導數(shù)的基本公式和運算法則課件

1、微積分講義設(shè)計制作王新心7/31/20223.3 導數(shù)的基本公式和運算法則（七）導數(shù)公式（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則（二）復合函數(shù)的求導法則（三）反函數(shù)的求導法則（四）隱函數(shù)的求導法則（五）對數(shù)求導法則（六）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法則（八）綜合雜例7/31/2022第三章 導數(shù)與微分設(shè)（為常數(shù)）（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則1、常數(shù)的導數(shù)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分2、冪函數(shù)的導數(shù)設(shè)（為正整數(shù)），由二項式定理知以后可以證明，為任何實數(shù)公式也成立。7/31/20223、代數(shù)和的導數(shù)第三章 導數(shù)與微分設(shè)可導，則也可導，且證明證畢.7/31/2022此公式可以推廣到有限個函

2、數(shù)的情形第三章 導數(shù)與微分例1求函數(shù)的導數(shù)解7/31/20224、乘積的導數(shù)第三章 導數(shù)與微分設(shè)可導，則也可導，且證明7/31/2022第三章 導數(shù)與微分證畢.可導一定連續(xù)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分乘積公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形特別地（為常數(shù)）例2求的導數(shù)解7/31/20225、商的導數(shù)第三章 導數(shù)與微分設(shè)可導，則也可導，且證明且7/31/2022第三章 導數(shù)與微分可導一定連續(xù)可導一定連續(xù)證畢.7/31/2022第三章 導數(shù)與微分特別地（為常數(shù)）例3求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例4求的導數(shù)解7/31/20226、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)第三章 導數(shù)與微分設(shè)7/31/202

3、27、三角函數(shù)的導數(shù)第三章 導數(shù)與微分（1）設(shè)連續(xù)同理可得（2）設(shè)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（3）設(shè)同理可得（4）設(shè)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（5）設(shè)（6）設(shè)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例5求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分設(shè)是的一個復合函數(shù)若在處有導數(shù)則在對應(yīng)點處有導數(shù)復合函數(shù)在點處的導數(shù)也存在，且或?qū)懗桑ǘ秃虾瘮?shù)的求導法則7/31/2022第三章 導數(shù)與微分則所以故證明因為在點處可導，（當時，）所以證畢.可導一定連續(xù)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分此法則可推廣到多個中間變量的情形若鏈式法則關(guān)鍵弄清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導7/31/202

4、2第三章 導數(shù)與微分例6求的導數(shù)解設(shè)例7求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例8求的導數(shù)解例9求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例10求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例11求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分解例12設(shè)存在，導數(shù)求的7/31/2022第三章 導數(shù)與微分證例13證明（為任意常數(shù)）證畢.7/31/2022第三章 導數(shù)與微分設(shè)在點處可導，且則又設(shè)反函數(shù)在相應(yīng)點處連續(xù)，存在，且或（三）反函數(shù)的求導法則7/31/2022第三章 導數(shù)與微分證設(shè)反函數(shù)的自變量取得改變量時，因變量取得相應(yīng)的改變量，當時，必有，否則由得因為函數(shù)的變量是一一對應(yīng)的，所

5、以這與的假設(shè)相矛盾。7/31/2022第三章 導數(shù)與微分因此，有當時，再由假設(shè)得當時，又由的連續(xù)性知，證畢.7/31/2022第三章 導數(shù)與微分反三角函數(shù)的導數(shù)（1）由于的反函數(shù)是7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（2）同理可得（3）（4）7/31/2022第三章 導數(shù)與微分解例14求的導數(shù)例15求的導數(shù)解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（四）隱函數(shù)的求導法則且可導，設(shè)方程 確定了是的函數(shù)，并再利用復合函數(shù)的兩邊同時對求導，求導公式可求隱函數(shù)對的導數(shù)。7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例16方程確定是的函數(shù)，求解方程兩邊同時對求導解得是的函數(shù)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例17方

6、程確定是的函數(shù)，求解方程兩邊同時對求導解得7/31/2022第三章 導數(shù)與微分求其曲線上點處的切線和法線方程例18方程確定是的函數(shù)，解方程兩邊對求導得切線方程法線方程7/31/2022第三章 導數(shù)與微分指數(shù)函數(shù)的導數(shù)設(shè)兩邊取對數(shù)，寫成隱函數(shù)的形式兩邊對求導解得7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例19求函數(shù)的導數(shù)解例20求函數(shù)的導數(shù)解例21方程確定是的函數(shù)，求解方程兩邊對求導解得7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（五）對數(shù)求導法則例22求函數(shù)的導數(shù)兩邊取對數(shù)，寫成隱函數(shù)的形式兩邊對求導解得解此函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)稱其為冪指函數(shù)。不能用冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的求導公式，7/31/2022第

7、三章 導數(shù)與微分例23求函數(shù)的導數(shù)兩邊對求導解此函數(shù)若直接求導會很復雜。兩邊取對數(shù)（設(shè)）7/31/2022第三章 導數(shù)與微分解得當時，當時，用同樣的方法求導可得與上面相同的結(jié)果。7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（六）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則若參數(shù)方程確定是的函數(shù)，則稱此函數(shù)關(guān)系為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。設(shè)有連續(xù)反函數(shù)又存在，且則有7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例24已知求解例25已知求解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（七）導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式7/31/2022第三章 導數(shù)與微分說明在公式中均為常實數(shù)。7/31/2022第三章 導數(shù)與微分說明在公式中為常實數(shù)，運

8、算法則均為函數(shù)。7/31/2022第三章 導數(shù)與微分（八）綜合雜例例26設(shè)求解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例27設(shè)求解函數(shù)，求例28確定是的解整理得7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例29設(shè)求解當時，當時，當時，當時，7/31/2022第三章 導數(shù)與微分由上節(jié)例10知不存在，不存在，故有7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例30已知可導，求解其中為常數(shù)7/31/2022第三章 導數(shù)與微分例31已知若求證證證畢.7/31/2022第三章 導數(shù)與微分求當球半徑時，例32設(shè)球半徑以的速度等速增加，其體積增加的速度。解兩邊對時間求導當時（此題為相關(guān)變化率問題）7/31/2022內(nèi)容小結(jié)1.導數(shù)公式2.函數(shù)的求導法則3.隱函數(shù)求導法則4.對數(shù)求導法則作業(yè)P138 15-45第三章 導數(shù)與微分和、差、積、商反函數(shù)、復合函數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)7/31/2022備用題第三章 導數(shù)與微分1.已知則（2004）解7/31/2022第三章 導數(shù)與微分2.已知可導，解