹這兩種方法。二、連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)

2、最優(yōu)化問題的描述例1索羅(Solow)新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的一個(gè)明顯缺陷是把儲(chǔ)蓄率看成是外生給定的。事實(shí)表明，儲(chǔ)蓄率不是常數(shù)。為了將儲(chǔ)蓄率內(nèi)生化，堪斯(Cass，1965)和庫普曼斯(Koopmans，1965)利用拉姆齊(Ramsey,1928)倡導(dǎo)的最優(yōu)化方法，將儲(chǔ)蓄率看作是由家庭和企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)上追求自身利益最大化的結(jié)果，以此證明儲(chǔ)蓄率是由模型決定的內(nèi)生變量。假設(shè)經(jīng)濟(jì)包含兩個(gè)部門，家庭和企業(yè)，家庭通過提供勞動(dòng)服務(wù)從企業(yè)取得工資，通過提供資產(chǎn)獲得利息。家庭收入分成消費(fèi)和儲(chǔ)蓄兩部分。家庭在預(yù)算約束條件下按照消費(fèi)效用最大化的原則進(jìn)行消費(fèi)和投資決策。家庭生命是無限期的。家庭大小與成年人口數(shù)量對(duì)應(yīng)，

3、成年人口按給定(外生)不變的速度增長(zhǎng)，為方便其見，人口的變化規(guī)律由下式確定：L(t)=ent這里，假設(shè)初期人口數(shù)量為1，然后按等比級(jí)數(shù)遞增，n為人口增長(zhǎng)率。C(t)表示t時(shí)刻的消費(fèi)，c()=C(t)/L(t)表示人均消費(fèi)。消費(fèi)者問題是：(MaxUL(t)LIsuL(t)ent-e-ptdtc(t)0a二w+ra-c-na(1)此處，“(c)是c的增函數(shù)并滿足邊際效用遞減規(guī)律，“(c)滿足稻田條件：limu(c)=s,limu(c)=0ctOcs即當(dāng)c趨于零時(shí)，邊際效用趨于無窮大，當(dāng)c趨于無窮大時(shí)，邊際效用趨于零。Uc(t)表示家庭的總效用；表示人均凈資產(chǎn)；尸(0表示資產(chǎn)收益率；w(t)表示工資

4、率；p0表示時(shí)間偏好率，其含義是，時(shí)間越久遠(yuǎn)，效用的貼現(xiàn)值越少，p也叫做主觀貼現(xiàn)率。通常假設(shè)pn以保證家庭總效用在消費(fèi)給定時(shí)是有界的1。最優(yōu)化問題(1)的另一種表達(dá)形式可以將由第二方程求得的消費(fèi)c代入到第一個(gè)方程獲得：(2)MaxUlc(t)=Julw+ra-na-a)1ente-pdtc(t)0=JFt,a(t),a(t)ht0這就是目標(biāo)函數(shù)的泛函表示最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為：MaxVa(t)=Julw+ra一na一a)en-e-pdta(t)0=JFt,a(t),a(t)t0例2喬根森(利潤最大化)模型在喬根森的新古典投資理論中，假設(shè)企業(yè)利用資本K和勞動(dòng)L進(jìn)行生產(chǎn)，其生產(chǎn)函數(shù)具有新古典生產(chǎn)函數(shù)Q=

5、Q(K,L)形式。新古典生產(chǎn)函數(shù)遵循三個(gè)假設(shè)，即：(1)邊際生產(chǎn)力大于零；(2)邊際生產(chǎn)力遞減；(3)規(guī)模報(bào)酬不變。P表示產(chǎn)品價(jià)格；M表示資本品價(jià)格;W表示勞動(dòng)力的工資；S表示資本折舊率。則企業(yè)的投資與資本的關(guān)1注：因此，貼現(xiàn)因子可以寫成e以為底的指數(shù)形式，目的是為了便于計(jì)算。系為I二K+K在任意時(shí)刻企業(yè)的凈收益為PQ(K,L)-WL-M(Kr+5K)如果企業(yè)貼現(xiàn)率r,未來凈收益的貼現(xiàn)值可表示為:N(K,L)=JsPQ(K,L)-WL-M(K-5KI-pdt=JsF,K(t),L(t),K(t)dt0是目標(biāo)泛函F的廣義積分。maxV(K,L)=IpQ(K,L)-WL-M(K-5KI-adtK(

