光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用(第二版)課后答案

1、2) #2) 第一章習(xí)題解答1.1已知不變線性系統(tǒng)的輸入為g(x)=comb(x)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)AIf。若b取(1)b=0.5(2)b=1.5，求系統(tǒng)的輸出g(x)。并kb丿畫(huà)出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：(1)g(x冃備(x)=1圖形從略，(2)g(x)=F|5(fhb(flhb(f+l)=l+?cos(2nx)圖形從略。Ix3x3xJ31.2若限帶函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換在長(zhǎng)度L為寬度W的矩形之外恒為零,1)如果問(wèn)L，b!，|b|丄，還能得出以上結(jié)論嗎?LW 答：不能。因?yàn)檫@時(shí)Ff(x,y)rect仃fILW丿”f(x,y)rectCf,f)。xy1.3對(duì)一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)

2、為h(x,y)=7sine(7x(y)試用頻域方法對(duì)下面每一個(gè)輸入f6,y),求其輸出g6,y)。(必要時(shí)，可取合理近似)ii()fG,y)=eos4兀xg(x,y)=F-iFf(x,y)Fh(x,y)=ii=F-iF7sin(7x)6(y)ffjk7丿=cos(4nx)rectrect丄175丿f(x,y)=H+cos(8nx)rect上3V75丿g(x,y)=F-i|li+cos(8nx)rectf75jjF7sin(7x)6(y)|=F-JCl+cos(8nx*75sinc(75f)5f)Tectfj|xyk7丿J+i6(f-46(f+4*75sinc(75f)6(f)j8x8x丿xy丿

3、*5sinc(75f去flect斗*F-i5sinc(75f)5f)=rectTj=F-i=F-i(6(x)rect(f)(7丿(4)f(x,ycomb(x)*(rect(2x)rect(2y)答：g(x,y)=F-1(Fcomb(x)*(rect(2x)rect(2y)F(7sin(7x)8(y)2(comb(f匕(f瓜sincxy4(f)sineyI2丿丿1(5(f,fLo.6376(f-l,fLo.6376(f+l,f)-0.2128(f-3,f4xyxyxyxy=F-i0.256(f,fh1598(f-1,fh1598(f+1,f)-0.0538(f-3,f)-0.0538f+3,f月

4、xyxyxyxyxy=0.25+0.318cos(2nx)-0.106cos(6nx)=F-irect=F-ixy1.4給定一個(gè)不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波17rx)(x、combrect_33(50丿gi(x)=*A(x)對(duì)下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。(1)H(f)=rectI2丿(2)H(f)=rect一(4丿-rect答：圖解方法是在頻域里進(jìn)行的，首先要計(jì)算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形3comb(3)卜FIrect(爲(wèi)=comb(3f)*50sinc(50f)sinc2fG(f)=Fg,x)=F方括號(hào)內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為：50)h/f丿一丿red圖1.4（1）sinc2

5、f圖形為：圖1.4（2）因?yàn)閟inc2f的分辨力太低，上面兩個(gè)圖縱坐標(biāo)的單位相差50倍。兩者相乘時(shí)忽略中心五個(gè)分量以外的其他分量，因?yàn)榇藭r(shí)sinc2f的最大值小于0.04%。故圖解G（f）頻譜結(jié)果為：G(f)圖1.4（3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖1.4（4）因?yàn)榻坪蟮妮斎牒瘮?shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達(dá)式為：s(f)+0.6858(f+3)+s(f-3)*50sinc(50f)+0.17128(f+3)+8(f-3）其反變換，即輸出函數(shù)為：rect(50)1+1.37cos2兀-+0.342cos2兀-x33該函數(shù)為限制在1-25,25區(qū)間內(nèi)，平均值為1周期為3,振幅

6、為1.37的一個(gè)余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個(gè)余弦函數(shù)的疊加。傳遞函數(shù)（2）形為：圖1.4（5）此時(shí)，輸出函數(shù)僅剩下在L2,-1及1,2兩個(gè)區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的頻譜很小，相對(duì)于傳遞函數(shù)（2）在-1,1的零值也是不能忽略的，由于sinc2（4）=0.043sinc2（5）=0.027TOC o 1-5 h z33可以解得，通過(guò)傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為：451x0.043cos2兀x+0.027cos2兀xrect（一）_330該函數(shù)依然限制在-2,2區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個(gè)余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.

7、6的另一個(gè)余弦函數(shù)的疊加。1.5若對(duì)二維函數(shù)h（x,y）=asinc2（ax）抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對(duì)具體抽樣方法進(jìn)行說(shuō)明。答：Fh（x,y）=F4sinc2（ax）La匚（f）X丄=丄;Y32B2ax也就是說(shuō)，在X方向允許的最大抽樣間隔小于l/2a,在y方向抽樣間隔無(wú)限制。1.6若只能用axb表示的有限區(qū)域上的脈沖點(diǎn)陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行抽樣，即comb，XcombyIY丿(xrectreJIb丿試說(shuō)明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個(gè)理想低通濾波器精確恢復(fù)g(x,y)。答：因?yàn)閍xb表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對(duì)精確恢復(fù)g(x,y)也有貢獻(xiàn)，不可省略。1.7若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線

8、脈沖”f(x,y)=5(x)，系統(tǒng)對(duì)線脈沖的輸出響應(yīng)稱(chēng)為線響應(yīng)L(x)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(f,f)，證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變xy換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿f軸的截面分布H(f,0)。xx證明：fl(x)=F(y)*h(x,y)=5(f:H(f,f)=H(f,0)yxyx1.8如果一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間|f|B，fB之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)g(X,y)，輸出為g(X,y)。證明，存在一個(gè)由脈沖的方o形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)g(x,y)，它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出g(x,y)，并請(qǐng)o確定go(x，y)。答：為了便于從頻率域分析，分別設(shè)：物的空間頻譜像的空間頻譜等效

