例測定恢復(fù)系數(shù)將一種材料制成小球另一種材料制成

1、例：測定恢復(fù)系數(shù)：將一種材料制成小球，另一種材料制成平板，水平放置，使小球從高度 H 處自由落下。設(shè)小球反跳的高度為 h，求該材料的恢復(fù)系數(shù)。解：小球在碰撞前后的速度分別為： v10 =( 2gH )1/2, v1 = -( 2gh )1/2 .而平板在碰撞前后的速度分別為：v20 = 0, v2 = 0 .兩種材料的恢復(fù)系數(shù)為： e = (v2 - v1 )/( v10 - v20 ) =( 2gh )1/2/( 2gH )1/2 = ( h/H )1/2Hhv10v11例4-1 設(shè)質(zhì)量為 m1的粒子 1以速度 V1與原來靜止的粒子 2發(fā)生對心的彈性碰撞，粒子2的質(zhì)量為 m2，碰撞后粒子2的

2、速度為V2。又設(shè)粒子 1仍以速度 V1與原來靜止的粒子 3發(fā)生對心的彈性碰撞，粒子 3的質(zhì)量為 m3，碰撞后粒子 3的速度為V3。求粒子 1的質(zhì)量 m1。解：考慮粒子 1與粒子 2的碰撞動量守恒: m1V1 + m2 V2 = m1V1 + m2 V2 彈性碰撞 e = 1： V1 - V2 = V2 - V1 由于 V2= 0，可得：V2= 2m1V1/(m1+ m2)同理可得： V3= 2m1V1/(m1+ m3) 2 V2= 2m1V1/(m1+ m2) V3= 2m1V1/(m1+ m3)消去 V1，可得粒子 1的質(zhì)量為： m1 = ( m3V3 - m2V2 )/(V2 - V3 )

3、 中子的質(zhì)量最初就是用這個(gè)例題所采用的方法測定的。 1932年英國物理學(xué)家查德威克發(fā)現(xiàn)：若用中子分別與氫原子 ( 原子量為 1 )的核及氮原子( 原子量為14 )的核碰撞，則氫原子的核獲得的速度是氮原子的核獲得的速度的7.5倍。由此查德威克求出中子的質(zhì)量近似等于氫原子核(質(zhì)子)的質(zhì)量。3例4-2 求一均勻細(xì)棒相對于(a)垂直于棒且通過棒的一端的軸和(b)垂直于棒且通過棒中心的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：(a)設(shè)L為棒AB的長度，S為棒的截面，假定S非常小，dx小段的體積為dv=Sdx，由每一小段到Y(jié)軸的距離為 x，并令密度恒定，則得： IA = LO x2 Sdx =S LO x2 dx =L3S/ 3

4、 SL為棒的體積 SL為棒的質(zhì)量故： IA= mL2/ 3dxxLXYABS4(b)計(jì)算通過質(zhì)心YC 軸的轉(zhuǎn)動慣量(三種方法)第一種：分段兩段，每一段的質(zhì)量為 m/2 ，長度為L/2，它們繞YC 軸的轉(zhuǎn)動慣量為dxxL/2XYABSYCCL/25第二種：與(a)中相同，但積分范圍是從 -L/2到 + L/2 ，我們把這個(gè)解留給學(xué)生去完成。第三種： 利用平行軸定理 IA= IC + md2 = IC + m( L/2)2 ( d= L/2)得： IC = IA - m( L/2)2 = mL2/3 - mL2/4 = mL2/12dxxL/2XYABSYCCL/26=I122mrTgmm22=2

5、aa=r1TT2+mT1T2Irr=1T11mmga 例 在圖示的裝置中求 ： T.a,12滑輪可視作均質(zhì)圓盤。Tmmm12rTT12m2T22gmagm1T11ma7a2mmmmmg1212=+()()mmmmg22211=+()mrTmg21122=22+()mmm1mm+g122=2T)(m1mm+mmm2228例4-4 半徑相同的球，圓柱的圓環(huán)，從高度h處開始沿一斜面無滑動滾動下來。試求每一物體在斜面底部的速度。解：質(zhì)心定理： Mg sin - f = Ma （1） 質(zhì)心轉(zhuǎn)動定律： f R = IC =MK2 （2） 角量與線量關(guān)系： a = R （3）式中K為回轉(zhuǎn)半徑。（1）式 R：

