控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)課件

1、 返回總目錄 第6章控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 采用MATLAB，不僅可以解決控制系統(tǒng)的分析問(wèn)題，還能解決控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，并使設(shè)計(jì)過(guò)程大大簡(jiǎn)化，大大提高設(shè)計(jì)效率。本章將詳細(xì)介紹如何利用MATLAB提供的功能函數(shù)進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。從內(nèi)容安排上，本章將分別介紹工程上幾種常見(jiàn)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法及其基本原理、設(shè)計(jì)步驟和相應(yīng)的MATLAB功能函數(shù)，然后分別以實(shí)例介紹控制系統(tǒng)的具體設(shè)計(jì)過(guò)程，并對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)和MATLAB仿真。 概 述 本章介紹控制系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，即在給定受控對(duì)象數(shù)學(xué)模型和系統(tǒng)性能指標(biāo)的條件下，采用MATLAB函數(shù)工具，設(shè)計(jì)一個(gè)能夠達(dá)到給定性能指標(biāo)的控制器(又稱為校正器或者調(diào)

2、節(jié)器)，也就是確定控制器的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。這里，受控對(duì)象數(shù)學(xué)模型主要是指?jìng)鬟f函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式；系統(tǒng)性能指標(biāo)主要包括頻域指標(biāo)(含增益裕量 、相位裕量 、剪切頻率 等)、時(shí)域指標(biāo)(含穩(wěn)態(tài)誤差 、靜態(tài)誤差系數(shù)K、超調(diào)量 、峰值時(shí)間 、調(diào)節(jié)時(shí)間 等)、最優(yōu)控制中的線性二次型指標(biāo)等。本章要設(shè)計(jì)的控制器主要包括常用的超前/滯后校正器(包括超前校正器、滯后校正器、滯后-超前校正器)、比例積分微分(PID)控制器(包括P、PI、PD、PID四種控制器)和線性二次型狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制器。設(shè)計(jì)超前/滯后校正器主要采用Bode圖設(shè)計(jì)法，設(shè)計(jì)PID控制器主要采用Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式，最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

3、主要是求解代數(shù)黎卡提(Riccati)方程。設(shè)計(jì)工具就是MATLAB提供的有關(guān)控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的功能函數(shù)。 概 述 單位負(fù)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖6.1所示。圖中控制器Gc(s)就是要設(shè)計(jì)的控制器，可以是超前/滯后校正器或者是PID控制器。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì)主要就是根據(jù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)、剪切頻率 及其相位裕量 、-180相位穿越頻率 及其增益裕量 來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，設(shè)在 處，若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值 =1，在Bode圖中即 ，則稱為系統(tǒng)的剪切頻率或者叫0dB線穿越頻率。Bode圖如圖6.2所示，相位裕量

4、 定義為 (6.1)式中， 表示系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性在 處的相位角。設(shè)在 處，若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的相位角 =180，則角頻率 稱為-180相位穿越頻率。Bode圖如圖6.2所示，增益裕量幅值 定義為 (6.2)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 增益裕量幅值 用分貝(dB)表示為 (6.3)在系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性中，通常用相位裕量 和增益裕量 來(lái)描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。根據(jù)自動(dòng)控制理論，若相位裕量 (0)越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越好，如圖6.2(a)所示；若 ，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若0，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的, 如圖6.2(b)所示。系統(tǒng)相位裕量 表示使系統(tǒng)達(dá)到臨界狀態(tài)所需要的附加相移。若增益裕量 (0)越大或

5、者 越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越好，如圖6.2(a)所示；若增益裕量 =0或者 =1，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若增益裕量 0或者 1，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，如圖6.2(b)所示。圖6.2 Bode圖超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 一. 超前校正器的Bode圖設(shè)計(jì)1. 超前校正器的基本特性超前校正器的等效RC電路如圖6.3所示，該電路的傳遞函數(shù)可為 (6.4)式中阻抗 容易看出， 總是小于1。那么，超前校正器的一般公式為 (6.5)超前校正器的幅頻特性和相頻特性分別為 (6.6) (6.7)圖6.3 超前校正器的等效RC電路超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 因 總是小于1，則相位角 總是大于0，所以又把該

6、校正器稱為相位超前校正器。幅值 取常用對(duì)數(shù)再乘以20，得到對(duì)數(shù)幅頻特性 (單位用分貝dB表示)為 (6.8)為了直觀表達(dá)超前校正器的幅頻特性和相頻特性，現(xiàn)在假設(shè)式6.5中T=0.2，因 ， 分別取0.2、0.5、0.8三個(gè)值時(shí)，執(zhí)行以下MATLAB程序繪制超前校正器的Bode圖， 圖6.4 超前校正器的Bode圖(T=0.2)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 如圖6.4所示。MATLAB程序如下：s=tf(s); %定義拉普拉斯變換，若按第4句Gc=alfa*(T*s+1)/( alfa*T*s+1)輸入模型，須先寫(xiě)該句T=0.2;for alfa=0.2:0.3:0.8 Gc=alfa*(T

7、*s+1)/( alfa*T*s+1);%超前校正器的傳遞函數(shù) bode(Gc),hold on %bode( )函數(shù)畫(huà)Bode圖，hold on 命令是指在同一坐標(biāo)圖中畫(huà)線endgtext(alfa=0.2); %程序運(yùn)行后，在圖上出現(xiàn)十字鼠標(biāo)，在十字鼠標(biāo)處單擊可打印 alfa=0.2gtext(alfa=0.5);gtext(alfa=0.8);gtext(alfa=0.2);gtext(alfa=0.5);gtext(alfa=0.8);由圖6.4可知，超前校正器的基本特性是，其相頻曲線具有正相移(超前相位角)。超前校正器主要是利用它的相位超前特性，但需要附加增益，以抵消低頻段增益下降。

