《第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》學習指導

1、 第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明學習要求：1理解三角形的角平分線、中線、高線的概念及性質(zhì)。會用刻度尺和量角器畫出任意三角形的角平分線、中線和高。2掌握三角形的分類，理解并掌握三角形的三邊關(guān)系。3掌握三角形內(nèi)角和定理及推論，三角形的外角性質(zhì)與外角和。4了解三角形的穩(wěn)定性。知識要點：一、三角形中的邊角關(guān)系1三角形有三條內(nèi)角平分線，三條中線，三條高線，它們都相交于一點。注意：三角形的中線平分三角形的面積。三角形三邊間的不等關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。注意：判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形時，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡便方法是看兩條較短線

2、段的和是否大于第三條最長的線段。3三角形各角之間的關(guān)系：三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和為180。三角形的外角和等于360（每個頂點處只取一個外角）；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。4三角形的分類三角形按邊的關(guān)系可以如下分類：不等邊三角形三角形1等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系可以如下分類：直角三角形RtA（有一個角為直角的三角形）三角形斜三角形J銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）八一J鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）5三角形具有穩(wěn)定性。知識結(jié)構(gòu)：用正多邊形鋪滿地面二、命題與證明1判斷一件事情的

3、句子是命題，疑問句、感嘆句不是命題，計算不是命題，畫法不是命題。2.命題都可以寫成：“如果，那么?！钡男问?。為了語句通順往往要加“字”，但不改變順序。3命題由題設、結(jié)論兩部分組成?！叭绻焙竺娴氖穷}設，“那么”后面的是結(jié)論。4命題分為真命題和假命題。真命題需要證明，假命題只要舉出一個反例。5將命題的題設和結(jié)論交換就得到原命題的逆命題。逆命題可真可假。6公理和定理都是真命題，公理不需要證明，定理必須證明。7定理的逆命題如是真命題就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命題。8命題的證明方法和步驟。證明需要掌握的判定與性質(zhì)：（1）兩直線平行同位角相等。同位角相等兩直線平行。（2）兩直

4、線平行內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補。內(nèi)錯角相等兩直線平行。同旁內(nèi)角互補兩直線平行（3）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。（4）線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。（5）三角形內(nèi)角和定理和推論。三角形中位線定理。（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（7）等腰三角形的判定與性質(zhì)。（8）直角三角形的判定與性質(zhì)。9反證法假設，推理，矛盾，結(jié)論。第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明練習題一、填空題：三角形的一邊是8,另一邊是1,第三邊如果是整數(shù)，則第三邊是，這個三角形是三角形。TOC o 1-5 h z已知三角形兩邊的長分別為1

5、和2,如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為。三角形的三邊長分別為a-1，a，a+1，則a的取值范圍是。三角形的三邊為1,1a，9，則a的。已知a，b，c為AABC的三條邊，化簡寸（a+b-c）2|bac|=。在ABC中，AB=AC,AD是中線，AABC的周長為34cm,AABD的周長為30cm，求AD的長。如圖，CE平分ZACB，且CE丄DB,ZDAB=ZDBA,AC=18cm,CBD的周長為28cm，貝DB=AB&已知等腰三角形兩邊長分別為4和9,則第三邊的長為。題圖9.等腰三角形的周長為20cm,TOC o 1-5 h z（1）若其中一邊長為6cm,則腰長為;（2）若其中一邊長為5cm

6、,則腰長為。10等腰ABC中，AB=AC,BC=6cm,則厶ABC的周長的取值范圍是。等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和6厘米兩部分，則此三角形的底邊長為等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和11厘米兩部分，則此三角形的底邊長為寫出“等腰三角形兩底角相等”的逆命題TOC o 1-5 h z已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為。三角形的最小角不大于度，最大角不小于。16三角形的三個內(nèi)角中至少有個銳角，三個外角中最多有個銳角。在ABC中，若ZC=2（ZA+ZB），則ZC=。11在ABC中，ZA=2ZB=3ZC,則ZB=。如果A

7、BC的一個外角等于150，且ZB=ZC，則ZA=。如圖，已知Z1=20，Z2=25，ZA=50。，則ZBDC的度數(shù)是。如圖，在ABC中，ZA=80,ZABC和ZACB的外角平分線相交于點D,那么ZBDC=紙片ABC中，ZA=65,ZB=75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內(nèi)（如圖），若Z1=20，則Z2的度數(shù)為。F第20題圖）第21題圖）第22題圖）紙片ABC中，ZA=65,ZB=75，將紙片的一角折疊，使點C落在AABC外（如圖），若Z2=20，則Z1的度數(shù)為認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題。探究1：如圖1,在厶ABC中，0是ZABC與ZACB的平分線B