6、 MgR sin - f R = MRa （4）（3）式代（2）式： f R = MK2 a / R （5）ABNMgvhf9 MgR sin - f R = MRa （4） f R = MK2 a / R （5）（4）式 +（5）式 ： MgR sin = MRa + MK2 a / R = MRa ( 1 + K2/R2 )得： a = g sin /(1 + K2/R2 ) v2 = 2aS = 2gsin/(1+K2/R2 ) h/sin = 2g h /(1+K2/R2 )ABhh/sin v10 例 一質(zhì)量為M長度為L的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時(shí)桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一質(zhì)

7、量為m的橡皮泥以速度v 和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。 試求： 1. 碰撞后系統(tǒng)的角速度； 2. 碰撞后桿子能上擺的最大角度。）Lv4mM3L11 碰撞過程角動量守恒,得：mvmM34IIL=)(+mmMM334IILL22=)(1mv4991616LLL22=+11333mmMM4mvLL3 上擺過程機(jī)械能守恒，得：3LL4vmMcoscosI222()(+1m43IMM=mgLL1g1)M34916L222=)(+1m4MLggmax(3mm+119163M)mvarc cos212 例 人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為I10,為初始轉(zhuǎn)速為的質(zhì)量,m啞鈴2rr1求：雙臂收縮變?yōu)闀r(shí)的由角速

8、度及機(jī)械能增量。rr12mmI0113非保守內(nèi)力作正功 ，機(jī)械能增加rr12mmI01I=21(0+)Ek22222rmI1)10+2(2212rmIII=20+(1(0002111+)221I22mmrr2rm22II=0+)(11222(0+)2rm22mr由角動量守恒II=12()00+222)(12mrrm214例4-4 半徑相同的球，圓柱的圓環(huán)，從高度h處開始沿一斜面無滑動滾動下來。試求每一物體在斜面底部的速度。解：因?yàn)殪o摩擦力不作功， 所以總能量守恒。起始B點(diǎn)： 總能量 E = Mgh在斜面底部： E = MV2/ 2 + IC2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2

9、 = M (1 + K2 /R2 ) V2/2式中V為質(zhì)心平動速度，K為回轉(zhuǎn)半徑。ABNMgvhf15總能量守恒： M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh 換句話說，球體向下滾得最快，其次是圓柱，最慢的是圓環(huán)。重要結(jié)果：均勻物體沿著具有一定斜率的斜面無滑動滾下時(shí)，其速率與物體的質(zhì)量和實(shí)際尺寸大小均無關(guān)，僅取決于物體的形狀。16例4-5 物體沿X軸簡諧振動，振幅為 0.12m，周期為 2s 。當(dāng)t = 0時(shí)，位移為 0.06 m，且向X 軸正方向運(yùn)動。求運(yùn)動表達(dá)式，并求以 x = - 0.06m處回到平衡位置所需的最少時(shí)間。解：已知 A = 0.12 m，T = 2 s， = 2/

10、T = ( rad/s ).(1) 初態(tài) t = 0 時(shí)， x = 0.06， v 0， 初相 = /3 , 運(yùn)動表達(dá)式為： x = 0.12 cos (-/3 ) (m)( t =1 s ) B ( t = 5/3 s) BA ( t = 0 )x (m)OC0.06-0.0617(2) 當(dāng) x = - 0.06 m時(shí)，物體在旋轉(zhuǎn)矢量圖中的位置可能在 B 或 B處，顯然 B 處回到平衡位置 C 處所需時(shí)間為最少。 因?yàn)?OB 與 OC 夾角為 =/6，所以最少時(shí)間為： t = / = (/6) / = 1/6 秒( t =1 s ) B ( t = 5/3 s) BA ( t = 0 )x

11、(m)OC0.06-0.0618、000.=31101=21=t1+=13=2=56xA3A2xxAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動方程。求： 例 一諧振動的振動曲線如圖所示。 .19x = A cos ( 56t3)本題32AxAt =1t = 02+32=T1T=125的另一種求法：.20b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。 求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。21自然長度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=00 x = b cos (gt +

12、 )b當(dāng)?shù)胻0 xb,A=:v0=b,=可見小球作諧振動。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx22例4-7 在一輕彈簧下端懸掛 mo = 100 g 砝碼時(shí)，彈簧伸長 8 cm，現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛 m = 250 g 的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動 4 cm，并給以向上 21cm/s 的初速度（這時(shí) t =0）。選 x 軸向下，求振動方程的表達(dá)式。解：k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s初始條件：t = 0 , xo = 0.04 m,