9、物體的空間頻譜TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark599 A(f,f)=Fg(x,y)；0 xy0A(f,f)=Fg(x,y)；ixyiA(f,f)=Fg(x,y)；等效物體的像的空間頻譜A。(fx，f=Fg。(x，y0 xy0由于成像系統(tǒng)是一個(gè)線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在|f|BJf|B之外恒為零，故可將其記為：H(f,f)rectxyI2Bxrrect丿k利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關(guān)系為A(f,f)H(f,f)rect0 xyxyk2Bxxrfrect2Bky二A(f，f)ixy在頻域中我們構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預(yù)

10、期作為等效物的譜，辦法是把Ao(fx，f”)叫fxrect、安置在ff平面上成矩形格點(diǎn)分布的每xy丿個(gè)(2Bn,2Bm)點(diǎn)周?chē)x擇矩形格點(diǎn)在f、f方向上的間隔分別為2B和2B,以免xyxyxy頻譜混疊，于是A(f,f)=A(f,f)rect0 xy0 xy=A0(fx，Prect1)區(qū)藝HfXn=gm=g2Bn,fxy2Bnrfrf1rf)x-recty-*combk2B丿2Bky丿4BBYk2B丿YxJcomb對(duì)于同一個(gè)成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許A(f,f)的中央一0 xy個(gè)周期成份(n=m=0)通過(guò)，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即(f、f(fA(f,f)H(f,f)rec

11、trect10 xyxy12B丿X12By丿二A(f,f)ixy二A(f，f)ixy圖18用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對(duì)A。和A0的作用，為簡(jiǎn)單計(jì)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為rectA0(fX)H(fX)XXXAi(fX)=A0(fX)H(fX)XAi(fX)=A0(fX)H(fX)X題1.8 3) 既然，成像的頻譜相同，從空間域來(lái)看，所成的像場(chǎng)分布也是相同的，即U(x,y)二U(x,y)ii因此，只要求出A(f,f)的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場(chǎng)，即0XYU(x,y)=F-1A(f,f)00XY帶入(1)式，并利用卷積定理得到U(x,y)=F0TlA0(fXfreCt(f)(f、l

12、2B丿rect-Yl2B丿xFX-114BBXY(f、(fAcomb1l2Bcomb-Yl2BXY2)-1A0(fX,fY)rect2Brecty-l2BYxcomb(2Bx)comb(2By)XY上式也可以從抽樣定理來(lái)解釋。(fA(fAl2B丿rectYl2B丿A0(fX,fY)rect是一個(gè)限帶的頻譜函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的空間域的函數(shù)可以通過(guò)抽樣，用一個(gè)點(diǎn)源的方形陣11列來(lái)表示，若抽樣的矩形格點(diǎn)的間隔，在x方向是十，在y方向是就得到等2B2BXY效物場(chǎng)U(x,y)0F-1IA0(fX,fY)reCt(fA(fAl2B丿rect-Yl2B丿=U(x,y)*4BBsinc(2Bx)sinc(2By)

13、0XYXY二4BBJfXYU(g,n)sinc2B(x-g)xsinc2B(y-q)dgdn；0Xygcomb(2Bx)comb(2By)XY丄區(qū)區(qū)訂x4BBIXYn=-gm=s、nm,y_2B2B丿XY4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到U(x,y)=U(g，耳)sinc2B(xg)xsinc2B(yq)dgdq0I0XY8n=gm=gnx,y2BX、m莎丿Y利用5函數(shù)性質(zhì)（1.8）式，上式可寫(xiě)為U(x,y)二0n=8m=8U(g，耳)sincn2Bg)xsincm2B耳)dgdq508、nmx,y2B2B丿XY這一點(diǎn)源的方形陣列構(gòu)成的等效物場(chǎng)可以和真實(shí)物體U產(chǎn)生完全一樣的像U.0i本題

14、利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關(guān)系，先找出等效物的頻譜，再通過(guò)傅立葉逆變換，求出等效物場(chǎng)的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學(xué)問(wèn)題的基本分析方法。第二章習(xí)題解答2.1一列波長(zhǎng)為九的單位振幅平面光波，波矢量k與x軸的夾角為450，與y軸夾角為600，試寫(xiě)出其空間頻率及z=Z平面上的復(fù)振幅表達(dá)式。答:fx唱y=尋卩Cy,z.）=皿吟呦2彳會(huì)x+尋U(0,0,0)2.2尺寸為aXb的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面上的透射光場(chǎng)的角譜。答：U(x,yLrectfka丿.(cosacosP.f，A,=absincak入入丿kfcosPsincbk入2.3波長(zhǎng)為九的單

15、位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上,在孔徑平面上有一個(gè)足夠大的模板，其振幅透過(guò)率為t(x0.5fl+cos0k2nx/、03X丿，求緊靠孔徑透射場(chǎng)的角譜。答:：cosacosP=0.58fcosacosPfcosacosP+025k3X8卜伍丿+8k竽+211fcosa11fcosP入丿丿kfcosP12.4參看圖2.13，邊長(zhǎng)為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形掩模，其中心落在，耳)點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光場(chǎng)分布。畫(huà)出g=H=0時(shí)，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。圖2.4題答：t(x0be蠱Vrect12a丿12a丿rect

16、xyF(,y)La2sinc(2af)sinc(2af)a2sinc(af)sinc(af)exp(j2naf+f00 xyU(x,y)=exp(jkz)expjC2+y2)xj入z亠(-xAl2z“y4a2sinc2asinc2aa2sinca入z丿(y(sincaJexpl-j2naI(x,yL11“iyA4a2sinc2asinc2aa2sinca入z丿xAAsincayA(一lexp-j2nal入z丿l(xy+2.5圖2-14所示的孔徑由兩個(gè)相同的矩形組成，它們的寬度為a，長(zhǎng)度為b，中心相距為d。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。假