6、t),L(t)0=fL,K(t),L(t),K(t)dt0N(K,L)=JsPQ(K,L)-WL-MII-pdt0I=K+5K該最優(yōu)化問題還可以寫成：maxN(K,L)=代F(t,K(t),L(t),I(t)dtK,L0K(t)=I(t)-5K(t)(4)(3)一般來說，泛函積分可以表示為兩種方式：一種是將泛函積分表示，如（2）和（3）的表示的最優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)是路徑及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。另一種表示，如（1）和（4）所示，目標(biāo)函數(shù)是控制變量和狀態(tài)變量的函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)受轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)方程的約束。三、變分法31變分問題的一般形式前面所述的最優(yōu)化問題可以用目標(biāo)泛函來表示：maxV【y=jTFIt,y(t),y

7、(t)lfty0且滿足初始條件：y(0)=A,y(T)=z目標(biāo)函數(shù)Vy是路徑y(tǒng)(t)的函數(shù)。我們的目的是選擇一條路徑使積分表達(dá)式(5)達(dá)到最大。由于變分法是利用微積分的工具發(fā)展而來，泛函極值問題是函數(shù)極值問題的發(fā)展和推廣，所以，我們要求被積函數(shù)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)。我們知道，使函數(shù)達(dá)到最大值的點(diǎn)是極值點(diǎn)，所以，使泛函達(dá)到極值的曲線或者路徑為極值曲線或極值路徑。32預(yù)備知識(shí)對(duì)含參變量X積分:I(x)=fbF(t,x)dtIadI=I(x)=fbF(t,x)dtdxax如果a,b也看作是參變量，則I(a,b)=fbF(t,x)dta哲=F(b,x)dbdI耐、da分步積分公式:Jvdu=vu-fud

8、v復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：對(duì)于Flx(t),y(t),z(t)，有TOC o 1-5 h zdFQFdxdFdy6Fdz=+dtQxQtQydtQzdt由于函數(shù)FL,y(t),y，(t)是(t,y,y，)的函數(shù)，而y,y，都是t的函數(shù)，所以，F(xiàn)和F嘟是t的復(fù)合函數(shù)。因此，我們有dFQFQFdyQFdy，y-=y-+y-+y-dtQtQydtQy，dt33歐拉方程的推導(dǎo)第一步，將求極值曲線的問題變換為求極值點(diǎn)的問題。假設(shè)y*(t)是已知的極值曲線，我們的目的是找到這條曲線所滿足的必要條件。任意選取連接(0,A)和(0,Z)點(diǎn)的擾動(dòng)曲線p(t),則可以構(gòu)造極值曲線的鄰近路徑：y(t)=y*(t)+e-p(

9、t)y，(t)=y*(t)+e-p(t)其中,s是一個(gè)任意小的數(shù)，當(dāng)它趨于0時(shí)，y(t)Ty*(t)對(duì)于給定的y*(t)和p(t)，每一個(gè)s對(duì)應(yīng)于一條鄰近路徑y(tǒng),從而確定泛函的特定值。于是，泛函就成了s的函數(shù)V=V(s)，其表達(dá)式為：V(s)=JtfLy*(t)+s-p(t),y*(t)+s-p(t)Jt0在E=0點(diǎn)達(dá)到由于極值曲線y*(t)對(duì)應(yīng)點(diǎn)E=0，所以，函數(shù)V二V()最大值，根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，必有：dtdV蘭力=Jt(竺空+竺空dE0dE0QyQedydE丿QFP(t)+QFp(t)dt=丿或者p(t勸+p(t)dt=ooQyoQy第二步：進(jìn)行分步積分根據(jù)分步積分法，上式的第