13、 vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 = 0.05 m tg = - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0.64 rad振動方程: x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m23例4-6 單擺 Simple Pendulum：單擺的運(yùn)動是簡諧振動的一個(gè)典型的實(shí)例。單擺定義為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)用一長為 l 而其質(zhì)量可忽略的細(xì)繩懸掛在固定點(diǎn)O 的系統(tǒng)。解：由于拉力 T v ， T 不作功，故質(zhì)點(diǎn)在擺動過程中機(jī)械能守恒。 設(shè)在平衡位置C點(diǎn)的勢能為零，則質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的機(jī)械能為：EM = mv2/2 + mgl (1-cos

14、)lTOCvm24因?yàn)? l d/dt 代入上式整理得： EM = ml 2(d/dt)2 /2 + mgl (1-cos) = 恒量對上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)整理可得： d2/dt2 + g sin /l = 0 在一般情況下，單擺的擺動不正好是簡諧振動。但是，如果擺動的角度 很小時(shí)， sin (在 10內(nèi))，這樣上式可改為： d2/dt2 + g /l = 0 表明在小角度的范圍內(nèi)，單擺的角位移作簡諧振動。 圓頻率： 周期： 25例4-8 復(fù)擺 Physical Pendulum：復(fù)擺是能夠在重力作用下繞水平軸自由振蕩的任意剛體。ZZ水平軸，C為物體質(zhì)心，質(zhì)量為 mg。解：轉(zhuǎn)動定理 MZ = I

15、 MZ = - mgb sin = d2 /dt2 I d2 /dt2 = -mgb sin 假定振動是小振幅的， sin ，利用 I = mK2，式中K為擺的回轉(zhuǎn)半徑，得： d2 /dt2 + gb /K2 = 0表明在 小范圍內(nèi)，角運(yùn)動是簡諧振動 2 = gb/K2ZZCOlbOmg26 2 = gb/K2因此，振動的周期為其中 l = K2/ b叫做等效單擺長度 Length ofthe equivalent simple pendulum，因?yàn)榫哂羞@個(gè)長度的單擺，其周期與復(fù)擺的相同。 可以看出，復(fù)擺的周期與其質(zhì)量無關(guān)，也與其幾何形狀無關(guān)，只要 K2/ b保持相同。27習(xí)題4-17 兩個(gè)

16、同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為 20 cm，與第一個(gè)簡諧振動的相位差為 - = /6，若第一個(gè)簡諧動的振幅為 17.3 cm，試求：1、第二個(gè)簡諧振動的振幅 A22、第一、二兩個(gè)簡諧振動的相位差 1 - 2解：已知 A = 20 cm A1 = 17.3 cmA2 =A2 +A12 -2AA1cos( - )1/2 = 10 cm - xoAA2A128 A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) cos (1 - 2 ) = A2 - A12 + A22 / 2A1A2 = 0 2 1= /2 1 2= /2 - xoAA2A129例4-9 試用等效彈

17、性常數(shù)重新計(jì)算例4-6單擺的周期解：單擺的勢能: EP = mgl (1 - cos)，其極小值位置=0，單擺離開平衡點(diǎn)的水平位移x =l sin，因此 ：單擺的圓頻率:周期:30例: 兩球有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度，靜止時(shí)兩球恰好能接觸且懸線平行。已知兩球碰撞的恢復(fù)系數(shù)為 e ，若球 A 自高度 h1 釋放，求該球碰撞后能達(dá)到的高度。mvA0 = mvA + mvBvA - vB = - e vA0 vA = ( 1 - e ) vA0 / 2 0vB = ( 1 + e ) vA0 / 2 vAmghA = m vA2 / 2mghB = m vB2 / 2hA = vA2 / 2

18、ghB = vB2 / 2ghA = ( 1 - e )2 h1 / 4hB = ( 1 + e )2 h1 / 4解：A球與 B球碰撞前一刻的速度為 vA0=(2gh1)1/2 ，碰撞后兩者的速度分別為 vA ，vB 。h1ABhB hA 31A-1 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為 T，質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動時(shí)，由平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)間為：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/832A-1 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為 T，質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動時(shí)，由平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)間為：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）

19、T/8解： = t t = / XO=T/2 A33A-1 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為 T，質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動時(shí)，由平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)間為：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / XO=T/2 Ato34A-1 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為 T，質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動時(shí)，由平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)間為：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / XO=T/2 Atoto+ t A/235A-1 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為 T，質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動時(shí)，由