17、定b=4a及d=1.5a，畫(huà)出沿x和y方向上強(qiáng)度分布的截面圖。如果對(duì)其中一個(gè)矩形引入位相差兀，上述結(jié)果有何變化？3)3)ayb圖題2.5(1)答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個(gè)中心在(0,2)及(0，-d的矩形孔徑振幅透22射率之和：dxt(x,y)=rect(yo)rect(-02)+rect(yo)rect(00abadx+02)1)由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場(chǎng)U(x,y)=1000透射光場(chǎng)ddyy+X丿0 x丿00U(x,y)=U(x,y)t(x,y)=rect(o)rect(一2)+rect(o)rect(一2)(2)oooooooabab由夫瑯和費(fèi)衍射方程，在夫

18、瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣U(x,y)，它正比于孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式(頻率坐標(biāo)f=二,f=二)，x人zy人z即U(x,y)=exp(jkz)expj(x2+y2)LZzJxFu(x,y)0015 Fu(x,y)=Fab利用傅立葉變換的相移定理，得到y(tǒng)=absinc(af)sinc(bf)xexp(一j兀fd)+exp(j兀fd)yx=2absinsiny）XC0S（筈）把它帶入（3）式，則有2zsinc(學(xué))xcos()九z九zexp(jkz)expj(x2+y2)-x2absinc強(qiáng)度分布(2ab丫.sinc2sinc2cos2不難看出，這一強(qiáng)度分布是矩孔徑

19、衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。雙縫的振幅透射率也可以寫(xiě)成下述形式：(x)t(x,y)二rect-+rect00(dF002丿dY0-02丿d異uy一=+8x,y+4）它和（1）式本質(zhì)上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式導(dǎo)出與上述同樣的結(jié)果。代入所給條件b=4a,d=1.5a/8a2).(ax-Isinc2-V九z丿V九z(4aysinc2V九zcos2(1.5兀ayv九z沿x軸此時(shí)丁0(af)xI(f,f)=8a2sinc2xy中心光強(qiáng)：I(0,0)=8a2n極小值位置為：f=(n=1,2,)xax方向上強(qiáng)度分布的截面圖示意如下：沿y軸:此時(shí)f=0，xI(f,

20、f)=8a2sinc(4af)2cos2C.5兀af)xyyy中心光強(qiáng)：I(0,0)=8a2(n=1,2,)n12n極小值位置：f=及f=一y4ay3ay方向上強(qiáng)度分布的截面圖示意如下:2） 2） 圖題2.5（3）rectrx、orectr厶、*5r、x,y77exp一j兀+5x,y+Va丿Vb丿V002丿V002丿t(x,y)=00=rectry、r)rect*5x,y一一V才丿V0o2丿rX)oVa丿exp-j兀x,y+V002丿=rectJy-drect|I2|expj兀+rect|十Irect由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場(chǎng)U0(x1,y1)=1透射光場(chǎng),b=4a,d=

21、1.5a時(shí)U(X1,yi)=U0(X1,yi)t(X1,yi)車(chē)|exPrx)=rectrectVa丿rx)rect十rectVa丿dy+i2b=rectrrecty0.75a*7)eXPxa丿(recty+0.75ai4a丿 由夫瑯和費(fèi)衍射方程，在夫瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣U（x,y），它正比于孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式（頻率坐標(biāo)f=二,f=丨），x九zy九z即xFu(x,y)003）exp(jkz)expj(x2+y2)2z利用傅立葉變換的相移定理，得到(x)(y-0.75a)0rect0-ka丿k4a丿exp-jnl+Fb0,ab0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)

22、z分別取下列TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark183 2d2zd2zd2各數(shù)值：(1)z=z=；(2)z=十=??；(3)z=卡=冇(式中z稱(chēng)作t九2九42九T泰伯距離)時(shí)，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。答：根據(jù)式(2.31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為()xU%,y-a+bcos2n0 HYPERLINK l bookmark455 00d強(qiáng)度分布為角譜為Aff0 xya+bcos2兀exp(j2nCf+yfVd丿oxoy場(chǎng)xdyoog=a6ff12卜Vf-df丿+S(f+dfT2VVxdy丿Vxdy丿丿xy傳播距

23、離z后，根據(jù)式(2.40)得到角譜Af,f丄Af,f爲(wèi)jkzdxyoxyxy()b(1A(1=a6ff+-8f-,fl+SIf+-,fdy丿Vdy丿丿丿y2VVexpjkzud&f(f)SxyxyllIepjkz!1-(dI2丿丿Vd丿ffI+(f+fxdy丿Vxdy利用二項(xiàng)式近似有j%-71仝expjkz；1(入丫1二exp(jkz)exp(jVd丿V2Vd丿丿Vd2丿故y:aSf,fL-8f丄,f+8f+2fdyllIIep丿丿nz入jdTJ(1)z=2d2ll丿丿丿.4nd22VV與Aff)僅相差一個(gè)常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布與單色平面波oxy垂直照明下剛剛透過(guò)余弦型振幅

24、光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布完全相同。2)A(ff憶)=expxyAnd2aSffxyJsVf-d-,f”f+d,f2VVxdy丿YT丿丿丿對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為z)xx-d2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark209 Ux,yLa-bcos2n-a+bcos2n一dd因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布為平移半個(gè)周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過(guò)余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。3)zd24- HYPERLINK l bookmark575 42九xy:aSZf,f2$Vf-d,f+S|f+dfexpxy對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為Ux,y-expzjkz)a一jbcos2nd強(qiáng)度分布為z)xIx,

25、y-a2+b2cos22nd2.13圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為n，齒寬為a，齒形角為a，光柵整體孔徑為邊長(zhǎng)L的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。若讓衍射圖樣中的某個(gè)一級(jí)譜幅值最大，a應(yīng)如何選擇？LL圖2.16(題2.13)答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明，則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為ArectUC,y=exp(jkxtga(nJ)rectI*1combCrect00其角譜為A(f,f1血(x+yf瓜dy0 xy000 x0y00g(tga(n-l)