8、O和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)1ZB0C=90+-ZA,理由如下：厶VB0和C0分別是ZABC和ZACB的角平分線，11.Z1=ZABC,Z2=ZACB221.Z1+Z2=-（ZABC+ZACB）厶又VZABC+ZACB=180-ZA11AZ1+Z2=2(180-ZA)=90-ZA11.ZB0C=180(Zl+Z2)=180(90ZA)=90+ZA。22探究2：如圖2中，0是ZABC與外角ZACD的平分線BO和CO的交點，試分析ZBOC與ZA有怎樣的關(guān)系？請說明理由。探究3：如圖3中,0是外角ZDBC與外角ZECB的平分線B0和CO的交點，則ZB0C與ZA有怎樣的關(guān)系？(只寫結(jié)論，不需證明)。結(jié)

9、論：I如圖，已知ZA=80,TOC o 1-5 h z若點0為兩角平分線的交點，則ZB0C=；若點0為兩條高的交點，ZB0C=。如圖，AABC的面積等于12cm2，D為AB的中點，E是AC邊上一點，且AE=2EC,0為DC與BE交點,若厶DB0的面積為acm2CE0的面積為bcm2，則a-b=。如圖，AABC的ZB的外角的平分線與ZC的外角的平分線交于點P,連接AP。若ZBPC=50，貝VZPAC=。第25題圖)(第26題圖)如圖，AABC的外角ZACD的平分線CP與內(nèi)角ZABC的平分線BP交于點P,若ZBPC=40，則ZCAP=度。12345.5678910111213.14151617二、

10、選擇題：在下列長度的四根木棒中，能與3cm,7cm兩根木棒圍成一個三角形的（）A7cmB4cmC3cmD10cm若氐ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為11,且有一邊為4,則這個三角形的最大邊長為（）A.7B.6C.5D.4若ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10,則這樣的三角形共有（）A.6個B.7個C.8個D.9個三角形的三邊分別為3,1-2a,8,則a的取值范圍是（）A.-6a-3B.5a2C.2a5D.a2一個三角形的周長為奇數(shù),其中兩條邊長分別為4和2011,則滿足條件的三角形的個數(shù)是（A.3B.4C.D.6四條線段的長度分別為4、6、8、10,可以組成三角形的組數(shù)為（）A.4B.3C.

11、2D.1等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分,則此三角形底邊之長為（）A.7B.11C.7或11D.不能確定一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7，這個三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形已知一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比是1：5：6，則其最大內(nèi)角的度數(shù)（）A.60B.75C.90D.120如果三角形的一個內(nèi)角等于其它兩個內(nèi)角的和,這個三角形是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.斜三角形三角形的一個外角大于相鄰的一個內(nèi)角,則它是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定在厶ABC中，如果ZAZB=90，那么ABC是（）A

12、.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.斜三角形三角形中，最大角a的取值范圍是（）A.0a90C.60a90B.60a180D.60aAC，則ZA的取值范圍是（）A.0ZA180B.0ZA80oC.50ZA130D.80ZAZB,AD丄BC于D,量關(guān)系？如圖(b)，AE平分ZBAC，F(xiàn)為其上一點，且FD丄BC于D,這時ZEFD與ZB、ZC又有何數(shù)量關(guān)系？ 如圖(c),AE平分ZBAC,F為AE延長線上一點，F(xiàn)D丄BC于D,這時ZAFD與ZB、ZC又有何數(shù)量關(guān)系？如圖，PABC內(nèi)任意一點，求證:ZBPCZA；ZBPC=ZABP+ZA+ZACP；AB+ACPB+PC。如圖中的幾個圖形是五角星和

13、它的變形A圖(1)中是一個五角星，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZEo圖(1)中點A向下移到BE上，五個角的和有無變化？(即ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE如圖(2),說明你的結(jié)論的正確性。把圖(2)中點C向上移動到BD上,五個角的和(即ZCAD+ZB+ZACE+ZD+ZE)有無變化？如圖(3),說明你的結(jié)論的正確性。ABE11.如圖已知厶ABC中,若ZABC=30若ZABC=a,ZB和ZC外角平分線相交于點P。,ZACB=70,求ZBPC度數(shù)。ZBPC=B,求ZACB度數(shù)。AABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是AABC邊上的兩點。如果紙片沿直線腳折疊，使點A正好落在線段AC上，如圖1,此時Z

14、A與ZBDA的關(guān)系是如果紙片沿直線DE折疊，使點A落在ABC的內(nèi)部，如圖2,試猜想ZA和ZBDA、ZCEA的關(guān)系是如果紙片沿直線DE折疊，使點A落在ABC的外部，如圖3,則此時ZA和ZBDA、ZCEA的關(guān)系是，請說明理由。如圖所示，BE、CD交于A點，ZC和ZE的平分線相交于F。試求：ZF與ZB,ZD有何等量關(guān)系？當ZB:ZD:ZF=2：4：x時，x為多少？若ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10,則這樣的三角形共有幾個?有一位同學在數(shù)學競賽輔導書上看到這樣一道題：“已知AABC的三邊長分別是a,b,c。且a、b、c的值滿足等式|b+c2a|+(b+c5)2=0,求b的取值在什么范圍？”。你能

