電動力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)材料電動力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)材料問題詳解

1、第二章靜電場-1、若一半徑為R的導(dǎo)體球外電勢為巾= +如為非零常數(shù)，球外為真空，則r球面上的電荷密度為O答案：HR22、若一半徑為R的導(dǎo)體球外電勢為0 = -E r cosO +氣* cos。, E為非零常數(shù)， TOC o 1-5 h z oT20球外為真空，則球面上的電荷密度為 球外電場強(qiáng)度為答案:38 E cosO gE = -E cosOe +(1-)sin0eM0 00rJ*393、均勻各向同性介質(zhì)中靜電勢滿足的微分方程是；介質(zhì)分界面上電勢的邊值關(guān)系是 和 ；有導(dǎo)體時的邊值關(guān)系 和 O答案：V2(|) = - ,(1)=e , 3- -8 4- = - r ,r ),將他們接觸后又放回

2、原處，系統(tǒng)的相互作用能變?yōu)樵瓉淼腁16 倍，B. 1 倍，C. 1 倍，D. 1 倍，25416答案：A6、電導(dǎo)率分別為。氣，電容率為匕點(diǎn)2的均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中有穩(wěn)恒電流，則在兩導(dǎo)電介質(zhì)分界面上電勢的法向微商滿足的關(guān)系是A.至=理B.&也7至=-adndn2 dn1 dnC Q 。Qd 1 Q = 1 51 Qn2 Qnb 1 Qn b 2 Qn答案:C7、電偶極子P在外電場Ee中的相互作用能量是A. p. EB. -P 電C. -PED. PE1、由公式p=L PL可求得電勢分布，然后用e =-所 即可求得場的分布，4雙r0這種方法有何局限性？ 答：這種方法適用于空間中所有的電荷分布都給定的情況

3、，而且電荷分布在有限:域.若電荷分布無限大區(qū)域,積分將無意義.例如無限長大帶電面的電勢，就不能 用它計算.2、應(yīng)用w =上jdV j P(、)P(、)dV計算靜電場能量時，要求全空間必須充滿均 8ksr勻介質(zhì)才成立，試說明其理由。并與比較電場能量公式W = 1 j D EdV22 jp中dv說明區(qū)別.答：計算靜電場能量公式為w = 2 jpv，公式中的P是空間的自由電荷密度,而中是空間的自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生的總電勢,即卜上j P f + P , dv ,當(dāng) 4說r0全空間充滿均勻介質(zhì)時,p =-(i-!o)p，所以p +p =鯉p， p fp f f.1 P +P 八 1 P 3)11p

4、(x)p(x)dV0 =j dv =j dV，W 二 一 j pdv =j dV j。4說r4說r28兀r0若不是均勻的，p p豐-(1-f) Pf所以全空間都要充滿均勻介質(zhì)。電場能量公式:W =1 j D EdV適用于一切電場；2而w =1 jp dv僅適用于靜電場2一一因為靜電場由電荷分布決定，而在非恒定情況下，電場和磁場互相激發(fā)，其形式是獨(dú)立于電荷分布之外的電磁波運(yùn)動，因而場的總能量不可能完全通過 電荷或電流分布表示出來。3、在靜電場中Vx E = 0，就一定有Vx D = 0嗎？答：不一定。當(dāng)介質(zhì)為均勻介質(zhì)時，D = E成立且為常量，從而Vx D = Vx E = Vx E = 0 成

5、立；當(dāng)介質(zhì)是線性非均勻時，D = E成立，8駕（x）,Vx D = Vxe E = Vex E + Vx E , Vx E = 0 時，Vx D 豐 0 ；當(dāng)介質(zhì)是各向異性時，D =SsE 3=賽ee Vx E = 0時，Vx D豐0.1j jij i j強(qiáng)場作用下,d, e的關(guān)系是m戳性的，一一D =Es E +Es EE + f -EEE + -i j ij j j, k ijk j k j, k ,i ijkl j k 1E指向電勢誡少最快的方向。 4、由E = -V說出E的方向。答:由E = -V，說明E的方向與電勢梯度方向相反，電勢梯度方向是指向電 勢增加最快的方向，電場E指向電勢減

