第二講灰色系統(tǒng)建模

1、2013數(shù)學(shxu)建模培訓共七十頁第二(d r)講 灰色系統(tǒng)建模共七十頁一、引 言共七十頁 綜合評價和預測是數(shù)學建模競賽中較為常見的兩類問題。 灰色關(guān)聯(lián)分析與層次分析法、模糊綜合評判法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價法、主成分分析法、因子分析法、理想解法等是數(shù)學建模中常用的綜合評價與決策方法。 灰色系統(tǒng)模型(mxng)主要指 GM(1,1)模7/19/20224共七十頁模型，它與微分和差分方程(fngchng)模型、擬合方法、回歸分析方法、時間序列、馬氏鏈、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等是數(shù)學建模中常用的預測方法。 本講首先介紹灰色系統(tǒng)的概念與基本原理，然后重點介紹灰色關(guān)聯(lián)分析方法和灰色系統(tǒng)模型GM(1,1)

2、，最后介紹灰色關(guān)聯(lián)分析方法和灰色系統(tǒng)7/19/20225共七十頁模型在數(shù)學建模中的應(yīng)用。 本講首先要理解適宜用灰色系統(tǒng)方法解決(jiju)的問題特點，其次要了解灰色關(guān)聯(lián)分析和灰色預測的原理，然后要熟練掌握灰色關(guān)聯(lián)分析和灰色預測軟件和程序的使用方法。 下面給出本講學習大綱，以方便大家學習。7/19/20226共七十頁1. 灰色(hus)系統(tǒng)中的“灰色(hus)”是何意思？2. 為何要用序列算子生成灰色序列？3. 如何理解累加算子的作用？4. 灰色關(guān)聯(lián)分析可用于何種問題，它的基本思想是什么？5. 灰色關(guān)聯(lián)分析前為何要對原始數(shù)據(jù)規(guī)范化，四種規(guī)范化方式的適用范圍是什么？7/19/20227共七十頁6.

3、 灰色關(guān)聯(lián)度定義及分析方法中存在(cnzi)的問題。7. 兩類灰色關(guān)聯(lián)分析程序的差別。 8. 為何在用GM 模型進行預測前通常要對原始數(shù)據(jù)進行累加？9. 如何理解GM(1,1)模型的基本形式和白化形式？10. GM模型的優(yōu)缺點及適用范圍。7/19/20228共七十頁二、灰色系統(tǒng)的概念(ginin)與原理共七十頁 灰色系統(tǒng)理論是華中科大鄧聚龍教授1982年創(chuàng)立(chungl)的一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的新方法。 概率統(tǒng)計、模糊數(shù)學和灰色系統(tǒng)理論是三種最常用的不確定性系統(tǒng)研究方法。 概率統(tǒng)計研究的是“隨機不確定”現(xiàn)象，著重于考察隨機不確定現(xiàn)象的7/19/202210共七十頁歷史規(guī)律。其出

4、發(fā)點是大樣本，并要求對象服從某種典型分布。 模糊數(shù)學著重(zhuzhng)研究“認知不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確、外延不明確”的特點。例如，“年輕人”，“有錢”。 灰色系統(tǒng)理論著重研究“小樣本, 貧信息”認知不確定問題，其研究對7/19/202211共七十頁象具有“外延明確、內(nèi)涵不明確”的特點。 例如(lr)，“ 8萬到10萬之間” 就是一個灰概念，其外延明確，但內(nèi)涵不清楚。7/19/202212共七十頁1. 灰色系統(tǒng)的概念 對象的灰色系統(tǒng)中“灰色”的基本含義是指信息不完全，包括(boku)元素信息不完全；結(jié)構(gòu)信息不完全；邊界信息不完全；運行行為信息不完全。 7/19/202213共

5、七十頁2. 灰色系統(tǒng)的原理 目前(mqin), 灰色系統(tǒng)的理論體系尚不完善。通常，灰色系統(tǒng)必須滿足下列基本原理： (1) 差異信息原理所有信息皆有差異； (2) 解的不唯一原理信息不完全、不確定情況下的解不唯一； 7/19/202214共七十頁 (3) 最少信息(xnx)原理充分利用已有的最小信息(xnx)； (4) 認知根據(jù)原理信息是認知的根據(jù)； (5) 新信息優(yōu)先原理新信息對認知的作用優(yōu)于老信息； (6) 灰性不滅原理信息不完全 (灰)是絕對的。7/19/202215共七十頁 灰色系統(tǒng)是極少數(shù)由中國學者創(chuàng)立的理論之一，基本概念與基本理論相當(xingdng)不完備，國內(nèi)外許多學者對灰色系統(tǒng)