10、二個(gè)積分可以簡(jiǎn)化為-jTp(t)1竺dtodtQynQFp(t)dt=n獸dp(t)=獸p(t)0Qy0QyQy=-Tp(t)0dQFdtQydt代入()式，可得：dQFdtQyp(t)dt=0丿第三步：求歐拉方程上式包含附加任意函數(shù)p(t，)泛函積分達(dá)到最優(yōu)的條件應(yīng)該不依賴于附加函數(shù)p(t),事實(shí)上，我們可以證明QFdQF.=0QydtQy為證明上述結(jié)論，我們證明下面的引理如果給定函數(shù)f(t)和任意函數(shù)g(t)滿足：fT0ddFdtdyp(t)dt二0丿fTf(t)g(t)dt=0,貝泌有f(t)=0.0證明(反證法)：如果f(t)豐0,不失一般性，我們假設(shè)存在一點(diǎn)t。使f(t0)0，由于f

11、(t)是連續(xù)函數(shù)，所以必然存在一個(gè)充分小的數(shù)5使f(t)在區(qū)間(t-8,t+6)上，滿足f(t)0。下面我們構(gòu)造函數(shù)：g(t)=1當(dāng)tg(t-5,t+5)00g(t)=0，當(dāng)t電(t-5,t+5)00fTf(t)g(t)dt=ft0-50dt+ft0+5f(t)dt+fT0dt=ft0+5f(t)dt0，這與原假00t0-5t0+5t0-5設(shè)矛盾，所以，f(t)=0成立。由于冒-dt轄就相當(dāng)于f(t)，所以，等+dt糾0。這就是泛函積分最優(yōu)的一階條件，也稱歐拉方程。第四步，歐拉方程的另一種表達(dá)方式由于TOC o 1-5 h zddFdFOFdFdyFdy=宜=宜+注dtdydtdtdydtdy

12、dt=F+Fy(t)+Fy(t)tyyyyy所以，竺+蘭竺=0被改寫成dydtdyF+Fy(t)+Fy(t)-F=0tyyyyyy例1假設(shè)消費(fèi)者的即時(shí)效用函數(shù)u(c)=晉2。則最優(yōu)化問題MaxVla(t)=Julw+ra-na-a)ente-pdta(t)0=JFt,a(t),a(t)l/t0對(duì)應(yīng)的泛函是：1-9FL,a(t),a，(t)=(w+ra-na一a=一9e-(p-n)tdF=(r一n)(w+ra一na一a)-9e-(p-n)tda=(r-n)c-9e-(p-n)tdF=-(w+ra一na一a)-9e-(p-n)t=-c-9e-(p-n)tdaddF=(p-n)(w+ra-na-a)

13、-9e-(p-n)t+9(w+ra-na-a)-1-9(r-n)ae-(p-n)tdtda-9(w+ra-na-a)-1-9de-(p-n)t=(p-n)(w+ra-na-a)-9e-(p-n)t+9(w+ra-na-a)-1-9(r-n)ae-(p-n)t-9(w+ra-na-a)-1-9de-(p-n)t=(p-n)c-9e-(p-n)t+9c-1-9Ce-(p-n)tC=(r一n)aa根據(jù)歐拉方程：(r-n)c-9e-(p-n)t=(p-n)c-9e-(p-n)t+9c-1-9ce-(p-n)t(r-p)c-9e-(p-n)t=(p-n)c-9e-(p-n)t+9c-1-9ce-(p-n

14、)t(rp)c-9=9c-1-9cc/c=(1/9)(r-p)2此表達(dá)式中的“-1”僅僅是為了表達(dá)方便，因?yàn)楫?dāng)9趨于1時(shí)，u(c)趨于lcg(c)這個(gè)結(jié)果可以用洛比達(dá)法則證明。然而，由于家庭選擇關(guān)于效用函數(shù)的線性變換的不變性，忽略一一9丿不會(huì)影響結(jié)論。消費(fèi)者的人均消費(fèi)路徑，由資產(chǎn)收益率和時(shí)間偏好率之差決定。四、最大值原理如上所述，企業(yè)利潤最大化和消費(fèi)者的效用最大化也可以用另外一種形式表達(dá)。以效用最大化為例。消費(fèi)者的最優(yōu)化問題可以寫成：目標(biāo)函數(shù)：maxV(0)二JTft,k(t),c(t)dtc(t)0轉(zhuǎn)移方程：k(t)二gt,k(t),c(t)初始條件：k(0)二k0k(T)e-r(T)-T0

