高鴻業(yè),微觀經(jīng)濟學,第七版,課后答案,西方經(jīng)濟學18博弈論初步

1、第十章博弈論初步第一部分教材配套習題本習題詳解一、簡答題1 ,什么是納什均衡？納什均衡一定是最優(yōu)的嗎？解答：（1）所謂納什均衡，是參與人的一種策略組合，在該策略 組合上，任何參與人單獨改變策略都不會得到好處。（2）不一定。如果納什均衡存在，納什均衡可能是最優(yōu)的，也 可能不是最優(yōu)的。例如，在存在多個納什均衡的情況下，其中有一些 納什均衡就不是 最優(yōu)的；即使在納什均衡是唯一時，它也可能不是 最優(yōu)的，因為與它相對應的支付組合可能會小于與其他策略組合相對 應的支付組合。如：囚徒 困境。2 .在只有兩個參與人且每個參與人都只有兩個策略可供選擇的情 況下， 純策略的納什均衡最多可有幾個？為什么？解答：在只

2、有兩個參與人 （如 A和B）且每個參與人都只有兩 個策略可供選擇的情況下，純策略的納什均衡最多可有四個。例如， 當A與B的支付矩陣可分別表示如下時，總的支付矩陣中所有四個單元格的兩個數(shù)字均有下劃線，從而，總共有四個納什均衡。A的支付矩陣=21a-12a 一22B的支付矩陣=bb-1-212b=b一.2122例如：aii=ai2=a2i=a22,具體事例為:bii=bi2=b2i =b22就會得到以上四個納什均衡7 37 33 .在只有兩個參與人且每個參與人都只有兩個策略可供選擇的情況下，純策略的納什均衡可能有三個。試舉一例說明。解答：在只有兩個參與人且每個參與人都只有兩個策略可供選擇的情況下,

3、純策略的 納什均衡可能有4個、3個、2個、1個和0個五種情況，所以可能a 12 B的支付矩陣=a22dM. Iabab11-111212abab一212122226151323b21b12b22有3個。例如，當參與 人A與B的支付矩陣可分別表示如下時，總的支付矩陣 中恰好有三個單元格的兩個數(shù)字均有下劃線，從而，總共有三個納什均衡。 TOC o 1-5 h z A的支付矩陣=a11_a_21A、 B共同的支付矩陣=具體事例為：17L7.在只有兩個參與人且每個參與人都只有兩個策略可供選擇的情況下，如何找到所有的純策略納什均衡？首先，把整個博弈的支付 （即位于整個博弈矩陣解答：可使用條件策略下劃線法

4、。具體步驟如下： 矩陣分解 為兩個參與人的支付矩陣；其次，在第一個 左方的）參與人的支付矩陣中，找出每一列的最大者，并在其下畫線；再次，在第二個 （在位于整個博弈矩陣上方的）參與人的支付矩陣中，找出每一行的最大者，并在其下畫線；然后，將已經(jīng)畫好線的兩個參與人的支付矩陣再合并起來，得到帶有下劃線的整個博弈的支付矩陣；最后，在帶有下劃線的整個的支付矩陣中， 找到兩個數(shù)字之下均畫有線的支付組合。由該支付組合 代表的策略組合就是博弈的納什均衡。.設有A、B兩個參與人。對于參與人A的每一個策略，參與人B的條件 策略有無可能不止一個？試舉一例說明。解答：例如，在如表1 0 1的二人同時博弈中，當參與人A選

5、擇上策略時，參與人 B既可以選擇左策略，也可以選擇右策略，因為他此時選擇這兩 個策略的支付是完全一樣的。因此，對于參與人A的上策略，參與人B的條件策略有兩個，即左策略和右策略。左策略 石茶略F41 上策略5, 6I, 6，的策略下策略7. II2, 3.如果無論其他人選擇什么策略，某個參與人都只選擇某個策略，則該策 略就是該參與人的絕對優(yōu)勢策略（簡稱優(yōu)勢策略）。試舉一例說明某個參與人具有某個優(yōu)勢策略的情況。解答：例如，在如表1 0 2的二人同時博弈中，無論參與人 A是選擇上 策略還是選擇下策略， 參與人B總是選擇左策略，因為他此時選擇左策略的支付總是大于選擇右策略。因此，在這一博弈中，左策略就