6、理論也有許多爭論和不同看法。 本講不過多探討灰色系統(tǒng)的概念和理論，而只是將其視為一種實用的建模工具，會恰當?shù)赜闷浣鉀Q建模問題即可。7/19/202216共七十頁三、序列算子(sun z)和灰色序列共七十頁 灰色系統(tǒng)中原始數(shù)據(jù)中的信息是不完全的。灰色系統(tǒng)往往通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘(wju)和整理來降低信息的不確定性，這一數(shù)據(jù)預處理過程稱為灰色序列的生成，生成灰色序列的方法稱為序列算子。 最常用的序列算子是累加算子。 累加是使灰色系統(tǒng)變白的一種方7/19/202218共七十頁法，在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要的地位。累加可使表面凌亂(ln lun)的原始數(shù)據(jù)中蘊含的規(guī)律充分顯現(xiàn)再來。 例如，在對比今年

7、與去年家庭支出時，若按日對比，可能很難發(fā)現(xiàn)明顯規(guī)律；若累加后按月對比，規(guī)律就可能顯現(xiàn)出來，可能呈明顯的上升趨勢。7/19/202219共七十頁 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=(x(1),x(2),x(n)令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)，其中則D稱為一次累加生成算子，記為1-AGO。 類似可定義二階累加算子。 非負準光滑(gung hu)序列經(jīng)過累加生成后,7/19/202220共七十頁都會減少隨機性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長(zngzhng)規(guī)律，稱之為灰指數(shù)律。 原始序列越光滑，生成后的指數(shù)規(guī)律也越明顯。 因此，灰色系統(tǒng)預測的常用方法是：首先對原始序列進行累加，然后用GM(1, 1)模型對生

8、成序列進行建模預測。7/19/202221共七十頁 例如，某產(chǎn)品上半年銷售數(shù)據(jù)序列X(0)=(50810,46110,51177,93750,110 574,110524)和累加序列X(1)=(50810, 96920,148097,241872,352446,462970)的折線圖如下： 顯然，X(0)的線型很難確定，但X(0)的線型已比較接近指數(shù)增長(zngzhng)曲線, 可以用指數(shù)函數(shù)擬合。7/19/202222共七十頁7/19/202223共七十頁四、灰色關(guān)聯(lián)(gunlin)分析共七十頁1. 引例 例1 某地區(qū)(dq)1997-2002年農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值X0，種植業(yè)總產(chǎn)值X1，畜牧業(yè)總產(chǎn)值

9、X2和林果業(yè)總產(chǎn)值X3的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： X0=18,20,22,35,41,46 X1 =8,11,12,17,24,29 X2=4,3,5,6,11,7 7/19/202225共七十頁 X3=6,6,5,12,6,10 分析農(nóng)業(yè)與種植畜牧林果業(yè)產(chǎn)值的關(guān)系。 分析 本題要比較(bjio)的是不同數(shù)據(jù)的發(fā)展態(tài)勢，實質(zhì)上就是比較(bjio)數(shù)據(jù)點折線的幾何形狀。幾何形狀越接近，發(fā)展態(tài)勢越接近，關(guān)聯(lián)程度越大。 所給數(shù)據(jù)的折線圖如下：7/19/202226共七十頁7/19/202227共七十頁 從圖中可以很明顯地看出，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線與種植業(yè)產(chǎn)值曲線最相似，即該地區(qū)(dq)的農(nóng)業(yè)仍然是以種植業(yè)為主的農(nóng)業(yè)