6、小最快的方向。5、靜電場能量公式為w =1J p中dv，1 p中能否看成是能量密度?為什么/22a答：1 p中不能看成是能量密度.因為積分是對有電荷分布的區(qū)域積分，而電場的 2能量則存在于整個空間。6、有兩個無限大的平行導(dǎo)體平面，它們的法線平行于z軸，其中一個位于z=0處, 電勢固定為？ 0，另一個位于z=d處，電勢固定為9d,，兩平面間充滿電荷，密度為zP （z） = P0（z ）2式中P0為常量，如圖所示,試用泊松方程求區(qū)域0 z o TOC o 1-5 h z 4說r 34說0 s0 s；-p1 =- 4L-. J n - P G，O= * 二（O1 -O 2）0 P2一 0式中Q ,

7、Q是層面對P, P點(diǎn)所的立體角，0 0,0 q30 ：_ I J q1q16、電象法的基本思想和理論依據(jù)是什么？答：電象法的基本思想是：用若干個放置在求解區(qū)域之外的假想的鏡像電荷，來 等效代替分布于表面的感應(yīng)電荷的作用，這些假想電荷與已知電荷的總電勢只要 滿足全部邊界條件，所得到的解就是唯一正確的解。理論依據(jù)是唯一性定理。17、如果在無限大接地導(dǎo)體平面附近有一帶電荷Q的導(dǎo)體球，能否用電象法 求解？試說明其理由答：不能。電象法只適用于點(diǎn)電荷，當(dāng)導(dǎo)體球與無限大平板相距很近時，不能看 成點(diǎn)電荷18、一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，離它球心(| R0)處有一點(diǎn)電荷勺，將此 系統(tǒng)再放入均勻電場E0中，E0的方

8、向與a相同，點(diǎn)電荷在什么情況下所受 的力為零。答：接地導(dǎo)體球，離它球心。(|。| R0)處有一點(diǎn)電荷q,點(diǎn)電荷q與接地導(dǎo)體球 之間的靜電力等效于位于球一象電荷(q，= R q,距球心b = R;/a)與點(diǎn)電荷之 間的靜電象電荷力，在球心與點(diǎn)電荷的連線上，作用力方向指向球心.大小等于f=-5424雙 a(a-R2/a)2當(dāng)均勻電場E (E 的方向與a相同)存在時，若電場E 0給點(diǎn)電荷q的力方向與a相 同，點(diǎn)電荷下所受的 力為零，因此要求點(diǎn) 電荷q必須是正電荷,而且滿足Eq =性時點(diǎn)電荷所受的力為零。4 雙 a (a - R 2 / a )219、一個小區(qū)域電荷體系在遠(yuǎn)處激發(fā)的勢如何將它展開成各級

9、多極子激發(fā)的 勢的迭加？答：電荷分布為p (X)的電荷體系激發(fā)的勢:在遠(yuǎn)處，rl,xxf將1=rx 0處展開為1HR 2! j,j i j 6x,6x. R=-KV (r / r 2) = - K (1/ r 2)V-r + r -V (1/r 2) = - K / r 2=K / Rr=R1 = - - x，V 1 + xx -2 r R代入得多級展開為 TOC o 1-5 h z Q111_ p V + _D ,W +R R 6R（0）=散是將電荷集中在原點(diǎn)激發(fā)的電勢。中=二p-V 1=盧是中心位于原點(diǎn)的體系電偶極子激發(fā)的電勢。4雙R 4雙R 3o0=D-VV彝中心位于原點(diǎn)的電四極子激發(fā)的

10、電勢。020、球?qū)ΨQ電荷分布有沒有電多極矩?答:不能說明球?qū)ΨQ電荷分布系統(tǒng)沒有電多極矩，而應(yīng)該說相對球心這個原點(diǎn)沒 有電多極矩，而相對其它點(diǎn)有電多極矩.四、計算和證明1、一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為P = Kr / r2，電容率為。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計算自由電荷體密度；（3）計算球外和球的電勢；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。解：（1） p =-V-P。=n - （P2 - P1） = e - P|2、(2) O 內(nèi)=0 E + P = P /( - 0)p =v-D內(nèi) =V- P /(- 0) = K /(- 0)r 2Dj pfdk4k r200E 內(nèi)