20、平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)間為：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解： = t t = / = ( /6)/(2 / T) = T/12 答案 （B）XO=2/ TAtoto+ t A/2 /6 = 36A-5 一質(zhì)量M的物體在光滑水平面上作諧振動，振幅為 12cm，在距平衡位置 6cm處速度為 24cm/s，求（1）周期 T；（2）當(dāng)速度為 12cm/s 時(shí)的位移。解：（1）設(shè)振動方程為： x = Acos（ + ） 6 = 12 cos（ + ） v = A sin（ + ） 24 = 12 sin（ + ） 62 +（24/ ）2 = 122 1/

21、=（122-62）1/2/24 = 0.433 s T = 2/ = 0.866 s37（2）設(shè)速度 v = 12 cm / s 時(shí)，位移為 x x = 12 cos（ + ） 12 = 12 sin（ + x2 +（12/ ）2 = 122 x = 122 -（ 12 / ）2 1/2 = 10.82 cm 或 x = - 10.82 cm38A-6 一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t =0 ），經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、

22、質(zhì)點(diǎn)的振動方程；2、質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)處的速率。ABvx39A-6 一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t =0 ），經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、質(zhì)點(diǎn)的振動方程；2、質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)處的速率。解：ABvxxABo40A-6 一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t =0 ），經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 A

23、B = 10cm 。求：1、質(zhì)點(diǎn)的振動方程；2、質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)處的速率。解：ABvxxt =0 sABo41A-6 一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t =0 ），經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、質(zhì)點(diǎn)的振動方程；2、質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)處的速率。解：ABvxxt =0 st =2 sABo42A-6 一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t =0 ），經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再經(jīng)過 2 秒

24、后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、質(zhì)點(diǎn)的振動方程；2、質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)處的速率。解：ABvxxt =0 st =2 st =4 sABo43A-6 一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t =0 ），經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在 A、B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB = 10cm 。求：1、質(zhì)點(diǎn)的振動方程；2、質(zhì)點(diǎn)在 A 點(diǎn)處的速率。解：1、由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 vA = vB可知 T/2 = 4s，即 T = 8s = 2 /T =

25、 /4 rad/sAO = BO = AB/2 = 10/2 = 5cmABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s44因?yàn)?21 = t 所以 1 = t/2 =( /4) (4-2) 2 = /4初相 =+1 =+/4=5/4振幅 A = AO/cos( /4) = 5 0.707 = 7.07 cm所以，質(zhì)點(diǎn)的振動方程為： x = 7.07 cos (t / 4 + 5 / 4 ) cmABvxx111t =0 st =2 st =4 sABot =6 s45A-3 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，其運(yùn)動速度與時(shí)間的曲線如圖所示。若質(zhì)點(diǎn)的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初位相為（

26、A） /6 （B）5 /6 （C）- 5 /6 （D）- /6 （E）- 2 /3vvmvm20tvovmvm/2t =0/3因?yàn)?= + /2 = - /3 所以 = - /2 - /3 = - 5 /6 答案 （C）46A-9 在一輕彈簧下端懸掛 mo = 100 g 砝碼時(shí)，彈簧伸長 8 cm，現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛 m = 250 g 的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動 4 cm，并給以向上 21 cm/s的初速度（這時(shí) t =0）。選 x 軸向下，求振動方程的表達(dá)式。解：k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.5/0.2

27、5)1/2 =7 rad/s初始條件：t = 0 , xo = 0.04 m, vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 =0.05 m tg = - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0.64 rad振動方程: x = 0.05cos( 7t+0.64 ) m47A-10 有一水平放置的板，在此板上放有一物體，沿水平方向作簡諧振動 T = 0.5 秒。物體與板之間的摩擦系數(shù)為 0.5 ，試問要使此板上的物體不致滑動的最大振幅為多少？若將此板改為垂直方向作簡諧振動，振幅為 5 cm，要使物體一直保持與板接觸的最大頻率為多少？

28、解：靜摩擦力最大值為 fsmax = N = mg 振動時(shí)，最大加速度值：amax = 2A(1) 不打滑條件：板上物體的加速度有靜摩 擦力提供。 Fsmax = mamax mg = m2Amax48故：Amax = g/2 = gT2/42 = 0.59.80.52(43.142 ) = 0.032 m(2) 垂直方向上下振動時(shí)，物體在垂直方向 受的力為 ( 向下為正值 )： F合 = mg - N = mamax = m 2A不接觸時(shí)，N = 0 mg = m2maxA max = (g/A)1/2 = ( 9.8/0.05 )1/2 = 14 rad /smax = /2 = 14/2