10、，畜牧業(yè)和林果業(yè)還不夠發(fā)達。 但這與軟件和程序計算的結(jié)果不一致。7/19/202228共七十頁 例2 中國2001-2005年GDP及第1, 2,3產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值如下, 分析(fnx)GDP與第1,2,3產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的關(guān)系。 X0=109.7,120.3,135.8,159.9,183.1 X1=15.5,16.2,17.1,21.0,23.1 X2=49.5,53.9,62.4,73.9,87.0 X3=44.6,50.2,56.3,65.0,73.0 所給數(shù)據(jù)的折線圖如下：7/19/202229共七十頁7/19/202230共七十頁 從圖中可以很明顯(mngxin)地看出，GDP曲線與第2產(chǎn)業(yè)曲線最

11、相似。 但劉思峰書和程序計算結(jié)果是GDP與第3產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)度最大。 而軟件的計算結(jié)果又是GDP與第2產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)度最大。7/19/202231共七十頁 例3 供應(yīng)商選擇決策。 某企業(yè)需要在6個待選的零部件供應(yīng)商中選擇一個(y )合作伙伴，各待選供應(yīng)商有關(guān)數(shù)據(jù)見下表：7/19/202232共七十頁評價指標待選供應(yīng)商123456產(chǎn)品質(zhì)量0.830.900.990.920.870.95產(chǎn)品價格326295340287310303地理位置213825192710售后服務(wù)3.22.42.22.00.91.7技術(shù)水平0.200.250.120.330.200.09經(jīng)濟效益0.150.200.140.090.150

12、.17供應(yīng)能力250180300200150175市場影響0.230.150.270.300.180.26交貨情況0.870.950.990.890.820.947/19/202233共七十頁 盡管對例1和例2這樣的問題，可以通過作出數(shù)據(jù)折線圖的方法觀察發(fā)展態(tài)勢的相似性，但直觀判斷終究是比較粗糙的，有時(yush)并不可靠，更何況例3這樣的復雜問題并不能靠幾何直觀解決問題，所以需要設(shè)定一個合理的指標，用數(shù)值定量地描述兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度。7/19/202234共七十頁 灰色系統(tǒng)理論根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)公理, 提出的“灰色關(guān)聯(lián)度”概念。灰色關(guān)聯(lián)度是對數(shù)據(jù)序列幾何形狀的量化，根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度來判斷數(shù)據(jù)序列間

13、關(guān)聯(lián)程度的方法(fngf)稱為灰色關(guān)聯(lián)分析。 下面首先介紹灰色關(guān)聯(lián)分析中的一些概念和數(shù)據(jù)預處理。7/19/202235共七十頁2. 數(shù)據(jù)的規(guī)范化 設(shè)評價對象有m個，評價指標有n個，特征(tzhng)序列x0=x0(k)|k=1,2,n,相關(guān)因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n, i= 1,2, m。 特征序列也稱參考序列，可以理解為評價標準。在引例1為農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值，在引例2中為總GDP, 在引例3中7/19/202236共七十頁中可理解為各項指標都占優(yōu)的一個虛擬供應(yīng)商。因素序列也稱比較序列，可理解為評價對象。在引例1中為種植(zhngzh)畜牧林果業(yè)產(chǎn)值，在引例2中為第1, 2, 3產(chǎn)業(yè)，在

14、引例3中為各供應(yīng)商。 由于特征序列和因素序列中的數(shù)據(jù)可能量級相差較大，單位也不一致,所以要對其適當?shù)囊?guī)范化處理，使之7/19/202237共七十頁成為量級大體相近的無量綱數(shù)據(jù)，并將負相關(guān)因素轉(zhuǎn)化為正相關(guān)因素。 特征序列和因素序列中的數(shù)據(jù)規(guī)范化通常有下列四種(s zhn)方式： 設(shè)Xi=xi(1),xi(2),xi(n)為數(shù)據(jù)序列, XiD=xi(1)d, xi(2)d, xi(n)d,其中,7/19/202238共七十頁則XiD分別稱為(chn wi)初值像、均值像、區(qū)7/19/202239共七十頁檢驗區(qū)間值像，對應(yīng)的算子D分別稱為初值化算子、均值化算子、區(qū)間值化算子。其中(qzhng)，第1