15、其中V(0)是由初始時(shí)刻0看出的目標(biāo)函數(shù)值，是在0和t之間適用的平均貼現(xiàn)率，T是計(jì)劃終端時(shí)期，它可以是有限或無限的。關(guān)于有限或無限期界之間的區(qū)別，另行討論。變量k(t)是狀態(tài)變量，變量c(t)是控制變量。它們都是時(shí)間的函數(shù)。(A55a)式中的目標(biāo)函數(shù)是瞬時(shí)幸福函數(shù)在0到T期間內(nèi)的積分。這些幸福函數(shù)依次依賴于狀態(tài)和控制變量k(t)和c(t)以及時(shí)間t.轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)是一個(gè)關(guān)于資本的k(t)的微分方程；這一約束表示了控制變量c(t)的選擇是如何影響狀態(tài)變量k(t)的運(yùn)動(dòng)模式。這一關(guān)于k(t)的表達(dá)式被稱為轉(zhuǎn)移方程或運(yùn)動(dòng)方程。盡管我們只寫出了一個(gè)轉(zhuǎn)移方程，但實(shí)際上有一個(gè)約束的連續(xù)統(tǒng)，0到T之間的每個(gè)時(shí)點(diǎn)上

16、一個(gè)約束。初始條件給出了狀態(tài)變量k(t)的初始值，即狀態(tài)變量的初始狀態(tài)。最后一個(gè)約束是說在計(jì)劃期界結(jié)束時(shí)所選擇的狀態(tài)變量k(t),以r(T)的速度貼現(xiàn)后必須為非負(fù)。對(duì)于有限的T值，只要貼現(xiàn)率是正且有限的，這一約束就意味著k(T)0。如果k(t)代表一個(gè)人的凈資產(chǎn)且T為這個(gè)人的壽命，約束就排除了負(fù)債死亡的可能性。如果計(jì)劃期界是無限的，那么該條件顯示凈資產(chǎn)可以為負(fù)而且可以在數(shù)值上永遠(yuǎn)增長(zhǎng)下去，只要其增長(zhǎng)率小于r(t)。這一條件排除了連環(huán)信貸或蓬齊負(fù)債手段。41.一階條件的試探性推導(dǎo)仿照非線性最優(yōu)化問題的靜態(tài)解法庫恩塔克條件，我們構(gòu)造類似的拉格朗日函數(shù)L=Tft,k(t),c(t)dt+JTi(t)

17、-(gt,k(t),c(t)-k(t)ht+v-k(T)-e-r(t)-t00此處，卩(t)、v分別是對(duì)于于轉(zhuǎn)移方程和生命總結(jié)時(shí)的資產(chǎn)約束的拉格朗日乘數(shù)。由于時(shí)間變量是連續(xù)的，所以，在0到T期之間的每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上約束條件都成立，所以相應(yīng)就有連續(xù)統(tǒng)的拉格朗日乘子卩(t)、v，被稱為共狀態(tài)變量或動(dòng)態(tài)拉格朗日乘子。與靜態(tài)情形類似，這些共狀態(tài)變量可被理解為影子價(jià)格：U(t)是在t時(shí)的1單位資本存量的增加，以在0時(shí)的效用單位表示的價(jià)格或價(jià)值。由于每個(gè)約束都等于0，每個(gè)乘積也等于0。因此所有約束的總和等于0：JTi(t)-(gt,k(t),c(t)-k(t)L=00為了找到靜態(tài)問題中的一階必要條件，我們將對(duì)