29、3.14 = 2.2 HzNmgm49A-8 如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù) k =24 N/m，重物的質(zhì)量 m = 6 kg ，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物體 ( 不計(jì)摩擦 )，使之由平衡位置向左運(yùn)動了 0.05 m，此時(shí)撤去力 F，當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動方程。解：設(shè)物體運(yùn)動方程： x = Acos(t + )A外 = Fx1 =10 0.05 = 0. 5 JoxFmkoxFmkx150功能原理： A外 = E = EP = kx2/2x = - ( 2A外/k )1/2 = - ( 2 0.5/24 )1/2 =

30、- 0.204 m = (k/m)1/2 = (24/6)1/2 = 2 rad/s t = 0 , xo = x = - 0.204 m , vo = 0A =( xo2 +vo2/2 )1/2 =0.204 mtg = - vo /xo = 0 =故 x = 0.204 cos( 2t + ) moxFmkx1oxmkxox51A-11 一勁度系數(shù)為 k的輕彈簧，其上端與一質(zhì)量為 m 的平板 A 相聯(lián)，且板 A 靜止。今有一質(zhì)量也為 m 的物體 B 自距今A 為 h 高處自由落下，與 A 發(fā)生完全非彈性碰撞，(1) 證明碰撞后系統(tǒng)作簡諧振動。(2) 試求其振幅 A、周期 T及初相 。BAh

31、L52A-11 一勁度系數(shù)為 k的輕彈簧，其上端與一質(zhì)量為 m 的平板 A 相聯(lián)，且板 A 靜止。今有一質(zhì)量也為 m 的物體 B 自距今A 為 h 高處自由落下，與 A 發(fā)生完全非彈性碰撞，(1) 證明碰撞后系統(tǒng)作簡諧振動。(2) 試求其振幅 A、周期 T及初相 。解：物體 B自由落下 h 高時(shí)，速度為 v = ( 2gh )1/2 設(shè) A、B碰撞后共同速度 u動量守恒：mv = (m + m)u故 u = v /2 = ( gh/2 )1/2 AhLBu53碰撞后，平衡位置 O為原點(diǎn)，垂直向下 X為軸正方向。平衡時(shí)，彈簧靜壓縮量=2mg/k當(dāng)系統(tǒng)處于任一位置 x 時(shí)，牛頓第二定律： 2mg

32、- k( x + ) = 2md2x/dt2 - kx = 2md2x/dt2 d2x/dt2 + ( k/2m ) x = 0AhLBALB xo O X x 2mgF=k(x+) 54故碰撞后系統(tǒng)作簡諧振動。 =( k/2m )1/2 , T = 2 / = 2 (2m/k)1/2 t = 0 , xo = - mg/k , vo= u = ( gh/2 )1/2 AhLBALB xo O X x 2mgF=k(x+) AhLBu55故碰撞后系統(tǒng)作簡諧振動。 =( k/2m )1/2 , T = 2 / = 2 (2m/k)1/2 t = 0 , xo = - mg/k , vo= u =

33、 ( gh/2 )1/2 A = ( xo2 + vo2/2 )1/2 = mg ( 1 + kh/mg )1/2 / ktg = - vo /xo = ( kh/mg )1/2 = + tg -1 ( kh/mg )1/2Axo56A-12 彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時(shí)，彈性力在半個(gè)周期內(nèi)所作的功為(A) k A2 (B) k A2/2 (C) k A2/4 (D) 0 解：A彈性力 = - ( EP末 - EP初 ) = - k(-x)2/2 -kx2/2 = 0答案 ( D )tt +Tx-xXO57A-13 一質(zhì)點(diǎn)作諧振動，其振動方程為 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI )(1) 當(dāng) x 值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢能為總能量 的一半 ？(2) 質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動到此位置所需最短 時(shí)間為多少 ？解：(1) 勢能 EP =kx2/2 , 總能 E = kA2/2 . 由題意 kx2/2 = kA2/4 x =4.2410-2 m 58A-13 一質(zhì)點(diǎn)作諧振動，其振動方程為 x = 6.010-2cos( t/3 - /4 ) ( SI )(1) 當(dāng) x 值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢能為總能量 的一