15、種初值化算子主要用于引例1和引例2中Xi(i=1,2,n)與X0的比較，第3, 4種區(qū)間化算子主要用于引例3中Xi (i=1,2,n)間的相互比較，第4種區(qū)間化算子的用途是將負相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為正相關(guān)關(guān)系。7/19/202240共七十頁3. 灰色(hus)關(guān)聯(lián)度 設(shè)特征序列x0=x0(k)|k=1,2,n,相關(guān)因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n, i= 1,2, m。對 ，令7/19/202241共七十頁則 稱為比較曲線xi對參考曲線x0在k時刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)。 稱為分辨系數(shù)，作用為減少極端值的影響，通常取為0.5。 關(guān)聯(lián)系數(shù)只表示各時刻數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度，因此有必要將各時刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)集中為一個(

16、y )值，通常關(guān)聯(lián)系數(shù)加權(quán)平均。7/19/202242共七十頁 稱為比較曲線xi對參考曲線x0的關(guān)聯(lián)度。其中， 稱為xi的權(quán)重， 。 (1) 灰色關(guān)聯(lián)度是根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)公理給出的一種衡量(hng ling)數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)程度的一個指標。灰色關(guān)聯(lián)度越大(小)，兩者的相關(guān)程度越高(低)。7/19/202243共七十頁 (2) 通常取各比較曲線的權(quán)重(qun zhn)均為1/n，也可根據(jù)具體問題或采用層次分析法等確定每個比較曲線不同的權(quán)重(qun zhn)。 (3) 灰色關(guān)聯(lián)度易受極端值的影響，使之不能真正反映數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度。另外，不同的分辨系數(shù)也會得到不同的關(guān)聯(lián)度。7/19/202244共七十頁4.

17、灰色關(guān)聯(lián)分析的步驟 (1) 確定比較序列(評價對象)和參考(cnko)數(shù)列(評價標準)； (2) 確定各指標值對應(yīng)的權(quán)重； (3) 計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)； (4) 計算灰色關(guān)聯(lián)度； (5) 評價分析。7/19/202245共七十頁 取等值權(quán)、區(qū)間值化算子和分辨系數(shù)為0.5時，用軟件(run jin)和程序可求得引例1中種植畜牧林果業(yè)產(chǎn)值與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的關(guān)聯(lián)度分別為0.6713, 0.7007, 0.6908，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值與畜牧業(yè)產(chǎn)值關(guān)聯(lián)度最大。 用程序可求得引例2中各產(chǎn)業(yè)與GDP的關(guān)聯(lián)度分別為0.5679, 0.7811, 7/19/202246共七十頁0.8460，即第3產(chǎn)業(yè)與GDP的關(guān)聯(lián)度最大。但

18、用軟件求得的結(jié)果為0.8053, 0.9656, 0.8542，第2產(chǎn)業(yè)的關(guān)聯(lián)度最大。 引例3中各供應(yīng)商與特征(tzhng)序列(虛擬最優(yōu)供應(yīng)商)的灰色關(guān)聯(lián)度分別為0.4630, 0.5560, 0.6491, 0.6527, 0.4936, 0.6130。從而，企業(yè)決策者應(yīng)優(yōu)先考7/19/202247共七十頁慮從第4個供應(yīng)商處采購。 這里(zhl)要注意引例3與引例1,2之間的區(qū)別： (1) 引例1,2是xi(i=1,2,3)與x0比較, 而引例3則是xi(i=1,2,3)之間比較; (2) 引例3中的有些指標是負面指標，須進行轉(zhuǎn)換。7/19/202248共七十頁 練習1 2011年度東山礦

19、務(wù)局5個礦井生產(chǎn)經(jīng)營數(shù)據(jù)如表1，試對各礦井經(jīng)濟效益(jn j xio y)進行綜合評價。 練習2 某企業(yè)需要在6個待選的零部件供應(yīng)商中選擇一個合作伙伴, 各待選供應(yīng)商有關(guān)數(shù)據(jù)見表2。7/19/202249共七十頁表1 指標白家莊杜爾坪西銘官地西曲成本99.89103.6997.42101.1197.21利潤96.91124.7866.44143.9688.36產(chǎn)量102.63101.85104.39100.94100.64銷量98.47103.16109.17104.3991.90灰分87.5190.2793.7794.3385.21效率108.35106.39142.35121.91158.