26、x入丿.tga(n-1)、x入.tga(n-l)x入=asinca=asincainc(af)comb(af)5(fXt2sincLfsincLfxy*asincx丿丿x丿b(af)5(fhsincLfsincLfxycomx丿(f-m)5(f)*L2sincLfsincLf丿丿x丿yxy若讓衍射圖樣中的m級(jí)譜幅值最大，應(yīng)選擇Q使得tga(n-1)_m入a因而有2.14設(shè)u(x)為矩形函數(shù)，試編寫(xiě)程序求p=14,1/2,3/4時(shí)，其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,并繪制出相應(yīng)U(p)G的曲線。答：根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式(2.62)G)=Fg(x)=aexpJexp-gj(2*X2)-互g(x)dx2tg

27、asina以及式ap=2(2.79)兀即可編程計(jì)算p=14，1/2，34時(shí)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(此處略)。第三章習(xí)題解答3.1參看圖3.5，在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(3.35)式時(shí)，對(duì)于積分號(hào)前的相位因子試問(wèn)exp0(x2+y2)00.kJ2d0(x2+y2ii-M2物平面上半徑多大時(shí)，相位因子exp(X2+y2)00相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變n弧度?設(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是多少?(3)由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a,入和d之間存在什么關(guān)系時(shí)可以棄去相位因子exp2d(X2+y2)00解:(1)由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)位相位

28、差為兀的條件是kkr2(x2+y2)=4=兀2d002d00(2)根據(jù)(3.1.5)式,相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)(X,y)00h(x0,y0；x，N2dd0i1JfP(x,y)expJgJ(xx)2+(yy)2pxdy九di0i0Ji1B九2dd0i.(r)czrcIa丿丿1aJ(2兀ap)九2ddp0i式中r二x2+y2，而/X-x、zy-y、F)2+()2ii1）在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)處，J（2兀ap）=0，此時(shí)應(yīng)有2兀ap=3.83，即10.61a2）將（2）式代入（1）式，并注意觀察點(diǎn)在原點(diǎn)（x=y=0），于是得ii0.61九dr=

29、o0a3)（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點(diǎn)處的場(chǎng)分布，必須是物面上所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)的貢獻(xiàn)h（x,y;0,0）。按照上面的分析，如果略去h第一個(gè)00零點(diǎn)以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對(duì)原點(diǎn)的貢獻(xiàn)，那么這個(gè)貢獻(xiàn)僅僅來(lái)自于物平面原點(diǎn)附近r0.61九d/a范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個(gè)小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相位因子00expjkr2/2d變化不大，就可認(rèn)為（3.1.3）式的近似成立，而將它棄去，假設(shè)小00區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如兀/16）就滿足以上要求，則兀kr2/2d，r22.44JXd（4）例如X=600nm，d=600nm，則光瞳半徑a1.46mm，顯然這一條件是極易滿0足的

30、。3.2一個(gè)余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過(guò)率為00+1cos2吋x20放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi)，與z軸夾角為。透鏡焦距為f,孔徑為D。（1）求物體透射光場(chǎng)的頻譜；（2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大。角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度分布；（3）若。采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與。=0時(shí)的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場(chǎng)為Aexp（jkxsin0），為確定起0見(jiàn)設(shè)00，則物平面上的透射光場(chǎng)為00U(x,y)=Aexp(jkxsin0)t(x,y)000(一sin0、1“sin0、1“si

31、n0、j2兀x+只expj2兀x(f+)+只exp-j2兀x(f-)10九丿2oo九200九其頻譜為AG，耳)=F如o(Xo,yo)sin0、o+九丿sin0sin0、o+九丿由此可見(jiàn)，相對(duì)于垂直入射照明，物頻譜沿g軸整體平移了sin0/九距離。2）欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個(gè)頻譜分量通過(guò)系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率P=D/4九f，于是要求csin9D芍丄-f+泌JD_4九fo九4九f由此得1）sin94f4f9角的最大值為9max.(D二arcsin14f2）此時(shí)像面上的復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布為A(U(x,y)二一expj2kx11+旳(-j2兀x.fo)A21(X-”=T+cos2兀fx403）

32、照明光束的傾角取最大值時(shí)，由（1）式和（2）式可得九f-o4f4f0maxD_2Xf3）9二0時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率為P二D/4九f，因此光柵的最大頻率0max=p4）比較（3）和（4）式可知，當(dāng)采用0=0傾角的平面波照明時(shí)系統(tǒng)的截止頻率提max高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在彳=f=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大xy于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？1）在（3.4.5）式中，令h(x,y)=iih(x,y)1iih(x,y)dxdy1iiii為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此（3.4.5）式可寫(xiě)成h(x,

33、y)expj2兀(gx+ny)dxdyiiiiiigH（0,0）=1=ffh（x,y）dxdyiiiig即不考慮系統(tǒng)光能損失時(shí)，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的意義（2）不能大于1（3）對(duì)于理想成像，歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是5函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1,即系統(tǒng)對(duì)任何頻率的傳遞都是無(wú)損的。 圖3.6題 3.4當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x,y)成點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是Iii實(shí)函數(shù)。解：由于h(x,y)是實(shí)函數(shù)并且是中心對(duì)稱(chēng)的，即有h(x,y)二h*(x,y)，IiiIiiIiih(x,y)二h(-x,-y)，應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式(3.4.5)易于證明

34、IiiIiiH點(diǎn),n)二H*點(diǎn)，耳)，即H(g，耳)為實(shí)函數(shù)。3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為d，光波長(zhǎng)為入，這種系統(tǒng)可用來(lái)實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)i的截止頻率近似為多大？解：用公式(3.4.15)來(lái)分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，因此無(wú)論沿哪個(gè)方向移動(dòng)出瞳計(jì)算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計(jì)，只考慮每個(gè)小孔自身的重疊情況，而不計(jì)及和其它小孔的重疊，這時(shí)N個(gè)小孔的重疊面積除以N個(gè)小孔的總面積，其結(jié)果與單個(gè)小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為2a/九d，由于2a很小，所以系