6、是參與人B的絕對優(yōu)勢策 略。同時下策略是A的絕對優(yōu)勢策略。 TOC o 1-5 h z 1 02H的策略I左第略右策略上策略5. 41.3A的茶用|*卜策陳7. 62. 5.混合策略博弈與純策略博弈有什么不同？解答：在純策略博弈中，所有參與人對策略的選擇都是“確定”的，即總是以100%的可能性來選擇某個策略，而在混合策略博弈中，參與人則是以一定的可能性 來選擇某個策略，又以另外的可能性選擇另外一些策略。在這種情況下，參與 人 選擇的就不再是原來的 100 %的確定策略（如上策略或下策略），而是一個概率向量 （如以某個概率選擇上策略，以另外一個概率選擇下策略）。純策略 博弈可以看成是混合策略博弈

7、的一種特例。.條件混合策略與條件策略有什么不同？解答：例如，在一個只包括參與人A與參與人 B的二人同時博弈中，參與人A的條件策略是A在B選擇某個既定策略時所選擇的可以使其支付達到最大 的策略。相應地，參與人A的條件混合策略是A在B選擇某個既定的混合策略時所選擇的可以使其期望支付達到最大的混合策略。.混合策略納什均衡與純策略納什均衡有什么不同？解答：在純策略博弈中，納什均衡是參與人的一種策略組合，在該策略組合上，任何參與人單獨改變其策略都不會得到好處。在混合策略博弈中，納什均衡是參與人的一種概率向量組合，在該概率向量 組合上， 任何參與人單獨改變其概率向量都不會得到好處。.設某個純策略博弈的納什

8、均衡是有限的。試問：相應的混合策略博弈的納什均衡會是無限的嗎？試舉一例說明。解答：當純策略博弈的納什均衡為有限時，相應的混合策略博弈的納什均衡 既可能是有限的，也可能是無限的。例如，在只包括A與B的二人同時博弈中， 混合策略納什均衡的“集合”可以是單位平面、三條線段、兩條線段、一條線段、三個點、兩個點和一個點，其中，前四種情況就意味著存在無限多個納什均 衡。.在完全信息動態(tài)博弈中，納什均衡與逆向歸納策略有什么不同？解答：與同時博弈一樣，在序貫博弈中，納什均衡也是指這樣一些策略組合，在這些 策略組合中，沒有哪一個參與人會單獨改變自己的策略。同樣，在序貫博弈中，納什均衡 也可能不止一個。 在這種情

9、況下， 可以通過逆向歸納法 對納什均衡進行 “精煉”，即從多個納什均衡中，排除掉那些不合理的納什均衡，或者，從眾多的納什均衡中進一步確定 “更好”的納什均衡。經(jīng)由逆向歸 納法的精煉而得到的納什均衡就是所謂的逆向歸納策略。二、論述題1.設某個純策略博弈的納什均衡不存在。試問：相應的混合策略博弈的納 什均衡會存在嗎？試舉一例說明。解答：在同時博弈中，純策略的納什均衡可能存在，也可能不存在，但相應的混合策略納什均衡總是存在的。例如，在表1 03的二人同時博弈中，根據(jù)條件策略下劃線法可知，由于沒有一個單元格中兩個數(shù)字之下均有下劃線，故純策略的納什均衡不存在，但是，相應的混合策略納什均衡卻是存在的。B的

