高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(精華版)知識(shí)分享

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（精華版）精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除一、數(shù)列數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱 為該數(shù)列的項(xiàng) .數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào) 有“規(guī)律”因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同 的數(shù)列在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)項(xiàng) an與項(xiàng)數(shù) n 是兩個(gè)根本不同的概念數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集 ( 或它的有限子集 ) 的函數(shù)當(dāng)自變量 從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列通項(xiàng)公式：如果數(shù)列 an 的第 n項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示 , 那么 這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)

2、列的通項(xiàng)公式，即 an f(n).遞推公式：如果已知數(shù)列 an 的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng) an 與 它的前一項(xiàng) an 1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，即 an f(an 1) 或an f(an1,an 2) ，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列 an 的遞推公式. 如數(shù)列 an 中， a1 1,an 2an 1，其中 an 2an 1是數(shù)列 an 的遞推公式 .數(shù)列的前 n項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式S1(n 1) Sn a1 a2an； an1 .n 1 2 n n Sn Sn1(n 2)數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法 .數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列

3、， 常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無(wú)界數(shù)列 .遞增數(shù)列 :對(duì)于任何 n N ,均有an 1 an.遞減數(shù)列 : 對(duì)于任何 n N , 均有 an 1 an.擺動(dòng)數(shù)列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, .常數(shù)數(shù)列 : 例如:6,6,6,6, .有界數(shù)列 :存在正數(shù) M使 an M,n N .無(wú)界數(shù)列:對(duì)于任何正數(shù) M ,總有項(xiàng)an使得 an M.n11、已知an2 n (n N* ) ，則在數(shù)列 an的最大項(xiàng)為_(kāi)(答： 1 )；n2 156252、數(shù)列an的通項(xiàng)為anan ，其中a,b均為正數(shù)，則 an與an1的大小關(guān)系bn 1為 _(答： an an 1)；答：3)； 4、一給定函數(shù) y f(x)的

4、圖象在下列圖中，并且對(duì)任意3、已知數(shù)列 an 中， an n2n ，且 an 是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù) 的取值范圍a1 （0,1） ，由關(guān)系式 an 1 f（an）得到的數(shù)列 an滿足 an1 an（n N * ） ，則該函 數(shù)的圖象是（）（答： A ）1、等差數(shù)列的定義 ：如果數(shù)列 an 從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同 一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即 an an 1 d（n N*,且n 2）.（或 an 1 an d（n N*）.2、（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法： an 1 an d（常數(shù) ）an 為等差數(shù)列。 中項(xiàng)法 ： 2an 1 an an 2a

5、n 為等差數(shù)列。通項(xiàng)公式法 ： an an b（a,b為常數(shù)）an 為等差數(shù)列。前 n 項(xiàng)和公式法 ： sn An2 Bn（A,B 為常數(shù)）an 為等差數(shù)列。如設(shè) an 是等差數(shù)列，求證：以 bn=a1 a2an n N* 為通項(xiàng)公式的數(shù)列 bnn為等差數(shù)列。（ 2）等差數(shù)列的通項(xiàng)： an a1 （n 1）d 或 an am （n m）d 。公式變形為 : an an b.其中 a=d, b= a1 d.如 1、等差數(shù)列 an 中， a10 30， a20 50，則通項(xiàng) an（答：2n 10）； 2、 首項(xiàng)為 -24 的等差數(shù)列，從第 10 項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是 （答： 8 d

6、3 ）3（ 3）等差數(shù)列的前 n和： Sn n（a1 an）， Sn na1 n（n 1）d 。公式變形為：n 2 n 1 2d2sn An Bn，其中A=2 ，B=a1 d .注意：已知 n,d, a1,an, sn中的三者可以2求另兩者，即所謂的“知三求二”。如 數(shù)列 an 中， an an 1 12(n 2,n N*) ，an3 ，前 n 項(xiàng)和 Sn2n152，則a1， n （答： a13，n 10 ）； （2）已知數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和2*2 12n n2(n 6,n N* )Sn 12n n2 ，求數(shù)列 | an |的前n項(xiàng)和Tn (答： Tn2 * )ab2n2 12n 72(n

7、6,n N* )提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及 前 n和公式中，涉及到 5個(gè)元素： a1、4）等差中項(xiàng)： 若 a,A,b 成等差數(shù)列，則 A叫做 a 與b的等差中項(xiàng)，且 Ad、n、an及Sn，其中 a1 、 d稱作為基本元素。只要已知這 5個(gè)元素中的任意3 個(gè)，便可求出其余 2 個(gè)，即知 3求 2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技 巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為， a 2d,a d,a,a d,a 2d （公差為 d ）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為， a 3d,a d,a d,a 3d ,（公差為 2d ）等差數(shù)列的性質(zhì) ：（1）當(dāng)公差 d 0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 （n 1）d d