35、統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了低通濾波。i3.6試用場(chǎng)的觀點(diǎn)證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖t(x,y)(x，y)00AV0設(shè)Y是透過(guò)率函數(shù)為t(x,y)的物平面，Y是與Y共軛的像平面，即有10021111+ddf0i式中f為透鏡的焦距，設(shè)透鏡無(wú)像差，成像過(guò)程分兩步進(jìn)行：射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射，結(jié)果形成入射到透鏡上的光場(chǎng)U；l這個(gè)入射到透鏡上的光場(chǎng)經(jīng)透鏡作位相變換后，在透鏡的后表面上形成衍射場(chǎng)U，這個(gè)場(chǎng)傳到像面上形成物體的像。l為了計(jì)算光場(chǎng)，我們用菲涅耳近似，透鏡前表面的場(chǎng)為x2+y2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark306 exp(Jkrr)2丄2丄2dg/、/

36、.7x2+y2、/.7xx+yy、7,oJJt(x,y)exp(jkQo-)exp(jkoo)dxdyg HYPERLINK l bookmark310 認(rèn)d002dd00ig00這里假定t(x,y)只在物體孔徑之內(nèi)不為零，所以積分限變?yōu)橥羐，此積分可以看00 x2+y2成是函數(shù)t(x,y)exp(jk00)的傅立葉變換，記為F(f,f)，其中002dxy0fx二Fd在緊靠透鏡后表面處exp(Jk)U=.0F(/,/)exp(jkJ)1”d0 xy2f這個(gè)被透鏡孔徑所限制的場(chǎng)，在孔徑上發(fā)生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面丫2上的光場(chǎng)x2+y2exp(jk-4-)2dgidU，exp(jkjX

37、iigx2+y2)exp(jkxx+yyi+-)xyx2+y2、exp(jk*)2ijXix2+y2exp(jk)和F(f,f)0exp(jk)exp(伙)xyjX2f20isexp(jk蘭少)xyix2+y2exp(jk一-)2iX20ig1由題設(shè)口，+一0iF(f,f)expjkx+yly111xx+yy(+)exp(jka)xy2f0ii并且假定透鏡孔徑外的場(chǎng)等于零，且忽略透鏡孔徑的限制，所以將上式中的積分限寫(xiě)成無(wú)窮，于是上述積分為x2+y2exp(jk-)jj/、2 HYPERLINK l bookmark69 U(x,y)二iiiiX20iF(f,f)exp(jkxygxx+yyi)

38、xyiexp(jk三2+y2ifjF(XXi+yi)xyXXg,fxX,fyX,于是得 2 x2+y2exp(jki-)2dg HYPERLINK l bookmark290 U(x,y)二iUiiid/di0F(f,f)exp(j2n(xf+yf)dfdfxyxyxygdx2+y2屮exp(jk-i)t(x,yd2dii00)exp(jkx2+y2o02d0 x2+y201)t(x,y)2d八oV0dx2+y2=-f-exP(jki)exP(jkTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark219 d2dii再考慮到xo和二之間的關(guān)系得到/dd、t(x廠y)1d1dii

39、d即得到像平面上倒立的，放大于倍的像。do3.7試寫(xiě)出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：在照相系統(tǒng)的曝光期間，因線性平移使點(diǎn)變成小線段而造成圖像模糊，這種系統(tǒng)稱(chēng)為平移模糊系統(tǒng)，它的線擴(kuò)散函數(shù)為一矩形函數(shù)L(x)=rect()其傳遞函數(shù)為H(f)二2aaxnafx對(duì)于大氣擾動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)目標(biāo)物為一細(xì)線，若沒(méi)有大氣擾動(dòng)，則理想成像為一條細(xì)線。由于大氣擾動(dòng)，使在爆光期間內(nèi)細(xì)線的像作隨機(jī)晃動(dòng)，按照概率理論，可以把晃動(dòng)的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動(dòng)擺幅的均方根值為a，細(xì)線的線擴(kuò)散函數(shù)為1x2L（X）二気eXP（盂）對(duì)上式作傅立葉變換，就得到大氣擾動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(f)=exp(2t2a2f2)xx3.

40、8有一光楔（即薄楔形棱鏡），其折射率為n頂角a很小，當(dāng)一束傍軸平行光入射其上時(shí)，出射光仍為平行光，只是光束方向向底邊偏轉(zhuǎn)了一角度（n-1）a，試根據(jù)這一事實(shí)，導(dǎo)出光束的位相變換函數(shù)t。設(shè)入射平行光與Z軸成0角入射，按傍軸條件，。角很小，入射到光楔上的光場(chǎng)為U=Aexp(jkxsin0)Aexp(jkx3)通過(guò)光楔后的出射光場(chǎng)為U=Aexp(jkxsin0(n1股Aexp(jkx0(n1其中-(n-1)a表示偏轉(zhuǎn)是順時(shí)針?lè)较?，即向底邊偏轉(zhuǎn)，又根據(jù)出射光場(chǎng)，入射光場(chǎng)和光楔變換函數(shù)三者的關(guān)系U=tU有AexpjkxB(n-1=tAexp(jkx3)21于是有t=exp-jk(n一1。AvA九v九。設(shè)

41、光波波長(zhǎng)第四章習(xí)題解答4.1若光波的波長(zhǎng)寬度為A九，頻率寬度為Av，試證明:為廠=632.8nm，A九=2x10-8nm，試計(jì)算它的頻寬Av。若把光譜分布看成是矩形線型，那么相干長(zhǎng)度l=?cay證明：Av=c=1.5x104赫，l=ct=20 x103(m)九2ccAv4.2設(shè)邁克爾遜干涉儀所用的光源為九=589.0nm，九=589.6nm的鈉雙線，每一譜12線的寬度為0.01nm。(1)試求光場(chǎng)的復(fù)自相干度的模。(2)當(dāng)移動(dòng)一臂時(shí)，可見(jiàn)到的條紋總數(shù)大約為多少？(3)可見(jiàn)度有幾個(gè)變化周期？每個(gè)周期有多少條紋？答：假設(shè)每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為128vrectfv-v1(8v光