8、超前校正器是一個(gè)高通濾波器，抗高頻干擾的性能較差，所以，一般不能取得太小，0.1。采用超前校正設(shè)計(jì)可使校正后系統(tǒng)相位裕量增加，從而提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，同時(shí)也增加了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，為了減少誤差，需使用大增益的超前校正器，故工程上常采用由集成運(yùn)算放大器構(gòu)成的有源超前校正器。超前校正器也會(huì)使校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前大，這樣會(huì)使階躍響應(yīng)過(guò)程加快，增加了系統(tǒng)帶寬。所以要求穩(wěn)定性好、超調(diào)量小和動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程快的系統(tǒng)經(jīng)常采用這個(gè)方法。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 2. 超前校正器的Bode圖設(shè)計(jì)步驟在給出受控對(duì)象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量 或者剪切頻率 )的要求下，超前校正器的B

9、ode圖設(shè)計(jì)步驟如下：(1) 根據(jù)系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。(2) 根據(jù)求得的開(kāi)環(huán)增益K，畫(huà)出系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計(jì)算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率 。檢驗(yàn)這些性能指標(biāo)是否符合要求。若不符合，則進(jìn)行下一步。(3) 計(jì)算需要增加的最大相位超前量 ，即 +(510) (6.9)式中，P0是校正后期望的相位裕量，Pm是校正前的相位裕量，另外，式中還增加510，意思是考慮了系統(tǒng)在校正前后剪切頻率的移動(dòng)所帶來(lái)的原系統(tǒng)相位的滯后量，一般在510。(4) 再由最大相位超前量 求超前校正器 中 ，即 (6.10)式中， 。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (5) 確定系

10、統(tǒng)超前校正后的剪切頻率 。在Bode圖中，剪切頻率就是對(duì)應(yīng)產(chǎn)生期望相位裕量P0的頻率 。因?yàn)?在 處的增加量為20lg =10lg ，所以 應(yīng)該選在未校正系統(tǒng)的 處，當(dāng) 被補(bǔ)償后，則 =10lg 。也就是，在未校正系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性的對(duì)數(shù)幅值為10lg 處所對(duì)應(yīng)的頻率就是系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率 。求剪切頻率 可采用MATLAB中的插值函數(shù)yi=spline(x, y, xi)來(lái)計(jì)算，spline函數(shù)的基本用法是：在yi=spline(x, y, xi)中，y是x 的函數(shù)，即y=f(x)，x和y是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，均是有多個(gè)元素的向量，即x=x1，x2，xn，y=y1，y2，yn；現(xiàn)已知xi在閉區(qū)間

11、x1，xn中，則可采用yi=spline(x, y, xi)函數(shù)求取xi對(duì)應(yīng)的yi。在超前校正設(shè)計(jì)中，現(xiàn)已知未校正系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性，采用MATLAB函數(shù)mag,phase,w=bode(G)可得到對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上每個(gè)頻率w值對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅值mag和相位角phase。再用函數(shù)wc=spline(mag, w, am) 可計(jì)算出am=10lg 所對(duì)應(yīng)的頻率wc，即系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率 。spline函數(shù)的用法詳見(jiàn)MATLAB的幫助信息。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (6) 求超前校正器傳遞函數(shù)中的T，即 (6.11)(7) 在系統(tǒng)中串聯(lián)一個(gè)增益為 的放大器，可補(bǔ)償超前校正器引入帶來(lái)的增益

12、損失，則超前校正器的傳遞函數(shù)可寫(xiě)為 (6.12)(8) 根據(jù)校正后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制Bode圖，驗(yàn)證系統(tǒng)性能指標(biāo)。校正后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，其中 是超前校正器傳遞函數(shù)， 是校正前系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。(9) 繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 3超前校正器的設(shè)計(jì)舉例【例6.1】 在圖6.1中，已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 (6.13)試設(shè)計(jì)系統(tǒng)的超前校正器 ，使之滿足：(1) 在斜坡信號(hào)r(t)=v0t作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.001v0；(2) 校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：4350。解：(1) 由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。根據(jù)自動(dòng)控制理論和

13、題目要求，該系統(tǒng)在斜坡信號(hào)r(t)=v0t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 0.001v0 (6.14)所以，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K1000，取K=1000。則被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 (6.15)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (2) 繪制系統(tǒng)校正前的Bode圖和單位階躍響應(yīng)曲線，并計(jì)算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖的MATLAB程序如下： s=tf(s); G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1);margin(G) 注：margin( )函數(shù)用于繪制Bode圖，計(jì)算并顯示出增益裕量Gm及其穿越頻率 ，相位裕量Pm及其剪切頻率 。上述程序運(yùn)行后，得到系統(tǒng)校正前的B

14、ode圖如圖6.5所示。該被控對(duì)象構(gòu)成單位負(fù)反饋系統(tǒng)后，繪制該系統(tǒng)在校正前的單位階躍響應(yīng)曲線的MATLAB程序如下：s=tf(s);G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1);sys= feedback(G,1); % feedback(G,1)函數(shù)是用G構(gòu)成單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)sysstep(sys)% step(sys)函數(shù)是畫(huà)出閉環(huán)系統(tǒng)sys的單位階躍響應(yīng)曲線 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 上述程序運(yùn)行后，得到系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.6所示。由圖6.5可知，該系統(tǒng)校正前的增益裕量Gm為-6.01dB、相位裕量Pm為-1.28，顯然系統(tǒng)的增益裕量Gm和相位裕量

15、Pm均為負(fù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定，從圖6.6也驗(yàn)證了這一點(diǎn)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是發(fā)散的。需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正。 圖6.5 系統(tǒng)校正前的Bode圖 圖6.6 系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (3) 求超前校正器的傳遞函數(shù)。校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm范圍為：4350，取Pm=45，按超前校正器設(shè)計(jì)步驟，編寫(xiě)的MATLAB程序如下：s=tf(s);G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1);mag,phase,w=bode(G);Gm,Pm=margin(G);QWPm=45;FIm=QWPm-Pm+5;FIm=FIm*pi/180;alfa=(1-sin