11、 = D 內(nèi) / = P /( - ) E 外9外=E外dr = (:K： )r 009 =jRE -dr +E -dr =-內(nèi) r 內(nèi)R 夕卜 -on R 、(ln + )r &0KR e ( - )r2 rw =1 jD Edk =1 成2 jR官 +1 2K2R222 ( -0)2 0 r22 0( -0)2 R r4=2kR(1 + )()2 -在均勻外電場中置入半徑為R0導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的 電勢：(1)導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差中；0(2)導(dǎo)體球上帶總電荷QE ： (1)該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場E方向的軸線， 取該軸線為極軸，球心為原

12、點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。0當(dāng)R R0時，電勢9滿足拉普拉斯方程，通解為E， 。 b 、_ 一、(a Rn + R n )P (cos9) n因為無窮遠(yuǎn)處E E ，99 一 E R cos 9 = 9 一 E RP (cos 9) 所以a =9 ，a = -E當(dāng)R R時，9 一氣所以0000，a = 0, (n 2)9o -E0R0(cos9) + ZnP (cos 9)=中Rn+1 n00即：所以9 0 + bjRq 二o，bjR02 = E0Rqb0 = Rq(0-氣)，七=ER , b = 0,(n 2)-E Rcos9 + R (中一中)/R + E R3 cos9 /R2(R R0)0。9 =

13、 L中 1 0(2)設(shè)球體待定電勢為中，同理可得_里-E Rcos9 + R (-9 )/R + E R3 cos9 /R29 R R)(R R)dS = j (E cos9 +_9q + 2E cos9)R2 sin9d9dR=Rq=4雙R (-甲)所以(中一平)=Q /4K8 R-E Rcos9 + Q/4雙 R + (E R3 /R2)cos9(R R )里+ Q / 4雙 R(R 1) d = 0, (n 1)中=a ， 中=d /R所以空間各點(diǎn)電勢可寫成平內(nèi)當(dāng)R R0時，由中內(nèi)=中外8中8中8 內(nèi) = 8 外得：a =% (L1)04兀R 88=a + Q ,4兀改平外=d /R +

14、 Q /4兀改得： a =d/R Q.8& 80d0R 20f-4兀R204冗8R 20甲=4+f1-1) 內(nèi) 4兀8R 4兀R 88平工+Wi-1)外 4兀8R 4兀R 8 8(二)應(yīng)用高斯定理0在球外，RR0，由高斯定理得：所以Q f 4兀8 R8 E - ds = Q 總=QE 外=4兀8 fR2 e r 0 平外E外.必嘉聲dR=晶 RR 00導(dǎo)體球的束縛電荷Q =0)，所以+ Q = Q，(整個f p f，積分后得：在球，RR 0，由介質(zhì)中的高斯定理得：3E內(nèi). ds = Q,，所以E = -4Q一 e ，積分后得：中內(nèi)=10E內(nèi) dR +f E外.dR = -f - -f + -Q

15、r 結(jié)果相同。RR004、均勻介質(zhì)球（電容率為e 1）的中心置一自由電偶極子pf，球外充滿了另一 種介質(zhì)（電容率為e 2），求空間各點(diǎn)的電勢和極化電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，pf的方向為極軸方向建立球坐標(biāo)系?？臻g各點(diǎn)的電勢可 分為三種電荷的貢獻(xiàn)，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球面上的極化面電荷三部分的貢獻(xiàn)，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢為p R/4龍R3。 所以球電勢可寫成：甲=p + pf R/4龍R3 ；球外電勢可寫成： 甲=甲+ p R/4龍 R3其中平i和。為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢，滿足拉普拉斯方程。由于 對稱性，、i和平。均與$無關(guān)?？紤]到R T 0時中為有限值；R T 3時 中

16、o - 0，故拉普拉斯方程的解為：0 甲=a RnP（cos6）（R R ）（R R。）n邊界條件為：甲Iio 8平.Oii 8R（2）.1=甲 Ii R=RoO R=R8甲 =o o-2 8R HYPERLINK l bookmark80 o Current Document R=R。一（3）（4）R=R將（1）（2）代入（3）和（4）。,然后比較P（cos6 ）的系數(shù)，可得: na = 0, b = 0（n。1）a = （8-e ） p / 2雙（o + 2o ）R 3112 f1120b = a R3 = （o -o ）p /2丸s （o + 2o ）11 012 f 112于是得到所求