42、場(chǎng)的復(fù)相干度為r(t)=j)exp(j2kvt)dv0=一sinc(6vt)exp(j2兀vt)1+exp(j2兀Avt)21式中Av=v2-v1，復(fù)相干度的模為 |r(t)=|sinc(6vt)|coskAvt|由于Av沁，故第一個(gè)因子是t的慢變化非周期函數(shù)，第二個(gè)因子是t的快變化周期函數(shù)。相干時(shí)間由第一個(gè)因子決定，它的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在t=1Sv的地方，t為相ccc九2九2干時(shí)間，故相干長(zhǎng)度1=CT=沁-0ccSvS入S入可見(jiàn)到的條紋總數(shù)N=?=普=58930復(fù)相干度的模中第二個(gè)因子的變化周期t=1Av,故tAvA九6可見(jiàn)度的變化周期數(shù)n=孑=喬=臥=01=60N58930每個(gè)周期內(nèi)的條紋數(shù)

43、=982n604.3假定氣體激光器以個(gè)等強(qiáng)度的縱模振蕩，其歸一化功率譜密度可表示為(/)=叫)S(y-v+nvn=_(-1)2式中，Av是縱模間隔，亍為中心頻率并假定N為奇數(shù)。(1)證明復(fù)自相干度的模為Avt)Avt)(2)若=3，且0t1Av,畫(huà)出lyG)與Avt的關(guān)系曲線。證明：(1)，復(fù)相干度Y(t)與歸一化功率譜密度即光源的光譜特性間具有下列關(guān)系:YG)=JsG?(v)e-j2兀vtV0將（4.3.1）式帶入得到-v+nAv)e-j2兀vtdvY(t)=丄卜(迓25(vN0n=-(N-1/21-(N-1)2e-j2兀vtej2兀nAvTNn=-(n-1)21e-j2兀vtN/(ej2冗

44、avt)+(憂2(e-j2冗Avt)In=0-1其中n=0(j2冗Avt1ej2兀Avt(N+1)/21ej2兀avt(N-1)2()1e-j2冗Avt(N+1)/2乙e-j2兀avt力=1e-j2兀avtn=0因而j2兀Avt(N+1)/2Y(t)=丄exp(-j2兀譏)expj2兀Avt(N-1)/2+expLj2兀Avt(N-1)/2一expN-expLj2兀Avt(N+1)/2/l2-exp(j2兀Avt)-exp(-j2兀Avt)1cos2兀Avt(N一1)/2一cos2兀Avt(N+1)/2ej2兀vt-N1一cos2兀Avt1-sin兀AvtNej2兀vt-Nsin兀Avt復(fù)相干

45、度的包絡(luò)則為y(T)=|y(T)=sin兀AvtNNsin兀Avt(2)，當(dāng)N=3時(shí),yQ=si仙AvT3sin兀Avt其Y-Avt曲線如圖1所示。4.4在衍射實(shí)驗(yàn)中采用一個(gè)均勻非相干光源，波長(zhǎng)550nm，緊靠光源之前放置一個(gè)直徑1mm的小圓孔，若希望對(duì)遠(yuǎn)處直徑為1mm的圓孔產(chǎn)生近似相干的照明，求衍射孔徑到光源的最小距離。答：用做衍射實(shí)驗(yàn)的相干度應(yīng)當(dāng)用上題中提到的沃爾夫用的閾值，由理想值1下降到0.88為最大容許偏離值，因而相干面積直徑與光源半徑之間滿足下列關(guān)系：0.16九zd=a則da0.16廠隔550 x103=5.68m即光源小孔與衍射小孔之間最小相距5.68m才能在衍射實(shí)驗(yàn)中較好地滿足

46、相干照明的要求。4.5用邁克爾遜測(cè)星干涉儀測(cè)量距離地面1光年（約1016m）的一顆星的直徑.當(dāng)反射鏡M與M之間距離調(diào)到6m時(shí),干涉條紋消失若平均波長(zhǎng)兀=550nm，求這顆星的直12徑。答：e=Da=D=1013km=l.12x106km。d6x1094.6在楊氏雙孔干涉實(shí)驗(yàn)中（圖4.17）,用縫寬為a的準(zhǔn)單色非相干縫光源照明，其均勻分布的輻射光強(qiáng)為10，中心波長(zhǎng)兀=600nm.（1）寫(xiě)出距照明狹縫z處的間距為d的雙孔Q和Q（不考慮孔的大?。┲g的復(fù)相干因子表達(dá)式。（2）若12a=0.1mm,z=1m,d=3mm，求觀察屏上的楊氏干涉條紋的對(duì)比度。（3）若z和d仍然取上述值，要求觀察屏上干涉條紋

47、的對(duì)比度為0.41,縫光源的寬度應(yīng)為多少?（4）若縫光源用兩個(gè)相距為a的準(zhǔn)單色點(diǎn)光源代替，如何表達(dá)Q和Q兩點(diǎn)之間的復(fù)相干因子？12 3 圖題4.6答：根據(jù)范西特-澤尼克定理，當(dāng)光源本身線度以及觀察區(qū)域線度都比二者距離z小得多時(shí)，觀察區(qū)域上復(fù)相干因子正比于光源強(qiáng)度分布的歸一化傅里葉變換。本題的條件能exp(j)JfIrectf二e/-j0u(AAn)=*夠滿足這個(gè)要求。因而有+yAndxdy兀ziiJiiffIrectfdxdyoka丿-*exp(jv)frectfxp一jM-x|dxfexp|-j-yAn|dyka丿l入ziJil入ziJi*=rectkjdxexp(jw)si-*-*,.f氏