16、(FIm)/(1+sin(FIm);adb=20*log10(mag);am=10*log10(alfa);wc=spline(adb,w,am); %該句用法，前已說(shuō)明T=1/(wc*sqrt(alfa);alfat=alfa*T;Gc=tf(T 1,alfat 1)上述程序部分語(yǔ)句注釋：mag,phase,w=bode(G);該句只計(jì)算Bode圖上多個(gè)頻率點(diǎn)w對(duì)應(yīng)的幅值mag和相位phase，三個(gè)變量w,mag,phase均為有多個(gè)元素的矢量。該句不繪Bode圖。Gm,Pm=margin(G); 該句只計(jì)算Bode圖的增益裕量Gm和相位裕量Pm，不繪Bode圖。Gc=tf(T 1,alfa

17、t 1)；該句是以T 1為分子，alfat 1為分母構(gòu)成傳遞函數(shù)Gc上述程序運(yùn)行后，得到超前校正器的傳遞函數(shù)(6.16)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (4) 校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，根據(jù)該開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制Bode圖，其MATLAB程序如下： s=tf(s);G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1);Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);margin(Gc*G) 上述程序部分語(yǔ)句注釋：margin( *G)；該句中 *G表示 和G串聯(lián)構(gòu)成開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ，margin( *G)函數(shù)繪制Bode圖。上述程序運(yùn)行后，校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6.7

18、所示。由圖6.7可知，校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm為47.7 ，滿足本題目相位裕量Pm范圍為4350的設(shè)計(jì)要求。校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.8所示，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)超前校正后，是穩(wěn)定的，其MATLAB程序如下：s=tf(s);G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1);Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);step(feedback(Gc*G,1)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 圖6.7 校正后系統(tǒng)的Bode圖圖6.8 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 二. 滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì)1. 滯后校正器的基本特性滯后校正器的等

19、效RC網(wǎng)絡(luò)圖如圖6.9所示，滯后校正器的傳遞函數(shù)為 (6.17)式中，阻抗 ； ； 容易看出， 總是大于1。相位滯后校正器的幅頻特性和相頻特性分別為 (6.18) (6.19)因 大于1，則 總是小于0，所以又把該校正器稱為相位滯后校正器。對(duì)幅值 取常用對(duì)數(shù)再乘以20，得到對(duì)數(shù)幅頻特性 (單位用分貝dB表示)為 (6.20)可見(jiàn)， 因大于1， 則小于0。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 為了直觀表達(dá)滯后校正器的幅頻特性和相頻特性，現(xiàn)在假設(shè)式(6.17)中T=1，因 ， 分別等于1.5、2.0、2.5三個(gè)值時(shí)，執(zhí)行以下MATLAB程序，繪制相位滯后校正器的Bode圖，如圖6.10所示。MATL

20、AB程序如下：s=tf(s);T=1;for beta=1.5:0.5:2.5 Gc=(T*s+1)/( beta*T*s+1); bode(Gc),hold onend滯后校正器的基本特性是，其相頻曲線具有負(fù)相移(滯后相位角)。滯后校正器是一個(gè)低通濾波器，其 越大，高頻衰減越厲害。應(yīng)用滯后校正主要是利用其高頻衰減特性。采用滯后校正器將使校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前小，系統(tǒng)的快速性能變差，但穩(wěn)定性能得以提高，這意味著滯后校正是以犧牲系統(tǒng)的快速性來(lái)?yè)Q取系統(tǒng)穩(wěn)定性的。如果滯后校正器采用RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，雖無(wú)增益損失，但有負(fù)載效應(yīng)之弊，故工程上常采用由集成運(yùn)算放大器構(gòu)成的有源滯后校正器。 超前/滯后校正

21、器的Bode圖設(shè)計(jì) 圖6.10 滯后校正器的Bode圖(T=1)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 2. 滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì)步驟在給出受控對(duì)象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量 或者剪切頻率 )的要求下，滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì)步驟如下：(1) 根據(jù)系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。(2) 根據(jù)求得的開(kāi)環(huán)增益K，畫(huà)出系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計(jì)算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率 。檢驗(yàn)這些性能指標(biāo)是否符合要求。若不符合，則進(jìn)行下一步。(3) 根據(jù)題目對(duì)滯后校正后系統(tǒng)的期望相位裕量P0，確定一個(gè)新的剪切頻率 。其方法是：先由期望相位裕量P0(單位：角度)計(jì)

22、算校正前系統(tǒng)在 處的相位角 ，即 180P0(512) (6.21)式中，(512)為相位滯后網(wǎng)絡(luò)在 處引起的相位滯后量。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 再根據(jù)校正前系統(tǒng)的相位角 計(jì)算出對(duì)應(yīng)的頻率，就是要求的期望剪切頻率 的值。其MATLAB程序是：fic= -180+P0+5; %P0為期望相位裕量P0mu,pu,w=bode(G0); % G0為受控對(duì)象傳遞函數(shù)wc2=spline(pu,w,fic); %計(jì)算期望剪切頻率 的值(即wc2)MATLAB的spline( )函數(shù)的使用方法前已述及。如果已經(jīng)確定了一個(gè)新的剪切頻率 ，可以不進(jìn)行第(3)步的計(jì)算，而直接進(jìn)入第(4)步。確定新的剪

23、切頻率 的一般方法可形象理解為：在原系統(tǒng)的Bode 圖上，將原剪切頻率 向左移，移到使相位裕量 達(dá)到期望的相位裕量P0，這時(shí)的剪切頻率便是新的剪切頻率 。根據(jù)該剪切頻率 ，可設(shè)計(jì)合適的滯后校正器，使校正后的系統(tǒng)達(dá)到期望的相位裕量 ，從而使系統(tǒng)控制性能更好。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (4) 由新的剪切頻率 求滯后校正器 中，因?yàn)榻?jīng)串聯(lián)滯后校正后的系統(tǒng)在剪切頻率 處的對(duì)數(shù)幅值等于0，即 (6.22) (6.23)所以 (6.24)式中， 為校正后系統(tǒng)在剪切頻率 處的對(duì)數(shù)幅值，即 (6.25)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (5) 確定滯后校正器 中T。根據(jù)自動(dòng)控制理論， 距離剪切頻率