15、解答這道題嗎?在ABC中，ZAZBZC，且ZA=4ZC，求ZB的范圍在ABC中，ZA是最大角，ZC是最小角，且ZA=2ZC，求ZC的取值范圍。第13章三角形中的邊角關(guān)系練習題答案一、填空題：1.9.3.a2。4.9a12。11.1。8，等腰。2.2。12.10厘米或呂厘米。13.有兩個角相等的三角形是等腰三角形；14.20或12017.120；18.60；19.30或120；20.95；15.60，60；16.2，1；21.50；CFE+ZC=ZA+ZB+ZC,解：如圖，TZCEF+Z23.2425.26.27.AZCEF+ZCFE=ZA+ZB=85+55=140,又將紙片的一角折疊，使點C落

16、在ABC內(nèi)，AZCzEF+ZCzF=ZCEF+ZCFE=140,.ZCEC+ZCEC=140+140=280,VZ1=20,.Z2=180X2ZCECz+ZCECzZ1=360故答案為：60。解：如圖，VZA=65,ZB=75,AZC=180ZAZB=180657528020=60=40；又將三角形紙片的一角折疊，使點C落在ABC外,AZCz=ZC=40,而Z3+Z2+Z5+ZCZ=180,Z5=Z4+ZC=Z4+40,Z2=20,AZ3+20+Z4+40+40=180,AZ3+Z4=80,.Z1=18080=100。故答案為100。11ZBOC=ZA,ZBOC=90ZA；22（1）130；（

17、2）100或80；2；解：延長BA,做PN丄AD,PF丄BA,PM丄BC,設ZPCD=x,.CP平分ZACD,.ZBCP=ZPCD=x,PM=PN,TBP平分ZABC,.ZABP=ZPBC,PF=PN,.PF=PM,ZAPC=50,.ZBAP=ZPAC=（x50）,.ZABC=ZBCDZBAC=2x（x50）（x50）=100.ZCBF=100,在RtAPFB和RtAPMB中，PA=PA,PM=PF,.RtAPFB9RtAPMB,.ZFAP=ZPAC=40o2850。二、選擇題：1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.C11.D12.B13.C14.B15.C16.B17.

18、B18.B19.C20.B21.C22.A23.B24.D25.D26.C27.Co考點：三角形內(nèi)角和定理。分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出ZBAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出ZCAP=ZFAP，即可得出答案。解：延長BA,作PN丄BD,PF丄BA,PM丄AC,設ZPCD=x,TCP平分ZACD,.ZACP=ZPCD=x,PM=PN,TBP平分ZABC,.ZABP=ZPBC,PF=PN,.PF=PM,VZBPC=35,.ZABP=ZPBC=(x-35),.ZBAC=ZACD-ZABC=2x-(x-35)-(x-35)=70.ZCAF=110,在RtAPFA和RtAPM

19、A中，PA=PA,PM=PF,.RtAPFA9R也PMA,.ZFAP=ZPAC=55o故選C。三、解答下列各題：（1）5VxV13；18VAABC的周長V26；當x為偶數(shù)時，x=6、8、10、12；當ABC的周長為偶數(shù)時，x=7、9、11；當AABC周長是5的倍數(shù)時，x=7、12；若ABC為等腰三角形，x=9oa=2,b=1,1cZPDCZA；ZBPC=ZPDC+ZACP；ZPDC=ZA+ZABP；ZBPC=ZAZABPZACP。.AB+ADBD。PDDCPC。.ABADPDDCBDPC。.ABACPBPC。(1)180。(2)無變化。理由：ZCAD+ZB+ZC+ZE=ZCAD+ZEAD+ZB

20、AC=180。(3)無變化。理由:ZCAD+ZB+ZACE+ZD+ZE=ZACB+ZACE+ZECD=180。11解：(1)ZBPC=180-(2乙EBC+-ZBCF)11=180-(ZEBC+ZBCF)=180-(180-ZABC+180-ZACB)221=180-(180-30+180-70)2=50；1(2)ZBPC=180-(180-ZABC+180-ZACB)21=(ZABC+ZACB),2ZBPC=B,ZABC=a,1B=(a+ZACB)。2故ZACB=2Ba。12.解:(1)ZBDAz=2ZA；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知ZDAE=ZA,ZDAE+ZA=ZBDA，故ZBDA=2ZA；ZBDA+ZCEA=2ZA,理由：在四邊形ADAE中，ZA+ZDAE+ZADA+ZAEA=360,.ZA+ZDAE=360ZADAZAEA,VZBDAZ.ZBDA.ZBDA+ZADAZ=+ZCEA+ZCE