48、LfAn)sincapk入z丿k入z丿P(o)n=0(4.75)sinca-k入z丿當(dāng)An=0當(dāng)AnH0fE2+n2)-(;2+n2)=-(p2-p2)式中屮=2zVYYV2z2i而pi和p2分別為Q1和Q2兩點(diǎn)到光軸的距離。(2)當(dāng)a=0.1mm,z=im,d=3mm，有U(3,0)=exp(j甲)sincaf=sinc0.i0.6x10-3xlxl03丿=0.637觀察屏上的楊氏干涉條紋的對(duì)比度為0.637。若z和d仍然取上述值，觀察屏上干涉條紋的對(duì)比度為0.41，縫光源的寬度應(yīng)為0.667x0.6x10-3xixi03a=0.133mm若縫光源用兩個(gè)相距為a的準(zhǔn)單色點(diǎn)光源代替，Q和Q兩點(diǎn)

49、之間的復(fù)相干因12子可以表達(dá)為兩個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，因而隨著Q和Q兩點(diǎn)之間的距離按照余弦12函數(shù)方式變化。4.7一準(zhǔn)單色光源照明與其相距為z的平面上任意兩點(diǎn)P和P，試問(wèn)在傍軸條件下這兩12點(diǎn)之間的復(fù)相干因子幅值為多大？圖題4.7解：首先建立如上圖的坐標(biāo)系，光源位于&n坐標(biāo)原點(diǎn)，&n與x-y兩平面間距為z,p1與P2兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xyj與(x2,y2)，并滿足如下近軸條件：做為準(zhǔn)單色點(diǎn)光源，其光源可表示為IC,n)=0C,n)其中為狄拉克函數(shù)。直接利用范西特-澤尼克定理計(jì)算復(fù)相干系數(shù)如下:MP,P)12e-何JIg-802aI8(g“)expj(Ax+Ayq)疋dq九z=expIj令(X2+y2

50、-x2-y2)因?yàn)橼?P,P)=1，由點(diǎn)光源發(fā)出的準(zhǔn)單色是完全相干的，或者說(shuō)x-y面上的相干面積趨于無(wú)限大4.8在圖4-18所示的記錄全息圖的光路中，非相干光源的強(qiáng)度在直徑為b的圓孔內(nèi)是均勻的。0=10。為使物體漫反射光與反射鏡的參考光在H面上的復(fù)相干因子|卩J不小于0.88，光源前所加的小孔的最大允許直徑是多少(九=600nm)？答：小孔的最大允許直徑b=0.32x0.32x0.6.=x10-3mm=1.1x10-3mm00.175S圖題4.8第五章習(xí)題解答5.1兩束夾角為6=450的平面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉，已知光波波長(zhǎng)為632.8nm,求對(duì)稱(chēng)情況下(兩平面波的入射角相等)該平面上記錄的

51、全息光柵的空間頻率。答：已知：6=45o,入=632.8nm，根據(jù)平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關(guān)系式2dsin(6/2)=入其中d是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對(duì)于全息干板是對(duì)稱(chēng)入射的，故記錄在干板上的全息光柵空間頻率為f=(1/d)=(1/入)2sin(6/2)=1209.5l/mm故全息光柵的空間頻率為1209.5l/mm。5.2如圖5.33所示，點(diǎn)光源A(0,-40,-150)和B(0,30,-100)發(fā)出的球面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉：B圖5.33（5.2題圖）1）寫(xiě)出兩個(gè)球面波在記錄平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式；答：設(shè)：點(diǎn)源A、B發(fā)出的球面波在記錄平面上的復(fù)振幅分布分別為UA和U

52、B,則有U=2exp(jkz)exp(jk/2z)kx-x)2+(y-y)2A2AAAAU=-bexp(jkz)exp(jk/2z)#x-x)2+(y-y)2B2BBBB其中:xA=xB=0,yA=-40,zA=-150,yB=30,zB=-100;aA、aB分別是球面波的振幅；k為波數(shù)。AB2）寫(xiě)出干涉條紋強(qiáng)度分布的表達(dá)式；1=lUA+UBl2=UUA*+UBUB*+UA*Ub+UaUB*a2+a2+a-4B-十4+aBexp(-jkz+jkz)exp-(jk/2z)(x-x)2+(y-y)24ABAAA+(jk/2z)(x-x)2+(y-y)2BBBBexp(jkz-jkz)exp(jk/

53、2z)kx-x)2+(y-y)24ABAAA-(jk/2z)(x-x)2+(y-y)2BBB（3）設(shè)全息干板的尺寸為100 x100mm2，=632.8nm，求全息圖上最高和最低空間頻率；說(shuō)明這對(duì)記錄介質(zhì)的分辨率有何要求？解答：設(shè)全息干板對(duì)于坐標(biāo)軸是對(duì)稱(chēng)的，設(shè)點(diǎn)源A與點(diǎn)源B到達(dá)干板的光線的最大和最小夾角分別為e和e,A、B發(fā)出的到達(dá)干板兩個(gè)邊緣的光線maxmin 39 y0A0A0A=tg-1zA/(yA-50)，0B=tg-1zB/(yB-50)=0-0，maxAB=0-0minBA根據(jù)全息光柵記錄原理，全息圖上所記錄的最高空間頻率f=(2/X)sin(0/2)cosmaxmax最低空間頻率

54、f.=(2/九)sin(0./2)cosminmin其中a角表示全息干板相對(duì)于對(duì)稱(chēng)記錄情況的偏離角，由幾何關(guān)系可知cosa=sin(0+0)/2，cosa=sin(0+0)/21AB2AB將數(shù)據(jù)代入公式得fmax=882l/mm，fmin=503l/mm故全息圖的空間頻率最高為882l/mm,最低為503l/mm,要求記錄介質(zhì)的分辨率不得低于900l/mm。5.3請(qǐng)依據(jù)全息照相原理說(shuō)明一個(gè)漫反射物體的菲涅耳全息圖。為什么不能用白光再現(xiàn)？試證明如圖5.7所記錄和再現(xiàn)的菲涅耳全息圖的線模糊和色模糊的表達(dá)式(5.26)和(5.28)；為什么全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像？碎片尺寸的大小對(duì)再現(xiàn)像質(zhì)