17、的解為：p R （o -o ） p R cos 6i 4兀o R 3 + 2兀o （o + 2o ） R 3=fl +GLJ R4兀o R3 2兀o （o + 2o ）R3 f（R R）oRn+1 n0p - R( -)p cos0p - R (s -s )p - R= f+ 12_f = f+ 1f4兀s R32兀s (s+ 2& )R24兀s R32兀S(s + 2s2) R33P廣R4兀(s + 2s ) R 3在均勻介質(zhì)部，只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體 部，只有球心處存在極化電荷。p =-V-P = -V-(s -s )E = -V-si -so D=(以-1

18、)V-D p1 ossii=(s o / s 1 - 1) p f所以 p = (s / s -1)p在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為b = e - (p - p ) = (s - s )e - E - (s p r 1210 r i 2-s )e -E=(s s8甲=s o-2 8R0成Ro，所以b廣匕(絲RRoi o 8R5、空心導(dǎo)體球殼的外半徑為R和R，球中心置12間各點(diǎn)的電勢和電荷分布。8甲3s (s -s )p cos0由 Ro = 2氣 J 2s；)R 偶極子p球殼上帶電2，求空(1)解：以球心為原點(diǎn)，以p的方向為極軸方向建立球坐標(biāo)系。在R R 兩均勻區(qū)域，電勢滿足拉普拉斯方程。

19、通解形式均為中=Z RtP( CoS0)n當(dāng)R t o時，電勢應(yīng)趨于偶極子p激發(fā)的電勢：2(a Rn +2)P(cos0 ) nRn+1 nnp - R/4龍 R3 = pcos0/4龍 R2所以R R時，電勢可寫為(6)q. = p cos 0 /4ks R 2 +q pR cos 0 /4ks R再由，冷仃= er二Q得:Sq = Q/4k8 R將(7)代入(5)(6)得:q = QQ/4qR_ p cos0 + Qi 4K8 R24雙 R(R R2)pR cos0 _ 1p - R Q p - R_ (+ )4雙 R 34雙R 3RR 3(7)0在R _ R2處，電荷分布為:0 20 1

20、合甲b _ D _ 8&n0 dR在R = R處，電荷分布為：b _ D = R 6、在均勻外電場e0中置入一帶均勻自由電荷 求空間各點(diǎn)的電勢。R2R1pf021=Q4兀R 22_ 3 p cos04兀R 31的絕緣介質(zhì)球（電容率為8）,解：以球心為原點(diǎn)，以E0的方向為極軸方向建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)的電 勢看作由兩部分迭加而成，一部分q為絕緣介質(zhì)球的均勻自由電荷產(chǎn)生， 另一部分q 2為外電場E 0及E 0感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用高斯定理求 得，后者滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，q 2的形式為 （a Rn + b R-（n+1）P （cos0 ）n對于q1，當(dāng)R R0時，由高斯定理得：D

21、= p R/3R2 ，E =p R3/38 R 2 當(dāng)R v R0時，由高斯定理得：D2 p R/3 ， E2 p R/38 q 的球外部分：q jR0(p R3/38 R2)dR + f0 (p R/38)dR1o1 R f 00R f0p R3/38 R p R2 /38 p R2/68f 00 f 00 f 0q 的球部分：q J0E -dR J0(p R/38)dR p R2/68i1 R 2R f，當(dāng) R T 3 時，q -E R cos0，所以b/ 八、一 P(cos0)Rn+1 n1對于q2)0E 2 - dR 2q -E Rcos0 +(R R)（1）（2）當(dāng)R T 0時，q為

22、有限，所以q. a RnP（cos0）n邊界條件為：R = R0時，q - q(R v R)8q ，8 &2-0 dR- E R cos 0 + b R-(n+1)P (cos0) o2i 2dq8 i 2dRR0a RnP (cos0)。即:R0i 八礦 n 一 V 一一E R cos0 8 (n + 1)b R(n+2)P (cos0) 8na Rn-1P (cos0)0 00n 0 nn 0 n比較P (cos0 )的系數(shù)，解得： n匕=-380 E0/(8 + 28 0)b = (8-8 )E R3/(8 + 28 ) TOC o 1-5 h z 100 00a = b = 0(n。1