24、越遠(yuǎn)，滯后校正器的滯后特性對(duì)系統(tǒng)影響越小，所以， 選得越小 越好；但如果 太小，滯后校正器對(duì)剪切頻率 的相位滯后量的影響又不大。所以， 一般選擇為 (6.26)至此，滯后校正器 設(shè)計(jì)完畢。(6) 繪制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)滯后校正后的Bode圖，并驗(yàn)證系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計(jì)要求。(7) 繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 3滯后校正器的設(shè)計(jì)舉例【例6.2】 在圖6.1中，已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 (6.27)試設(shè)計(jì)系統(tǒng)的滯后校正器 ，使之滿足：(1) 在斜坡信號(hào)r(t)=v0t作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.02v0；(2) 校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm范圍為：4

25、350；(3) 校正后系統(tǒng)的剪切頻率 3.6rad/s。解：(1) 由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。根據(jù)自動(dòng)控制理論和題目要求，該系統(tǒng)在斜坡信號(hào)r(t)=v0t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 0.02v0 (6.28)所以，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益求K50，取K=50。則被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 (6.29)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (2) 繪制系統(tǒng)校正前的Bode圖和閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，并計(jì)算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率 。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖的MATLAB程序如下：s=tf(s);G=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1);figure(1) %該句是開(kāi)出第1個(gè)圖形

26、窗口，準(zhǔn)備繪制Bode圖margin(G)figure(2) %該句是開(kāi)出第2個(gè)圖形窗口，準(zhǔn)備繪制單位階躍響應(yīng)曲線step(feedback(G,1)上述程序運(yùn)行后，得到校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm= 6.44dB，相位裕量Pm= 9.3528，剪切頻率 = 15.3rad/s。顯然校正前系統(tǒng)的相位裕量Pm43，不滿足設(shè)計(jì)要求。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖6.11所示。校正前閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.12所示，系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)響應(yīng)中不穩(wěn)定，處于振蕩狀態(tài)。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 圖6.11 系統(tǒng)校正前的Bode圖 圖6.12 系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (

27、3) 求滯后校正器的傳遞函數(shù)。校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm范圍為：4350，取Pm= 46，按滯后校正器設(shè)計(jì)步驟，編寫(xiě)的MATLAB程序如下：s=tf(s);K=50;G0=K/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1);P0=46;fic= -180+P0+5;mu,pu,w=bode(G0);wc2=spline(pu,w,fic);d1=conv(conv(1 0,0.2 1),0.01 1);na=polyval(K,j*wc2);da=polyval(d1,j*wc2);G=na/da;g1=abs(G); %abs( )函數(shù)是取絕對(duì)值，這里表示求復(fù)數(shù)G的模(或頻率特性的幅值)。L=

28、20*log10(g1);alfa=10(L/20);T=1/(0.1*wc2);alfat=alfa*T;Gc=tf(T 1,alfat 1)figure(1)margin(Gc*G0)figure(2)step(feedback(Gc*G0,1) 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 上述程序部分語(yǔ)句注釋：d1=conv(conv(1 0,0.2 1),0.01 1);該語(yǔ)句中conv(1 0,0.2 1)是把(s+0)與(0.2*s+1)相乘得到s*(0.2*s+1)，d1=conv(conv(1 0,0.2 1),0.01 1)是把s*(0.2*s+1)與(0.01*s+1) 相乘得到s*

29、(0.2*s+1)*(0.01*s+1)，即多項(xiàng)式d1=0.02s3+0.3s2+s+0。 da=polyval(d1,j*wc2);該句是用j*wc2代替多項(xiàng)式d1=0.02s3+0.3s2+s+0中的s，計(jì)算出復(fù)數(shù)，該句計(jì)算后da=1.5870+2.0567j。na=polyval(K,j*wc2);也一樣，該句na=50。上述程序運(yùn)行后，得到滯后校正器的傳遞函數(shù)為 (6.30)上述程序運(yùn)行后，得到校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6.13所示。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 由圖6.13可知，滯后校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm=45.7，比選擇的相位裕量Pm=46少了0.3，但是已滿足本題目設(shè)計(jì)要求

30、。滯后校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.14所示，表明系統(tǒng)經(jīng)過(guò)滯后校正后是穩(wěn)定的。圖6.13 系統(tǒng)校正前的Bode圖 圖6.14 系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 三. 滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計(jì)1. 滯后-超前校正器的作用滯后-超前校正器是既有滯后校正的作用又有超前校正作用的校正器，它不僅能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，還可以減少超調(diào)量、加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。其傳遞函數(shù)為 (6.31)式中， 為滯后校正器傳遞函數(shù)， 1； 為超前校正器傳遞函數(shù)，0 1。2. 滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計(jì)步驟在給出受控對(duì)象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量 或者剪切頻率 )的

31、條件下，滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計(jì)步驟如下：(1) 根據(jù)系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。(2) 根據(jù)求得的開(kāi)環(huán)增益K，畫(huà)出系統(tǒng)校正前的Bode圖和階躍響應(yīng)曲線，并計(jì)算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率 。檢驗(yàn)這些性能指標(biāo)是否符合要求。若不符合，則進(jìn)行下一步。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (3) 滯后校正器傳遞函數(shù)參數(shù)的確定。滯后校正器傳遞函數(shù)為 (6.32)式中， 1， 應(yīng)該遠(yuǎn)小于校正前系統(tǒng)的剪切頻率 。工程上一般選擇 =0.1 (6.33)并且 =810 (6.34)(4) 選擇校正后系統(tǒng)的期望剪切頻率 。要考慮兩點(diǎn)，一是在該期望剪切頻率 處，使得原系統(tǒng)串