55、量有哪些影響？由全息圖再現(xiàn)的三維立體像與普通立體電影看到的立體像有何本質(zhì)區(qū)別？答：九（1）首先證明（5.26）式，當(dāng)卩=1。人0即記錄光與再現(xiàn)光波長(zhǎng)相同時(shí)，5.21)式變?yōu)椋?HYPERLINK l bookmark389 xxxxic+0r HYPERLINK l bookmark391 llllic0ry.ilic0r當(dāng)再現(xiàn)光源沒(méi)有展寬，即AC0，一個(gè)點(diǎn)光源的像的展寬，AI（Ax,Ay）與參考光源的ii展寬AR（|Ax,Ay），成正比，即：（AI）ARiRllir同樣，當(dāng)參考光源沒(méi)有展寬，再現(xiàn)光源的展寬AC（|AXc，|Ay）也與像的展寬成正比（AI）ACicllic參考光源與再現(xiàn)光源同時(shí)

56、存在微小展寬其最后結(jié)果展寬是兩者之和為：AI-（AI）+（AI）iiRic(ARACYIllrr此即式（5.26）。對(duì)于色模糊，由圖5.8可以看出：A九l-A6i色散角與波長(zhǎng)成一定函數(shù)關(guān)系，由于波長(zhǎng)范圍A九產(chǎn)生的色散角為:AOA九竺因而有AI,lA九入i該式即為書(shū)上（5.27）式，根據(jù)書(shū)上P132以后分析即可證明（5.28）式。（2）由于全息圖上每一點(diǎn)都記錄了物體上所有點(diǎn)發(fā)出的波的全部信息，故每一點(diǎn)都可以在再現(xiàn)光照射下再現(xiàn)出像的整體，因而全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像。不過(guò)對(duì)再現(xiàn)像有貢獻(xiàn)的點(diǎn)越多，像的亮度越高。每個(gè)點(diǎn)都在不同角度再現(xiàn)像，因而點(diǎn)越多，再現(xiàn)像的孔徑角也越大，像的分辨率越高，這就

57、是碎片大小對(duì)再現(xiàn)像質(zhì)量的兩個(gè)方面影響。5.4用波長(zhǎng)九0=632.8nm記錄的全息圖，然后用九=488.0nm的光波再現(xiàn)，試問(wèn):（1）若/=10cm，l=l=像距l(xiāng)=?ocri解：根據(jù)菲涅耳全息圖物像距關(guān)系式（5.21C），像距/由下式確定i原始像：1111T=廠+卩(廠廠)icor共軛像：1111=L1(-)Illlicor其中口=X/兀，將/=/=a代入得0cr原始像距為l=-L13cmiP共軛像距為l=-L-13cmiP（2）若lo=10cm，l=20cm，/C=，/=?；解：同理，原始像距為l=屮（土-+）-g26cmor共軛像距為/-26cm（3）第二種情況中，若/C改為/C=-50c

58、m，/=?； 解：同理,原始像距為l54cm共軛像距為l-17cm4）若再現(xiàn)波長(zhǎng)與記錄波長(zhǎng)相同，求以上三種情況像的放大率M=？解：當(dāng)九=九0時(shí)口=1,由成像放大率公式（5.25）可知M=|1-$廠I-1rc上述三種情況的放大率分別為（1）M=1；（2）M=2；（3）M=3.35.5如圖5.34所示，用一束平面波R和會(huì)聚球面波A相干，記錄的全息圖稱(chēng)為同軸全息透鏡（HL），通常將其焦距f定義為會(huì)聚球面波點(diǎn)源A的距離zA。z圖5.34（5.5題圖）（1）試依據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（5.21）（5.22），證明該全息透鏡的成像公式為11,卩ddfi0式中4為像距，d0為物距，f為焦距，卩=N九0

59、（九0為記錄波長(zhǎng)，九為再現(xiàn)波長(zhǎng)），等號(hào)右邊的正號(hào)表示正透鏡，負(fù)號(hào)表示它同時(shí)又具有負(fù)透鏡的功能。證明：根據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（5.21c）和（5.22c）有111士卩(-)lllcor根據(jù)題意，已知di=li，d0=lc，lr=00；焦距f是指當(dāng)九=九0時(shí)平行光入射得到的會(huì)聚點(diǎn)的距離，即當(dāng)1=0,卩=1時(shí)的像距,此時(shí)l=f（=zA）。ciiA根據(jù)公式可得丄=1=上=丄fillioo于是有f=+1o（=Za）1111JI、卩卩故：左邊=d-T=廠廠=士卩（廠廠）=廠=f=右邊i0icoro證明完畢。（2）若已知z.=20cm，九=632.8nm，物距為d=-10cm，物高為h=2mm，物A

60、00O波長(zhǎng)為九=488.0nm，問(wèn)：能得到幾個(gè)像？求出它們的位置和大小，并說(shuō)明其虛、實(shí)和正、倒。解：由已經(jīng)證明了的全息透鏡成像公式可得1=丄上ddfi0根據(jù)題意有f=zA=20cm，卩=九/九0=488.0nm/632.8nm，d0=-10cm，代入上式l-16.3cm原始像得d,=-72cm共軛像根據(jù)放大率公式（525）M=rzz1-0士0z卩zri-1由本題關(guān)系可知，上式中z0=lo=f=20cm，z=/=,z=l=d=-10cm，代入rrcc0上式得06原始像高h(yuǎn)=Mh=1.20cm-1M=028共軛像高h(yuǎn)=Mh=0.56cm故能得到兩個(gè)像，原始像位于-16.3cm處，正立虛像，像高1.