8、n a1 d 是關(guān) 于n的一次函數(shù)，且斜率為公差 d；前n和Snna1n（n 1）dd n2（a1d）nn1 2212S 是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為 0. 等差數(shù)列a n 中， Sn是n的一次函數(shù)，且 n點(diǎn)（ n， Sn ）均在直線 y = d x + （a 1 d ） 上n 2 22）若公差 d 0 ，則為遞增等差數(shù)列，若公差 d 0 ，則為遞減等差數(shù)列，若公差 d 0 ，則為常數(shù)列（3）對(duì)稱性：若 an 是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于 首末兩項(xiàng)之和 .當(dāng)m n p q時(shí),則有am an ap aq ，特別地，當(dāng) m n 2p 時(shí)，則有 am an 2ap .如1、等差數(shù)列

9、 an中， Sn 18,an an 1 an 2 3,S3 1 ，則n （答： 27）；2、在等差數(shù)列 an 中， a10 0,a11 0，且 a11 |a10|， Sn是其前 n項(xiàng) 和，則 A、 S1,S2L S10都小于 0， S11, S12 L 都大于 0B、S1,S2L S19 都小于0， S20, S21L 都大于 0C、S1,S2L S5都小于 0， S6,S7 L 都大于 0 D、S1,S2L S20都小于 0， S21, S22L 都大于 0 （答：B）（4） 項(xiàng)數(shù)成等差 ,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列 .即 ak,ak m,ak 2m,.（k,m N*）成等 差.若an、bn是等

10、差數(shù)列，則 kan 、kan pbn （k、 p是非零常數(shù) ）、 ap nq（ p,q N*）、Sn,S2n Sn , S3n S2n （公差為 n2d ），也成等差數(shù)列，而 aan成等比數(shù)列；若 an是等比數(shù)列，且 an 0 ，則lg an是等差數(shù)列 .如 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 25，前 2n項(xiàng)和為 100，則它的前 3n 和為。（答： 225）5）在等差數(shù)列 an 中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n時(shí)， sn n（an an 1） ；s偶 an 1s偶 s奇 nd ；s偶 n 1 s奇ns奇an項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n 1時(shí)， s2n 1 （2n 1）an； s偶 s奇 a1如 1、在等差數(shù)列中， S11

11、22，則 a6 （答： 2）；2、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 an 中，奇數(shù)項(xiàng)和為 80，偶數(shù)項(xiàng)和為 75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答： 5； 31）6）單調(diào)性：設(shè) d 為等差數(shù)列 an 的公差，則d0 an 是遞增數(shù)列； dm），則 Sm n =n m（a nmb）8、已知 an 成等差數(shù)列，求 sn 的最值問(wèn)題： 若 a1 0,d0且滿足 an 0, ,則 sn最小.1 an 1 0n“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n 項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 n 項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組anan 10 確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前0n

12、項(xiàng)是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特 殊性 n N* 。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能 求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如 1、等差數(shù)列 an 中， a1 25， S9 S17 ，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求 此最大值。（答：前 13 項(xiàng)和最大，最大值為 169）；2、若an 是等差數(shù)列，首項(xiàng) a1 0, a2003 a2004 0 ，a2003 a2004 0，則使前 n項(xiàng)和 Sn 0成立的最大正整數(shù) n是（答： 4006）（10）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也 是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)

13、列公差的最小公倍數(shù) . 注意：公 共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究 an bm .三、等比數(shù)列1、等比數(shù)列的有關(guān)概念 ：如果數(shù)列 an 從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即an q(n N*,n 2)(或an 1q(n N*)an 1an2、等比數(shù)列的判斷方法：定義法 an 1anq（q為常數(shù) ），其中 q0,an0或an 1an(n 2) 。如 1、 一個(gè)等比數(shù)列52n 1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為 100，偶數(shù)項(xiàng)之積為 120，則 an 1為（答： 5 ）；6 2、數(shù)列 an 中， Sn =4 an 1 +1 （n 2）且a

14、1=1，若bn an1 2an ，求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列。3、等比數(shù)列的通項(xiàng)： an a1qn1或an amqn m。如 設(shè)等比數(shù)列 an中， a1 an 66， a2an 1 128，前n項(xiàng)和 Sn 126，求n和公1比 q. （答： n 6 ， q 或 2 ）24、等比數(shù)列的前 n和：當(dāng)q 1時(shí)， Sn na1；當(dāng) q 1時(shí)，Sn a1(1 q ) a1 anq 。如 等比數(shù)列中， q 2，S99=77，求 1 q 1 qa3 a6a99 (答： 44)提醒： 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n 項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比 q是否為 1，再由 q的情況選擇求和公式的