32、聯(lián)滯后校正器后的綜合幅頻值衰減到0dB；二是在該期望剪切頻率 處，超前校正器提供的相位超前量達(dá)到系統(tǒng)期望相位裕量的要求。(5) 超前校正器傳遞函數(shù)參數(shù)的確定。超前校正器傳遞函數(shù)為 ， 1 (6.35)若原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正器后的幅頻分貝值為 ，那么，在原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正器后再串聯(lián)超前校正器后，在經(jīng)過(guò)滯后-超前校正后的期望剪切頻率 處，應(yīng)該滿足下式： (6.36)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 即 (6.37)那么 (6.38)同時(shí)，因?yàn)?(6.39)則，T2由下式確定 (6.40)(6) 繪制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)滯后-超前校正后的Bode圖，并驗(yàn)證系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計(jì)要求。(7) 繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階

33、躍響應(yīng)曲線。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 3滯后-超前校正器的設(shè)計(jì)舉例【例6.3】 在圖6.1中，已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 (6.41)試設(shè)計(jì)系統(tǒng)的滯后-超前校正器 ，使之滿足。(1) 在單位斜坡信號(hào)r(t)=t作用下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kv=10s-1；(2) 校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：5060；(3) 校正后系統(tǒng)的剪切頻率 1rad/s。解：(1) 由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。根據(jù)自動(dòng)控制理論和題目要求，由速度誤差系數(shù) 定義并有 (6.42)所以，原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K=10。則被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 (6.43)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (2) 繪制系統(tǒng)校

34、正前的Bode圖和閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，并計(jì)算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率 。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖的MATLAB程序如下：s=tf(s);G0=10/(s*(0.8*s+1)*(0.6*s+1);figure(1)margin(G0)figure(2)step(feedback(G0,1)上述程序運(yùn)行后，得到系統(tǒng)校正前的Bode圖和閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖6.15和圖6.16所示。校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm=-10.7dB、相位裕量Pm=-29.6、剪切頻率 =2.49rad/s。愿系統(tǒng)的增益裕量Gm和相位裕量Pm均為負(fù)值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，階躍響應(yīng)曲線也是發(fā)散

35、的。 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) (3) 求滯后-超前校正器的傳遞函數(shù)。按滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計(jì)方法和步驟，先計(jì)算滯后校正器的參數(shù)，然后計(jì)算超前校正器的參數(shù)，最后繪制原系統(tǒng)與滯后-超前校正器串聯(lián)后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖，以及構(gòu)成單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。其MATLAB程序如下： 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) wc2=3; %wc2為可調(diào)參數(shù)s=tf(s);G0=10/(s*(0.8*s+1)*(0.6*s+1);Gm,Pm,wc1=margin(G0);alfa1=9;T1=1/(0.1*wc1);alfat1=alfa1*T1;Gc1=tf(T1 1,al

36、fat1 1) %計(jì)算并顯示滯后校正器傳遞函數(shù)sope=G0*Gc1; %計(jì)算原系統(tǒng)與滯后校正器串聯(lián)后的傳遞函數(shù)num=sope.num1;den=sope.den1;na=polyval(num,j*wc2);da=polyval(den,j*wc2);G=na/da;g1=abs(G);L=20*log10(g1);alfa=10(L/20);T=1/(wc2*(alfa)(1/2);alfat=alfa*T;Gc2=tf(T 1,alfat 1) %計(jì)算并顯示超前校正器傳遞函數(shù)G=G0*Gc1*Gc2; % Gc1*Gc2即為滯后-超前校正器的傳遞函數(shù)sys=feedback(G,1);

37、figure(1)margin(G)figure(2)step(sys)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) 在運(yùn)行上述程序中，采用湊試法，調(diào)節(jié)wc2的值，直到滿足系統(tǒng)要求的性能指標(biāo)為止。在本例中，當(dāng)wc2=3時(shí)，繪制經(jīng)滯后-超前校正后的Bode圖和單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖圖6.17和圖6.18所示。從圖6.17和圖6.18上可看出，校正后系統(tǒng)的增益裕量Gm=19.3dB、相位裕量Pm=55.3、剪切頻率 =1.19rad/s，均滿足題目設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)在20s后趨于穩(wěn)定。這時(shí)，滯后校正器的傳遞函數(shù)為 (6.44)超前校正器的傳遞函數(shù)為 (6.45)那么，滯后-超前校正器的傳遞函數(shù)為 (6.46)請(qǐng)

38、讀者驗(yàn)證：在例6.3中，如果只進(jìn)行滯后校正或者超前校正，能否達(dá)到性能指標(biāo)要求？ 超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(jì) PID控制器設(shè)計(jì) PID(比例、積分、微分)控制器是基于經(jīng)典控制理論的一種控制策略，其算法簡(jiǎn)單實(shí)用，PID控制并不要求受控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，這使得PID控制在工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程控制中，應(yīng)用十分廣泛。一. PID控制器的傳遞函數(shù)1. 連續(xù)PID控制器的傳遞函數(shù)如圖6.1所示，連續(xù)PID控制器的一般表達(dá)式為 (6.47)式中，比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd分別是對(duì)系統(tǒng)誤差信號(hào)e(t)及其積分 與微分 的加權(quán)系數(shù)。 PID控制器設(shè)計(jì) PID控制器通過(guò)對(duì)誤差信號(hào)e(t)的加權(quán)計(jì)算，得

39、到控制信號(hào)u(t)，驅(qū)動(dòng)受控對(duì)象，使得誤差e(t)按減少的方向變化，從而達(dá)到控制要求。對(duì)式(6.47)作拉普拉斯變換，整理后，得到連續(xù)PID控制器的傳遞函數(shù) (6.48)式中，Kp是比例系數(shù)，Ti= 是積分時(shí)間常數(shù)，Td= 是微分時(shí)間常數(shù)。當(dāng)Ti，Td=0時(shí)， ，這叫比例(P)控制器；當(dāng)Td=0時(shí)， ，這叫比例積分(PI)控制器；當(dāng)Ti時(shí)， ，這叫比例微分(PD)控制器；當(dāng)Ti，Td0時(shí)， ，這叫比例積分微分(PID)控制器。顯然，Kp、Ti、Td三個(gè)參數(shù)一旦確定，PID控制器的性能也就確定下來(lái)。 PID控制器設(shè)計(jì) 為避免純微分運(yùn)算，常常用一階超前環(huán)節(jié)去近似純微分環(huán)節(jié)，PID控制器的傳遞函數(shù)為