23、)(R R0)0(R 七及七 七兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。解：本題雖然不是靜電問題，但當(dāng)電流達(dá)到穩(wěn)定后，由于電流密度Jf。與電場 強(qiáng)度E0成正比(比例系數(shù)為電導(dǎo)率)，所以E0也是穩(wěn)定的。這種電場也是 無旋場，其電勢也滿足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場的方法求解。(1)未放入小球時，電流密度Jf0是均勻的，由Jf0 = E可知，穩(wěn)恒電場E0 也是一個均勻場。因此在未放入小球時電解液中的電勢中便是均勻電場E0 的電勢。放入小球后，以球心為原點(diǎn)，E0的方向為極軸方向，建立球坐標(biāo) 系。為方便起見，以坐標(biāo)原點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。在穩(wěn)恒電流條件下，祁/初=0 ,(1)所以：V-J = 0由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條

24、件下的邊界條件為: 其中利用了J =o E。n - (J 2 - J1) = 0設(shè)小球的電勢為91，電解液中的電勢為92，則在交界面上有:9 I =9 |1R0。911 dR2 R0。9= 2 dRR=RR=R將J = E及E = -V 9代入(1),得:V-J = V- (E) = -V 29 = 0可見9滿足拉普拉斯方程考慮到對稱性及R T 8時E - E。，球外電勢的解可寫成:J八一 b , Z92 = -f Rcos0 + X P(cos0)(R R0)2(2)(3)考慮到RT0時電成為有限值，球電勢的解可寫成:甲=Z a RnP(cos。)(R R)(6)n因為選R = 0處為電勢零

25、點(diǎn)，所以a0 =。，將(5) (6)代入(3)得:(8) 4 R cos。+ Z-P(cosO) = Za RnP(cos。)b 0Rn+1 nn 0 nb 40cos0 Z (n +1) n P(cos。) =b Z na Rn-iP(cos。)2 bRn + 2 n1 n 0 n TOC o 1-5 h z 由(7) (8j兩式可得：0na =一3 J /(b + 2b ) , b = (b b ) J R 3 /(b + 2b )b1f 012112 f 00122a = 0, b = 0(n。1)所以： =3 J r cos。/(b + 2b ) = 3J R /(b + 2b )(R

26、 R )f 0212 0 f 012 20由此可得球電流密度：J =b E = b V = 3b V(J R)/(b + 2b ) = 3b J /(b + 2b )11111 f 0121 f 012電解液中的電流密度為：J =b E =-bV甲=J + (b1b2)R0 3(f。R)R Jf02 222 f0(b + 2b )R5R3(2)兩導(dǎo)體交界面上自由電荷面密度=e (D D ) = s e (E E ) = & e (J / b J / b )f r 210 r 210 r 2211=3(b - b )s J cos。/(b + 2b )b 當(dāng)b 1 b2，即球的電導(dǎo)率比周圍電解液

27、的電導(dǎo)率大的多時， (b b )/(b + 2b )牝 13b /(b + 2b )牝 3所以，J1牝3JJ2 x Jf0 + (R3 /R3)3(Jf0 R)R/R2 Jf0 x 3s J cos。/ b當(dāng) b R0)置一點(diǎn)電荷白于，試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢，證明所得結(jié) 果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點(diǎn)，以球心到點(diǎn)電荷的連線為極軸建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)電勢看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢甲=Q /4兀gR2 + a2 - 2Racos。，i f（1）二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的平。后者在球和球外分別滿足拉 普拉斯方程。考慮到對稱性，甲2與$無關(guān)。2 由于R