15、形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為 1 時(shí)，要對(duì) q分 q 1和q 1兩種情形討論求解。5、等比中項(xiàng)： 如果 a、G、b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么 G叫做 a與 b的等比中 項(xiàng)，即 G= ab .提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在 等比中項(xiàng)，且有兩個(gè) ab 。如已知兩個(gè)正數(shù) a,b（a b） 的等差中項(xiàng)為 A， 等比中項(xiàng)為 B，則 A與B的大小關(guān)系為 （答： A B）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及 前 n項(xiàng)和公式中，涉及到 5個(gè)元素： a1、q、n、an及Sn，其中 a1、 q稱作為基本元素。只要已知這 5個(gè)元素中的 任意 3個(gè)，便可求出其余 2個(gè)，即知 3求 2；（2）為減少運(yùn)算量，

16、要注意設(shè)元 的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為， a2 ,a,a,aq,aq2（公比為 q）；但偶 qq數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為 a3 ,a,aq,aq3 ，因公比不一定為正數(shù)，只有公 qq比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為 q2。如 有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， 后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的 和為 12，求此四個(gè)數(shù)。（答： 15，,9， 3,1 或 0,4，8,16） 6、等比數(shù)列的性質(zhì) ：（ 1）對(duì)稱性：若 an 是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于 首末兩項(xiàng)之積 .即當(dāng) m n p q時(shí)，則有 am.an ap.aq ，特別地，當(dāng) m

17、n 2p 2時(shí)，則有 am.an ap . 如 1、在 等比數(shù)列 an 中，a3 a8 124, a4a7 512 ， 公比 q是整數(shù)，則 a10 =_（答： 512）；2、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，若 a5 a6 9，則log3 a1 log3 a2 L log3 a10（答： 10）。(2) 若 a n 是公比為 q 的等比數(shù)列，則 | a| 、a 2n 、ka n 、an1 也是等比數(shù)列，其公比分別為 | q | 、q 2 、q 、 1。若an、bn成等比q數(shù)列，則 anbn 、 an 成等比數(shù)列； 若an 是等比數(shù)列，且公比 q 1，則數(shù) n nbnn列Sn,S2n Sn,S3n

18、 S2n ，也是等比數(shù)列。當(dāng) q 1，且 n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列Sn,S2n Sn,S3n S2n ，是常數(shù)數(shù)列 0，它不是等比數(shù)列 . 若 an 是等比數(shù)列， 且各項(xiàng)均為正數(shù)，則 logaan 成等差數(shù)列。若項(xiàng)數(shù)為 3n的等比數(shù)列 (q 1) 前n項(xiàng)和與前 n項(xiàng)積分別為 S1與 T1，次 n項(xiàng)和與次 n項(xiàng)積分別為 S2與 T2， 最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為 S3與T3，則S1，S2，S3成等比數(shù)列， T1，T2， T3亦成等比數(shù)列如 1、已知a 0且a 1，設(shè)數(shù)列 xn滿足loga xn 1 1 loga xn (n N*)，且 x1 x2 L x100 100 ，則 x101 x102 L x20

19、0. (答： 100a )；2、在等比數(shù)列an中， Sn為其前 n項(xiàng)和，若S30 13S10,S10 S30 140，則 S20的值為(答： 40)(3) 單調(diào)性：若a1 0,q 1，或a1 0,0 q 1則an 為遞增數(shù)列；若a1 0,q 1,或a1 0,0 q 1 則 an為遞減數(shù)列；若 q 0，則an為擺動(dòng)數(shù) 列；若 q 1，則an 為常數(shù)列.(4) 當(dāng)q 1時(shí)，Sna1qn a1 aqn b，這里 a b 0，但1 q 1 qa 0,b 0，這是等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù) Sn ，判 斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列。 如若an是等比數(shù)列，且 Sn 3n r，則r 答：

20、 1)（5） Smn Sm qmSn Sn qnSm .如設(shè)等比數(shù)列 an的公比為 q，前n項(xiàng)和 為Sn，若Sn1,Sn,Sn 2成等差數(shù)列，則 q的值為（答： 2）（6） 在等比數(shù)列 an 中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n時(shí)，S偶 qS奇 ；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n 1 時(shí)， S奇 a1 qS偶 .（7）如果數(shù)列 an 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列 an 是非零常數(shù)數(shù) 列，故常數(shù)數(shù)列 an 僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條 件。如設(shè)數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn（n N ）， 關(guān)于數(shù)列 an 有下列三個(gè)命題： 若an an 1 （n N），則 an 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若Sn an2 bn a、b R ，則 an 是等差數(shù)列；若 Sn 1 1 n ，則 an 是等比 數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是 （答：）等差數(shù)列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；四、難點(diǎn)突破1并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一 定唯一已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的2等差 （比）數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第 2 項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差 （ 比） 等于同一個(gè)常