40、 (6.49)式中，N時(shí)，則為純微分運(yùn)算。實(shí)際中，N不必過(guò)大，一般N=10，就可以逼近實(shí)際的微分效果。2. 離散PID控制器如果采樣周期T很短，在第k個(gè)采樣周期的誤差e(t)的導(dǎo)數(shù)可近似表示為 (6.50)在k個(gè)采樣周期內(nèi)對(duì)誤差e(t)的積分可近似表示為 (6.51)所以，離散PID控制器的表達(dá)式為 (6.52) 離散PID控制器可簡(jiǎn)寫(xiě)為 (6.53)PID控制器設(shè)計(jì) 由式(6.53)可知，PID控制器的輸出控制信號(hào) 與誤差的累加 有關(guān)，會(huì)給控制帶來(lái)不利影響。由式(6.53)可推導(dǎo)出第(k-1)個(gè)采樣周期的控制信號(hào)u(k-1)，其表達(dá)式為 (6.54)用式(6.53)減式(6.54)，并整理后

41、，可得到離散增量式PID控制器的表達(dá)式 (6.55)由(6.55)可知，PID控制器輸出的控制信號(hào) 由 計(jì)算，即控制器的第k次輸出 等于控制器的上一次輸出 加上增量 即可。增量 只與最近三個(gè)誤差變量 、 、 有關(guān)，有利于計(jì)算和提高控制性能。在計(jì)算機(jī)控制中經(jīng)常采用離散增量式PID控制。離散PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)為 (6.56)式中，Kp、Ki和Kd分別是比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)。PID控制器設(shè)計(jì) 二. PID參數(shù)對(duì)控制性能的影響前已述及，PID控制器的Kp、Ti、Td三個(gè)參數(shù)的大小決定了PID控制器的比例、積分、微分控制作用的強(qiáng)弱。下面舉例分別分析Kp、Ti、Td三個(gè)參數(shù)中一個(gè)參數(shù)發(fā)生變

42、化而另兩個(gè)參數(shù)保持不變時(shí)，對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。 【例6.4】 某電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如圖6.19所示，采用PID控制器。試?yán)L制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，分析Kp、Ti、Td三個(gè)參數(shù)對(duì)控制性能的影響。PID控制器設(shè)計(jì) 1. 比例系數(shù)Kp對(duì)控制性能的影響采用比例控制，即當(dāng)比例系數(shù)Kp分別取1、2、3、4、5，且Ti，Td=0時(shí)，根據(jù)圖6.19繪制該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，其MATLAB程序如下：s=tf(s);G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;for Kp=1:1:5 Gc=fe

43、edback(Kp*G,0.0118); step(Gc),hold onendaxis(0,0.2,0,130);%該語(yǔ)句劃定橫坐標(biāo)范圍為0,0.2，縱坐標(biāo)范圍為0,130gtext(Kp=1); gtext(Kp=2);gtext(Kp=3);gtext(Kp=4);gtext(Kp=5);PID控制器設(shè)計(jì) 上述程序運(yùn)行后，在只有比例(P)控制作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.20所示。 由圖6.20可知，隨著比例系數(shù)Kp的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的幅值增大，超調(diào)量加大，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，同時(shí)會(huì)減少穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。經(jīng)仿真調(diào)試，若Kp19時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線變?yōu)榘l(fā)散型，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)

44、定。也就是，比例系數(shù)Kp的無(wú)限增加，會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 PID控制器設(shè)計(jì) 2積分時(shí)間常數(shù)Ti對(duì)控制性能的影響采用PI控制，即當(dāng)固定比例系數(shù)Kp=1，積分時(shí)間常數(shù)Ti分別取0.03、0.05、0.07時(shí)，根據(jù)圖6.19繪制該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，其MATLAB程序如下：s=tf(s);G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;Kp=1;for Ti=0.03:0.02:0.07 PIGc=tf(Kp*Ti 1,Ti 0); Gc=feedback(PIGc*G,0.0118);

45、step(Gc),hold onendaxis(0,0.3,0,140);gtext(Ti=0.03);gtext(Ti=0.05);gtext(Ti=0.07);PID控制器設(shè)計(jì) 上述程序運(yùn)行后，在只改變積分時(shí)間常數(shù)Ti的作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.21所示。 由圖6.21可知，隨著積分時(shí)間常數(shù)Ti的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量降低，系統(tǒng)響應(yīng)速度稍有變慢。積分環(huán)節(jié)的主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。PID控制器設(shè)計(jì) 3. 微分時(shí)間常數(shù)Td對(duì)控制性能的影響采用PID控制，即當(dāng)固定比例系數(shù)Kp=0.01，Ti=0.005，微分時(shí)間常數(shù)Td分別取10、60、110時(shí)，根據(jù)圖6.19繪制該系統(tǒng)的階躍

46、響應(yīng)曲線，其MATLAB程序如下： s=tf(s);G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;Kp=0.01;Ti=0.005;for Td=10:50:110 PIDGc=tf(Kp*Ti*Td Ti 1,Ti 0); Gc=feedback(PIDGc*G,0.0118); step(Gc),hold onendaxis(0,15,0,110);gtext(Td=10);gtext(Td=60);gtext(Td=110); PID控制器設(shè)計(jì) 上述程序運(yùn)行后，在只改變T

47、d的作用下，PID控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.22所示。 由圖6.22可知，隨著微分時(shí)間常數(shù)Td的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的響應(yīng)速度加快。微分環(huán)節(jié)的主要作用是提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。由于該環(huán)節(jié)對(duì)誤差的導(dǎo)數(shù)(即誤差變化率發(fā)生作用)，它能在誤差較大的變化趨勢(shì)時(shí)施加合適的控制，因此微分環(huán)節(jié)對(duì)于信號(hào)無(wú)變化或變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。 PID控制器設(shè)計(jì) 三. PID控制器的設(shè)計(jì)PID控制器的設(shè)計(jì)實(shí)際上就是PID控制器的比例系數(shù)Kp、積分時(shí)間常數(shù)Ti、微分時(shí)間常數(shù)Td三個(gè)參數(shù)的確定，本節(jié)著重介紹如何采用Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式整定PID參數(shù)，也就是PID控制器的設(shè)計(jì)。1. Ziegler-Nich