28、 T 0時，平2為有限值，所以球的中2解的形式可以寫成 平，=a RnP （cos0）n由于R * 時，中2應(yīng)趨于零，所以球外的甲2解的形式可以寫成 L b2（2）rLP (cos0) n中=乙由于 x：R2 + a2 - 2Racos0 = (1/a) (R/a)nP (cos)n也=(QJS)(R/a)nP (cos)（3）當(dāng)R Ro時,q * +q內(nèi) 12vv=(Q / 4兀ea)L (R / a)n P (cos) + 乙 a RnP (cos。)nn平外*1頊2=（Qf /4K8a）（R/a）nP （cos） + E b因為導(dǎo)體球接地，所以n中=o中夕卜L P (cos。)Rn+1

29、nn（4）（5）（6）（7）=0Ro TOC o 1-5 h z 將（6）代入（4）得： a = -Q /4龍an+1（8）n f將（7）代入（5）并利用（8）式得：b =-Q R2n+1/4龍an+1（9）n f 0將（8（9）分別代入（4（ 5得中內(nèi)=0（r R )( 11)外4雙VR 2 + a2 -2Racos。a*，R2 + (R2 /a)2 + 2RR2 cos。/a0用鏡像法求解：設(shè)在球r0處的像電荷為Q。由對稱性，Q在球心與Qf的連 線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢為0，可得：（解略）r = R 2/a，Q =- R Q / a所以空間的電勢為q =(%烏 - L Q -一 RQ

30、 (R R )外 4雙 r1 虹 4兀e 2 + a2-2Racos。aR2 + (R2/a)2 + 2RRcos。/a09、接地的空心導(dǎo)體球的外半徑為r和r，在球離球心為a處(a R )置一點(diǎn)電 121荷e。用電象法求電勢。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在表面還是外表面？解：假設(shè)可以用球外一個假想電荷0代替球 廠 fr、表面上感應(yīng)電荷對空間電場的作用，空心京卜 J TOC o 1-5 h z 導(dǎo)體球接地，球外表面電量為零，由對稱! O_7 ,性，0應(yīng)在球心與e的連線上。、/考慮球表面上任一點(diǎn)p，邊界條件要求：J e / R + Q/R = 0(1)式R為Q到P的距離，R為Q到P的距離，因此，

31、對球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有R / R = _Q7 Q =常數(shù) (2) 只要選擇Q的位置，使kOQ P AOPQ，則R，/ R = R / a =常數(shù)設(shè)Q距球心為b，則b/R = R /a，即b = R2/a由(2)(3)兩式得：Q，=_rQ / a111 Q甲= 4兀七 VR2 + a2 - 2Ra cos0 Jr2 + R4 / a2 - 2R2R cos0 /導(dǎo)體電場為零，由高斯定理可知球面上的感應(yīng)電荷為-Q，分布于表面。RQ / a1= a由于外表面沒有電荷，且電勢為零，所以從球表面到無窮遠(yuǎn)沒有電場，中外=O。10、上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q，或使具有確定電勢平，試求這 兩種情況的電

32、勢。又問與Q0是何種關(guān)系時，兩情況的解是相等的？解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時，球電荷Q和球的表面感應(yīng)電荷-Q的總效果是使球殼電勢為零。為使球殼總電量為Q0，只需滿足球外表面電量為 Q0 + Q即可。因此，導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷Q0時，可將空間電勢看 作兩部分的迭加，一是Q與表面的-Q產(chǎn)生的電勢中：二是外表面Q + Q產(chǎn) 生的電勢中。10RQ / a2平=Q R1Q/a ，(R R ) ； q = (Q + Q )/4兀8 R ，(R R)，所以甲=(Q + Q )/48 R(R R )甲=(Q + Q )/4龍 R(R R R )00 212里* Q - RQ/a, 學(xué),(RvR )4

33、兀、： R 2 + a 2 -2Ra C0S0vR2+ Ri4/a2 - 2R1R C0S0 / aR2=、：(% + % )2 + (y y )2 + (z + z )2 00014、畫出函數(shù)d5 (%)/d%的圖，說明P=(p-V)S(X)是一個位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。解：(1) 8 (X) J。, X 03, X = 0由以上過程可見，球面電勢為(Q + Q )/4雙R。若已知球面電勢甲 ,可設(shè)導(dǎo)體球總電量為Qo，則有：(Q + Q)/4雙R2*o，即：(Q + Q0)/4雙 =%R2電勢的解為：0200002|% R R(R z 氣)%(Ri V R V 婦RQ / aiR2 +