18、0到T之間的所有t把L對(duì)c(t)和k(t)最大化。這種方法的問題是我們并不知道如何取對(duì)k的導(dǎo)數(shù)。為了避免這個(gè)問題，我們通過項(xiàng)分部積分可以把拉格朗日函數(shù)改寫為L(zhǎng)=JTfIt,k(t),c(t)Jdt+JTfi(t)-(gt,k(t),c(t)-k(t)h+v-k(T)-e-r(t)-t=JTfL,k(t),c(t)1+i(t)-(gt,k(t),c(t)dt-JTi(t)-(t)dt+v-k(T)-e(t)-t=JTft,k(t),c(t)1+i(t)(gt,k(t),c(t)dt+JT|L1(t)-k(t)dt+卩(0)-k-卩(T)-k(T)+v-k(T)e-r(T)-T00第一個(gè)積分符號(hào)內(nèi)

19、的表達(dá)式被稱為漢密爾頓函數(shù)，記作：H(k,c,t,i)三ft,k(t),c(t)+ig(t,k(t),c(t)漢密爾頓函數(shù)有一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋(參見多夫曼1969).在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上，消費(fèi)者消費(fèi)C(t)且擁有資本存量k(t)。這樣兩個(gè)變量通過兩條渠道影響到效用。第一，消費(fèi)和資本對(duì)效用的直接貢獻(xiàn)，第二，消費(fèi)的選擇通過轉(zhuǎn)移方程，影響到資本存量的變化。而資本存量的變化的價(jià)值正是資本存量的變化與影子價(jià)格的乘積。有了漢爾密頓函數(shù)之后，拉格朗日函數(shù)可改寫為L(zhǎng)=JTfHIt,k(t),c(t)1+i(t)k(t)dt0+i(0)k-i(T)k(T)+vk(T)e-r(T)70令k*(t)和c*(t)分別為狀態(tài)變量和

20、控制變量的最優(yōu)時(shí)間路徑。如果我們以一任意的擾動(dòng)函數(shù)p(t)來擾動(dòng)最優(yōu)路徑c*(t)，那么我們可以生成一個(gè)對(duì)控制變量而言的相鄰路徑：c(t)=c*(t)+ep(t)1當(dāng)c(t)被擾動(dòng)時(shí)，根據(jù)預(yù)算約束，就產(chǎn)生了對(duì)k(t)和k(T)的相應(yīng)擾動(dòng)：k(t)=k*(t)+s-p(t)t2k(T)=k*(T)+p(T)t2其中，8是一個(gè)任意小的數(shù)，當(dāng)它趨于0時(shí)，c(t)TC*(t)，k(t)Tk*(t)k(T)Tc*(T)對(duì)于給定的C*(t)和k*(t)，每一個(gè)8對(duì)應(yīng)于一條鄰近路徑，從而確定泛函的特定值L(8)。于是，泛函就成了8的函數(shù)L=L(8)，其表達(dá)式為:L(8)=JTht,k(t),c(t)1+|H

21、(t)-k(t)dt0+卩(0)k-卩(T)k(T)+vk(T)=JT,k*(t)+8p(t),c*(t)+8p(t)1+(t)k*(t)+8p(t)dt0112+p(0)k一卩(T)k*(T)+8p(T)+vk*(T)+8p(T)e-r(t)7022現(xiàn)在我們可以取拉格朗日函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)并令其為0：dL8)=JT,k*(t)+8p(t),c*(t)+8p(t)1+|L1(t)k*(t)+8p(t)dtd80212+p(0)k-p(T)k*(T)+8p(T)+vk*(T)+8p(T)=jTHLk*(t)+8p2(t),c*(t)+8p(tJ+(t)k*(t)+8p2(t)dt0I說13I-卩(T)p(T)+vp(T)22這里利用了微積分的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即竺二業(yè)+業(yè)上p(t)+竺p(t)08QcdtOkdcQc1Ok2化簡(jiǎn)得dcdk響=JT(p(t)+嚴(yán)Lk)，c*(t)打(t)1.p(t)；dde0AciRk2+7(T)+vp(T)2=0竽j)+e+卩(t+p(t計(jì).ddeaIdc1IdkI2I+*(T)+ve-r(T)-Tp(T)2=0由于p(t),p(t)是任意的，所以，只有當(dāng)方程中的每個(gè)分量都