48、ols經(jīng)驗(yàn)整定公式Ziegler(齊格勒)和Nichols(尼柯?tīng)査?在1942年提出了PID參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)整定公式。這個(gè)公式是針對(duì)受控對(duì)象模型為帶延遲的一階慣性傳遞函數(shù)提出的，即 (6.57)式中，K為比例系數(shù)，T為慣性時(shí)間常數(shù)， 為純延遲時(shí)間常數(shù)。在實(shí)際過(guò)程控制系統(tǒng)中，大多數(shù)受控對(duì)象模型可以近似轉(zhuǎn)換成式(6.57)這樣的帶延遲的一階慣性傳遞函數(shù)。其近似轉(zhuǎn)換方法有多種，其中比較好的方法就是，在獲取受控對(duì)象階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)后，用最小二乘擬合方法擬合出系統(tǒng)的模型參數(shù)K、T、 ，詳見(jiàn)文獻(xiàn)4。 PID控制器設(shè)計(jì) Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式見(jiàn)表6.1。由表可知，設(shè)計(jì)PID控制器的方法有兩種。第

49、一種方法是，如果已知受控對(duì)象傳遞函數(shù)為 類型，即已知由階躍響應(yīng)整定的參數(shù)(包括比例系數(shù)K、慣性時(shí)間常數(shù)T、純延遲時(shí)間)，通過(guò)查表，可計(jì)算出PID控制器的三個(gè)參數(shù)Kp、Ti、Td。這種方法適合式(6.57)這種傳遞函數(shù)類型和可近似轉(zhuǎn)換成式(6.57)的受控對(duì)象。 PID控制器設(shè)計(jì) 需要說(shuō)明是，Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式適合于 中比值 范圍為：0.1 1。如果比值 過(guò)大，則表明系統(tǒng)的時(shí)間延遲很大，在控制中稱為大時(shí)間延遲系統(tǒng)，對(duì)這樣的系統(tǒng)可適當(dāng)予以補(bǔ)償，Smith補(bǔ)償器就是一種比較有效的方法，在文獻(xiàn)4中有詳細(xì)闡述。第二種方法是，如果已知受控對(duì)象頻域響應(yīng)參數(shù)(增益裕量Kc、剪切頻率 ，

50、則 )，那么通過(guò)表6.1中Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式，即可計(jì)算出PID控制器的三個(gè)參數(shù)Kp、Ti、Td。這種方法簡(jiǎn)單實(shí)用，因?yàn)橐坏┨峁┝耸芸貙?duì)象的傳遞函數(shù)G(包括非式(6.57)這種類型)，就可用MATLAB提供的函數(shù)Gm,Pm,Wc=margin(G)直接求出增益裕量Kc和剪切頻率Wc，再根據(jù)Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式中的頻域響應(yīng)法整定參數(shù)Kp、Ti、Td即可。 PID控制器設(shè)計(jì) 2. PID控制器的設(shè)計(jì)舉例【例6.5】 如圖6.1，已知受控對(duì)象為一個(gè)帶延遲的慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為 (6.58)試用Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式，分別計(jì)算P、PI、

51、PID控制器的參數(shù)，并進(jìn)行階躍響應(yīng)仿真。解：由該系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，K=2，T=30，=10?？刹捎肸iegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式中階躍響應(yīng)整定法。PID控制器采用式(6.49)表示的模型，計(jì)算P、PI、PID控制器參數(shù)和繪制階躍響應(yīng)曲線的MATLAB程序如下： PID控制器設(shè)計(jì) K=2;T=30;tau=10;s=tf(s);Gz=K/(T*s+1);np,dp=pade(tau,2); Gy=tf(np,dp);G=Gz*Gy;PKp=T/(K*tau) %階躍響應(yīng)整定法計(jì)算并顯示P控制器step(feedback(PKp*G,1),hold onPIKp=0.9*T/(K*ta

52、u); %階躍響應(yīng)整定法計(jì)算并顯示PI控制器PITI=3*tau;PIGc=PIKp*(1+1/(PITI*s) step(feedback(PIGc*G,1),hold onPIDKp=1.2*T/(K*tau); %階躍響應(yīng)整定法計(jì)算并顯示PID控制器PIDTI=2*tau;PIDTd=0.5*tau;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/(PIDTd/10)*s+1) step(feedback(PIDGc*G,1),hold onPIDKp,PIDTI,PIDTd %顯示PID控制器的三個(gè)參數(shù)Kp、Ti、Tdgtext(P);gtext(PI);gtex

53、t(PID);上述程序部分語(yǔ)句注釋：np,dp=pade(tau,2);該語(yǔ)句是把延遲環(huán)節(jié) 轉(zhuǎn)換為二階傳遞函數(shù)，并把其分子和分母分別放到np和dp中。上述程序運(yùn)行后，得到的P、PI、PID控制器分別是PKp、PIGc、PIDGc，即PKp =1.5， ， (6.59)式中，PID控制器的參數(shù)為：Kp=1.8，Ti=20，Td=5.0，則PID控制器的直觀表達(dá)式為 (6.60)在P、PI、PID控制器作用下，分別對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.23所示。由圖6.23可知，用Ziegler-Nichols整定公式設(shè)計(jì)的P、PI、PID控制器，在它們的階躍響應(yīng)曲線中，P和PI兩者的響應(yīng)速度基本相同，因?yàn)閮?/p>

54、種控制器求出的Kp不同，兩種控制的終值不同，PI比P的調(diào)節(jié)時(shí)間短一些，PID控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間最短，但超調(diào)量最大。 PID控制器設(shè)計(jì) PID控制器設(shè)計(jì) 【例6.6】 在圖6.1中，已知受控對(duì)象為一個(gè)四階的傳遞函數(shù) (6.61)試用Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式，分別計(jì)算P、PI、PID控制器的參數(shù)，并進(jìn)行階躍響應(yīng)仿真。解：該受控對(duì)象傳遞函數(shù)不是帶延遲的一階慣性環(huán)節(jié)，根據(jù)表6-1的Ziegler-Nichols經(jīng)驗(yàn)整定公式，可采用頻域響應(yīng)來(lái)整定P、PI、PID控制器的參數(shù)，利用MATLAB提供的margin()函數(shù)計(jì)算受控對(duì)象的頻域響應(yīng)參數(shù)(增益裕量Kc、剪切頻率 ， )，然后由表6.