34、R4 /a2 - 2R12R cos0 / a中=j _ Q4兀、JR2 + a2 - 2Ra cos0(R a)，試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電 荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。八 a八a2.八 a八Qi = bQ ，r1 = b - ； Q2 = bQQ = Q / r = be，所以=Q 31 zb R2 + + 2 R cos 0 b+ ,(00 a)- Q(Xo，-a, b a )+Q(x 0，a，-b)Q(Xo,a，b-Q(xo, a，-b)4兀、vR2 + b2 -2Rbcos0VR2 + b2 + 2

35、Rbcos0.(x - %)2 + (y - a)2 + (z + b)2(% % )2 + (y + a)2 + (z b)2 (% % )2 + (y + a)2 + (z + b)2 0V 013、設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其充滿電導(dǎo)率為。的液體。取該兩平面為乂2面和尸2面在(% , y , z ) 和(%0, y0，z0)兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I，求 導(dǎo)電液體中的電勢。,(y, z 0)f E - dS = Q / , 由于 I = f j - dS , j = oE，所以I / b = Q / 可得：Q = I / b同理，對B點(diǎn)有：又，在容器壁上，容器壁。Q =i /b

36、 QBjn =0 ,即無電流穿過yQ ( ；o, y 0, z 0)-Q (、，一 y 0，一 z 0)j Q( _%, y 0，z 0) 一 Q (% , y q,z 0)解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點(diǎn)間建立 電場，使溶液中的載流子運(yùn)動形成電流I，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn) 定時，屬恒定場，即祁/初=0，V J = 0。對于恒定的電流，可按靜電場的 方式處理。于是在A點(diǎn)取包圍A的高斯面，則由j = bE可知，當(dāng)j = 0時，e = 0。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個像電荷。，下半空間三個像電 荷-Q，容器的電勢分布為：1I i)1A -4e(% 一 % )2 + (y y )2 + (

37、z z )20001(% + % )2 + (y + y )2 + (z + z )2A % + % )2 + (y y )2 + (z z )2、000*0001 TOC o 1-5 h z 1 X8 p =N4冗 i=1I+ jv(% % )2 + (y y )2 + (z + z )2% % )2 + (y + y )2 + (z z )2000*00011+ . 0 ,主邑=lim 0-3 = -3dxAx0 Axb)對于Ax 0)，(若 a 0，結(jié)果如何？)(2)x8 (x) = 0證明：1)顯然，當(dāng)x豐0時，8(ax) = 8/。成立；又j+38 (ax)dx = j+38 (ax

38、) (ax)= _L j+38 (ax)d (ax)=-3-3a a -3aj +38 (x)dx = 1-3所以8(ax) =8(x)/a在全空間成立。若a 0 ,而 j 心|x|8 (x)dx = |x|-3|x|8 (x) = 0，進(jìn)而 x8 (x) = 016、一塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x)，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為平=P(x)-，dV，另外根據(jù)極化電荷公式p =-V-P(x)V 0及b p= n- P，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為平=-j V-P(x9 dv，+ j P(x)- dS，試證明以上兩表達(dá)式是等同的。v 4兀8 rs 4兀8 r00證明：由第一種

39、表達(dá)式得平= j P W dv, = j p(x) -Vf4)dv, 4兀8 v r 34兀8 v(1 1f 1)V-P-=V-P + P -Vk r JrkrJ1甲=一4兀80_ 14兀8 0-jVPx2 dv，+jv-f 竺 v rv-dS，.VPX2 dv，+jf P(v rS k r所以，兩表達(dá)式是等同的。實際上，繼續(xù)推演有：1平=4雙o一 j V.P(x? dv + j p-n. dS v rs r剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和。17、證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變平之-也=左-P/8，而電勢的法向微商是連續(xù)的。 E -AS = b - AS / 8 ,oE = b /28 ,平一平=(b /28 )z -(b /28 )z = 0即，電勢是連續(xù)的，但是 0評 / dn = E = e b / 28 ,評 / dn = E:.評 /dn -評 /dn =b /8即，電勢法向微商有躍變02)如圖，由高斯定理可得：e = e b /8010(各帶等量正