10、策略q1左策略一1-Q1右策略P1上策略3,67,3A的策略1-P1卜策略28表1 03首先，分別計算A與B的條件混合策略Ea = 3piqi+ 9p i (1 qi)+ 7(1 pi)qi+ 2(1 p i)(1 qi)=3piqi + 9pi 9piqi+ 7qi 7piqi+ 2 2qi 2pi+ 2p iqi= 7pi 11piqi + 5qi+ 2 = pi(7 11qi)+5qi+ 2EB = 6piqi +2Pi(1 qi )+3(1 pi)qi + 8(1 pi)(1 qi)=6piqi + 2p i- 2p iq i + 3q i 3p iqi + 8 8qi 8pi + 8

11、p iq i=9p iqi + 8 5q i 6p i=q i (9p i 5) 6p i + 8其次，分別計算A和B的條件混合策略。1 q 7/11_0,1 q 7 / 1107 / 11i0Pl5/ 91= 0 0,1 p 5 / 95 / 9i最后，混合策略納什均衡參見圖10 1中的 e點。AH的條件混合策略曲線A的條件混策略曲線.在下面的博弈樹中(見圖1 0 2),確定納什均衡和逆向歸納策略。解答：納什均衡和逆向歸納策略都是同一個，即與支付向量(1, 3)相應的策略組合(決策1 ,決策3 )。.用逆向歸納法確定下面的“娛蚣博弈”的結果 (見圖1 0 3)。在該博弈中，第1 步是A決策：

12、如果A決定結束博弈，則A得到支付1, B得到 支付0,如果A決定繼續(xù)博弈，則博弈進入到第2步，由B做決策。此時，如果B決定結束博弈，則A得到支付0 ,B得到支付2 ,如果B決定繼續(xù)博弈，則博弈進入到第3步，又由A做決策，如此等等， 直到最后，博弈進入到第 9999步，由A做決策。此時，如果A決定結束博弈，則A得 到支付9999, B得到支 付0;如果 A決定繼續(xù)博弈，則 A得到支付0, B得到支付10000。A雌續(xù) B嫌續(xù) A維續(xù) B維續(xù) A繼續(xù)* I(OJO 000)站束結束結柬結束結束 (1,0)(02)(3,0)(0.9 998)(9 999.0)圖 1 0 3解答：首先考慮第 9999

13、步A的決策。此時，A肯定會結束博弈結束博弈A可以 得到支付9999,否則只能得到 0o于是，我們可以把該博弈中最后一條水平線段刪除；其次考慮第9998步B的決策。此時，B也肯定會結束博弈，結束博弈B可以得到，9998,否則只能得到 0o于是，我們可以把該博弈中倒數(shù)第 二條水平線段 （以及它后面的最后一 條垂直線段）也刪除。這樣倒推下來的結 果是，任何一個人在輪到自己決策時都會決定結束博弈。因此，整個博弈的結果 是：在第1步，A就決定結束博弈，于是，A得到1, B得到0。4.在圖103所示的情侶博弈中，如果將第二個支付向量（0,0）改為（0,1.5 ）,納什均衡和逆向歸納法策略會有什么變化？改為

14、 （0, 1）呢？解答：（1）當?shù)诙€支付向量不變，仍然為 （0, 0）時，有兩個納什均衡，即（足球，足球）和 （芭雷，芭雷），逆向歸納策略為（足球，足球）。（2）將第二個支付向量由（0, 0）改為 （0, 1.5 ）后，納什均衡和逆向歸納法策略都是（芭雷，芭雷）。（3）如果將第二個支付向量改為（0, 1）,則納什均衡仍然為（足球，足球）和 （芭雷，芭雷），但逆向歸納法失效：當男方選擇芭雷時，女方也選擇 芭雷，從而，男方可得到支付1 ,但是，當男方選擇足球時，女方既可以選擇足球，也可以選擇芭雷，如果女方選擇足球，則男方可以得到更大的2,如果女方選擇芭雷，則男方只能得到更小的0。足電一(2, I