55、1計(jì)算P、PI、PID控制器的相應(yīng)參數(shù)，并分別繪制受控對(duì)象串聯(lián)P、PI、PID控制器后的階躍響應(yīng)曲線，PID控制器采用式(6.49)表示的模型，其MATLAB程序如下：PID控制器設(shè)計(jì) PID控制器設(shè)計(jì) s=tf(s);G=1/(0.1*s+1)4);Kc,Pm,Wc=margin(G); %計(jì)算頻域響應(yīng)參數(shù)，增益裕量Kc和剪切頻率WcTc=2*pi/Wc;PKp=0.5*Kc %頻率響應(yīng)整定法計(jì)算并顯示P控制器step(feedback(PKp*G,1),hold onPIKp=0.4*Kc; %頻率響應(yīng)整定法計(jì)算并顯示PI控制器PITI=0.8*Tc;PIGc=PIKp*(1+1/(PIT

56、I*s) step(feedback(PIGc*G,1),hold onPIDKp=0.6*Kc; %頻率響應(yīng)整定法計(jì)算并顯示PID控制器PIDTI=0.5*Tc;PIDTd=0.12*Tc;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/(PIDTd/10)*s+1) step(feedback(PIDGc*G,1),hold onPIDKp,PIDTI,PIDTdgtext(P);gtext(PI);gtext(PID); PID控制器設(shè)計(jì) 上述程序運(yùn)行后，得到的P、PI、PID控制器分別是PKp、PIGc、PIDGc，即PKp =2.0， ， (6.62)式中，PI

57、D控制器的參數(shù)為：Kp=2.4，Ti=0.3142，Td=0.0754，則PID控制器的直觀表達(dá)式為 (6.63)在P、PI、PID控制器作用下，分別對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.24所示。 線性二次型指標(biāo)最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 一. 線性二次型指標(biāo)與代數(shù)黎卡提方程最優(yōu)控制系統(tǒng)是指在一定的具體條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)的不同用途，可提出各種不同的性能指標(biāo)，最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)就是選擇最優(yōu)控制以使某一種性能指標(biāo)為最小(或者最優(yōu)值)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)通常采用二次型指標(biāo)。本節(jié)著重介紹線性連續(xù)定常系統(tǒng)二次型狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。對(duì)于狀態(tài)完全能控

58、的線性連續(xù)定常系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為 ，x(0)=x0 (6.64)其輸出方程為 (6.65)式中，x(t)為n維狀態(tài)變量；u(t)為p維輸入控制變量，且不受約束；A為nn維狀態(tài)矩陣，常數(shù)矩陣；B為np維輸入矩陣，常數(shù)矩陣；y(t)為m維輸出變量；C為mn維輸出矩陣，常數(shù)矩陣；D為mp維輸入矩陣，常數(shù)矩陣。線性二次型指標(biāo)最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 引入的線性二次型(Linear Quadratic)指標(biāo)為 (6.66)式中，積分上限為，即調(diào)節(jié)時(shí)間tf；Q和R均為正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，實(shí)際上分別是對(duì)狀態(tài)量x(t)和控制量u(t)的加權(quán)矩陣。根據(jù)最優(yōu)控制理論，使線性二次型指標(biāo)J(式6.66)取最小值的最優(yōu)控制 為

59、 (6.67)式中， 為最優(yōu)反饋增益矩陣；P矩陣為對(duì)稱常數(shù)矩陣；P矩陣可通過(guò)求解代數(shù)黎卡提(Riccati)方程 (6.68)這時(shí)，最優(yōu)性能指標(biāo)為 (6.69)可見(jiàn)，設(shè)計(jì)最優(yōu)控制系統(tǒng)的重要一步就是求解黎卡提(Riccati)方程。線性二次型指標(biāo)最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 線性二次型指標(biāo)狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6.25所示。從(6.66)可看出，線性二次型指標(biāo)J的最優(yōu)性取決于如何確定加權(quán)矩陣Q和R，但這兩個(gè)矩陣的選擇并沒(méi)有解析方法，只能作定性的選擇。一般情況下，對(duì)單輸入系統(tǒng)，如果希望輸入控制信號(hào)u(t)小，則R矩陣的值選擇大一些；對(duì)多輸入系統(tǒng)，如果希望第i個(gè)輸入控制信號(hào)ui(t)小，則R矩陣第i列的

60、值應(yīng)該選擇大一些。如果希望第j個(gè)狀態(tài)變量xj(t)的值小一些，那么相應(yīng)的就應(yīng)該把Q矩陣的第j元素取大點(diǎn)，這時(shí)最優(yōu)化功能會(huì)迫使該狀態(tài)變量變小。 線性二次型指標(biāo)最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 另外，考慮線性二次型性能指標(biāo)中含有狀態(tài)量x(t)和控制量u(t)的乘積項(xiàng)，即 (6.70)式中，N為交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)陣，是正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，則系統(tǒng)最優(yōu)控制 為 (6.71)式中，最優(yōu)反饋增益矩陣 為 (6.72)式中，對(duì)稱常數(shù)矩陣P滿足代數(shù)黎卡提(Riccati)方程 (6.73)由此解出P矩陣，可得到系統(tǒng)的最優(yōu)控制。如果=0，式(6.73)就變成了式(6.68)。線性二次型指標(biāo)最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 二. 設(shè)計(jì)線性二次型指標(biāo)