物質(zhì)點法模擬一維桿件結構

1、應用物質(zhì)點法對一維桿件進行動力分析張家齊 1610814010451基本方程考慮彈性半空間動力學問題，用張量表示的彈性波基本方程如下： TOC o 1-5 h z 運動方程V- o + pb=pii連續(xù)方程半+PV- v =0dt1應變率 = 2 Vv + (Vv)r 本構關系 = T : (4)在邊界r上，滿足本質(zhì)邊界條件與自然邊界條件n - n = t(5)v = v(6)o表示柯西應力張量，U表示位移矢量，b表示單位質(zhì)量體積力，n為邊界法線方向，t為 邊界域上外力，v表示邊界域速度，P表示彈性介質(zhì)的密度，()表示對時間的二階導數(shù)。2物質(zhì)點法分析桿件受力ZZ(t)7玄圖1物質(zhì)點法分析桿件受

2、力取虛速度6 v作為權函數(shù)，并考慮在速度邊界處速度v給定，其速度邊界上變分為0,應用jt -6vdr = 01r加權余量法，以及分部積分變換可以得到Jb -(V6v)dO+ J pu -6vdO- J pb -6vdO-1111OOO采用質(zhì)點離散，連續(xù)體的密度可近似表示為(x ) = Zp m 6 (Xi - x )6 (x - x )=1p其他時p=1式中，七為離散物質(zhì)點總數(shù)，mp為物質(zhì)點p的質(zhì)量。當x = xp時-x )=0。由于MPM法是將積分轉(zhuǎn)換為所有物質(zhì)點參數(shù)之和，變形為如下形式(x )-(V8v)+2m upp=1以6P 11p =1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK

3、 l bookmark33 o Current Document 2m b G )-8v(x )-2m t s (x -1.8v(r )= 0p 1 ppp 1 pp HYPERLINK l bookmark30 o Current Document p =1p =1式中，應力比6 = % 和比面力邊界ts = L ,假想層的厚度h = 1。帶有下標P的量代表物11 P利用公式(10)更新背景網(wǎng)格單元節(jié)點上的動量值； 接下來將更新后背景網(wǎng)格單元節(jié)點上的信息再次映射到各物質(zhì)點上，首先映射節(jié)點加速 度到物質(zhì)點： P質(zhì)點p所攜帶的量，h是將為了將式(9)左端最后一項化為體積分，而引入的假想邊界層厚

4、度。由此可將積分形式的虛功方程(7)轉(zhuǎn)化為有限項求和的代數(shù)方程(9)。物質(zhì)點法求解動量方程時，采用更新拉格朗日格式，每個計算步內(nèi)，物質(zhì)點與背景網(wǎng)格固連，一 二者起運動，因此可采用建立在背景網(wǎng)格結點上的有限元插值形函數(shù)叫q )來實現(xiàn)背景 網(wǎng)格結點之間信息的映射，以下帶下標，的量表示背景網(wǎng)格結點i上的變量?？紤]任意場變量4，物質(zhì)點和背景網(wǎng)格節(jié)點的插值關系可以表示為 i4 = pN (x %pi=1將(14)式代入(13)式，化簡可得到空間離散格式：p = f ext + f intAt為計算時間步長，式中，背景網(wǎng)格結點的動量為p =mv考慮集中質(zhì)量法背景網(wǎng)格單元節(jié)點從物質(zhì)點獲得的映射質(zhì)量為m =Z

5、p m N (x )p=1單元節(jié)點內(nèi)部力為fint =-Y b(x 也-(VN )1p=1u P Pp 1x=x p單元節(jié)點外部力為fext =m b(x)N(x)+&(x)N(x)p=1m一 -Jpip1 pip pp=1p(10)(11)(12)(13)(14)(15)p mt i pi=l i再將節(jié)點速度映射到物質(zhì)點次也如)pmt1 pi=l i計算當前物質(zhì)點速度+ at Atpp p和當前物質(zhì)點的坐標位置xt+t = xt +at Atpp p以及計算物質(zhì)點的新位移必+攵=Xt xopp P其中戒為物質(zhì)點的初始位置P3、更新后的物質(zhì)點動量映射到該物質(zhì)點所在的單元節(jié)點上：(mv)f+A?

6、= 如(協(xié))+最 nJ)ipipP=1更新后的速度等于(mv)+Afyr+Ar =i，mti4、根據(jù)單元節(jié)點上的外部載荷條件和自然邊界條件計算物質(zhì)點當前的速度梯度:Dt+z Liyt+NtG Cv )Pp ipP=1形函數(shù)梯度為Gr為叩G =.N 3ip x=xtP5、由速度梯度計算物質(zhì)點應變增量和應變率分別為：(16)(17)(18a)(18b)(18c)(19a)(19b)(19c)(19d)(20a)(21b)6、應用本構關系公式(4)更新物質(zhì)點應力可以得到勺4數(shù)值模擬在長度為1m的直桿的右端施加階越力乙 0)=1(22)-mpmfinite element1,81.61.41.21.0

7、宜 0.8060.40200-0.20.00.20.40.60.81.0如)在時間總時間為t=0.05s，時間步長是1000時，可以得到t=0.05s處，物質(zhì)點法和有限元 法得到的結果完全相同，其他各時步處也完全相同。當是當z(t)=1-2*(pi*30*t)”2)*exp(-(pi*30*t)”2);時，物質(zhì)點法和有限元差別很大，因此向師兄請教下。參考文獻Collino F, Tsogka C. Application of the perfectly matched absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in a

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