15、)(0. 0)(-1. -1) (U 2)，純策略的納什均.在只有兩個參與人且每個參與人都有三個策略可供選擇的情況下 衡最多可有幾個解答：在只有兩個參與人且每個參與人都只有三個策略可供選擇的情況下, 純策略的納什均衡最多可有九個。例如，當參與人A與B的策略不同，但各自 的支付相同，則有九個支付相同的納什均衡。.設有兩個參與人x和yx有兩個純策略xi和X2,y有兩個純策略 y i和y2。當y選擇yi和y2時,x選才i xi得到的支付分別為 xii和xi2，選擇x 2得到的支付分別為x21和x22；當x選擇xi和x2時,y選擇yi得到的支付分別為yii和y2i,選擇y2得到的支付分別為 yi2 和

16、 y22 o(i)試給出相應的博弈矩陣。(2)這種博弈矩陣的表示是唯一的嗎？為什么？xiix2ixiiyyiiI2yy2i22解答：(i)x的支付矩陣=A、B共同的支付矩陣=xi B的支付矩陣=Wkx22y x yii I2 I2x y x y2i 2i 2222x 2 策略x 2i, y 2ix22, y 221.6根據(jù)表10-1的二人同時博弈模型求(1)參與人A與B的期望支付(2)參與人 A與B的條件混合策略。(3)納什均衡。表 10 - 1B的策略q11-q 1左策略右策略A的策略3,21,10,02,31- p1解答(1)分別計算A與B的期望支付：Ea= 3pq+ p1(1 q1)+

17、0(1 p1)q1 + 2(1 p1)(1 q1)=3p 1 q1 + p1 一 p1q1 + 2 一 2q 1 - 2p 1 + 2p 1 q1=4p 1 q1 p1 2q 1 + 2 = p1 (4q 1 1)-2 q1 + 2Eb = 2p1q1 + p1(1 q1)+ 0(1 p1)q 1 + 3(1 p1)(1 q1)=2p1q1 + p1 p1q1 + 3 3q 1 3P1 + 3p1q1=4p 1 q1 3q 1 2p 1 + 3 = q 1 (4p 1 3) 2P1 + 3(2)分別計算 A和B的條件混合策略。1 q f 1/41p =0,1 q 1/ 4 TOC o 1-5

18、h z 110q p1/ 411p f3/41q =0,1 p 3/4 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 110 p p 3/41(3)混合策略納什均衡見圖中qi1e1.7根據(jù)表10- 2的二人同時博弈模型求(1)參與人A與B的期望支付(2)參與人 A與B的條件混合策略。(3)納什均衡。6.表 10 - 2pi上策略B的策略A的策略q1左策略右策略3,02,1321-p i解答(1)分別計算A與B的期望支付：Ea= 3pq+ 2P1(1 q1)+ 3(1 p1)q1+ (1 p1)(1 q1)3p1q1 + 2p1 2p 1q1+ 3 q 1

19、- 3 p1q1 +1 p1- q1 + pq-p1q1+p1+2q 1 + 1p1 (1 q 1)+2 qI + 1Eb = 0p1q1 + p1(1 q1)+ 2(1 p1)q 1 + (1 p1)(1 q1) p1 - p1q1 + 2 q 1 2 p1q1+1 p1 - q 1 + p1q1-2p 1q1 + q1 + 1q 1 (1 2p 1)+1(2)分別計算A和B的條件混合策略。0,1 q =1i1 p p 1/ 2i =q =0,1 p 1/ 2i1L0 p f 1/21(3)虛線MBC為A的條件混合策略曲線， 實線MDNC為A的條件混合策略曲線，混合策略納什均衡為圖中線段重合部分MD段，重合部分 MD段部分上每一點都代表一個混合策略納什均衡，C點也是混合策略納什均衡。納什均衡為 (p1，1-p1),(q1，1-q1)(0, 0.5, 0.5, 1, (1,0), ( ( 1,0) (0,1)q1 1MB的條件混合策略曲線A的條件混合策略曲線NC01/21pi1.8根據(jù)圖10 4的博弈樹模型求(1)納什均衡。逆向歸納策略。842211參與人參與人B決策448圖104解答(1)納什均衡是(8,4),(4,8)。這個結論可以通過下劃線方法得到。也可以通過納什