20、61資金周轉(zhuǎn)天71.67137.1697.65171.31204.52資源回收率103.2510010099.13100.22百萬噸死亡率171.251.3515.9053.7220.787/19/202250共七十頁表2 評價指標待選供應(yīng)商123456產(chǎn)品質(zhì)量0.830.900.990.920.870.95產(chǎn)品價格326295340287310303地理位置213825192710售后服務(wù)3.22.42.22.00.91.7技術(shù)水平0.200.250.120.330.200.09經(jīng)濟效益0.150.200.140.090.150.17供應(yīng)能力250180300200150175市場影響0.2

21、30.150.270.300.180.26交貨情況0.870.950.990.890.820.947/19/202251共七十頁五、灰色預測(yc)模型共七十頁 灰色預測的核心是灰色模型(mxng)，特點是模型(mxng)不使用原始數(shù)據(jù)，而是先對原始數(shù)據(jù)做累加，得到近似的指數(shù)型數(shù)據(jù)，再用微分方程建模。 灰色預測的優(yōu)點是需要的數(shù)據(jù)少(4個即可)、精度較高、計算簡單、易于檢驗，缺點是只適合指數(shù)增長的中短期預測。7/19/202253共七十頁1. GM(1,1)模型 GM(1,1)表示1階微分方程且含1個變量的灰色模型。 設(shè)特征(tzhng)序列的觀察值為X(0)=x(0)(1), x(0)(2),

22、 , x(0)(n),其一次累加生成序列(1-AGO)為X(1)=x(1)(1), x(1)(2), , x(1)(n),其中， 7/19/202254共七十頁 根據(jù)累加算子的性質(zhì), X(1)近似服從(fcng)指數(shù)增長規(guī)律。 X(1)的緊鄰均值生成序列為Z(1)=z(1)(2), z(1)(3), , z(1)(n),其中，7/19/202255共七十頁 根據(jù)差分方程的特性，建立灰差分方程x(0)(k)+a z(1)(k)=b, k=2,3,n,稱之為GM(1,1) 模型的基本形式，a 稱為發(fā)展系數(shù)(xsh)，b稱為灰作用量。 GM(1,1)模型的基本形式有多種,上述僅為其中常用的一種形式。

23、 代入x(0)(k), z(1)(k)后方程化為7/19/202256共七十頁 根據(jù)差分方程理論，方程(2)表明x(1)(k)為k的指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)。 將離散差分方程 (1) 近似為連續(xù)7/19/202257共七十頁的微分方程(wi fn fn chn)： 稱之為GM(1,1)模型的白化形式或影子方程。記7/19/202258共七十頁則GM(1,1)模型(mxng)的基本形式可寫為Y= Bu。這是一個超定方程, 其在最小二乘意義下的解為u=(BTB)1BTY。 求出a, b值后，代入白化方程，可得解稱為時間響應(yīng)函數(shù)，從而時間響應(yīng)序列為7/19/202259共七十頁還原(hun

24、 yun)值為7/19/202260共七十頁 最后，可以利用殘差(相對誤差(xin du w ch)對預測值進行檢驗。若 ，通常認為達到了較高的要求。7/19/202261共七十頁2. GM(1,1)模型的討論 從GM(1,1)的建模預測過程可以很清楚地看出，GM(1,1)其實就是基于累加生成序列(xli)和最小二乘估計的指數(shù)擬合模型。 GM(1,1)建模機理和預測的穩(wěn)定性一直是眾多學者探討的問題之一，但尚未取得大家公認的科學合理的解7/19/202262共七十頁釋。目前達成共識的是:GM(1,1)可以用于指數(shù)規(guī)律較強的單調(diào)序列的中短期預測；即使用于純指數(shù)增長序列的長期預測也可能存在較大誤差；預測精度與發(fā)展系數(shù)(xsh) a有關(guān)。 發(fā)展系數(shù) a反映了 及 的發(fā)展態(tài)勢。理論已證明， 時，GM (1,1)模型有意義，且 較小時預測精7/19/202263共七十頁精度較高，而隨著 的增大，預測誤差會隨之變大。 通常，GM(1,1)模型(mxng)在a0.3時可用于中長期預測；在0.3a0.5時已不適宜做預測。 對振蕩序列或有飽和的S形序列可用GM(2,1)模型或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測。7/19/202264共七十頁五、灰色預測(yc)程序與實例共七十頁