不等式證明的基本方法·例題

1、不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考不等式證明的基本方法例題例5-2-7已知a,b,c$R+，證明不等式：a+b+Vab+Vca當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse解用綜合法。因a0,b0,c0,故有a+b2當(dāng)且僅當(dāng)b吋取等號(hào)；b+c2當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)；c+a2當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)謝取等三式分邊相加,得Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。例5-2-8設(shè)t0。證明：對(duì)任意自然數(shù)n不等式Forpersonal

2、useonlyinstudyandresearch;notforcommercialusetn-nt+(n-l)三0僅供個(gè)人參考都成立，并說(shuō)明在什么條件下等號(hào)成立。解當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立，且取等號(hào)。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse當(dāng)n2時(shí)，由冪分拆不等式，可得以下n-1個(gè)不等式:12+I三t+t,13+I三t?+1,，tn-l+1三tn-2+1,tn+1三tn-l+t以上各式當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)。把它們分邊相加,得tn+(n-1)tn-nt+(n-1)0故對(duì)任意nN,不等式獲證。等號(hào)成立的條件是n=1,或t

3、=l。注在以上不等中令t=l+x(x-l)，即得著名的貝努利不等式(1+x)三1+nx令t=-f,可得包11+門-1)屮為必叫例5-2-9設(shè)a,b,c都是正數(shù),證明不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。分析本例有多種精彩證法。根據(jù)對(duì)稱性,可從左邊一項(xiàng)、兩項(xiàng)入手當(dāng)然也可根據(jù)平均值不等式或冪分拆不等式從整體入手。解法一從一項(xiàng)入手,適當(dāng)配湊后由平均值不等式知僅供個(gè)人參考三式分邊相加，即得壬+丄+二+b+0當(dāng)且僅當(dāng)二+學(xué)，字，厶=學(xué)同時(shí)成立，SPa=b=cb+c4c+a4a+b4時(shí)，上式取等號(hào)。法二從兩入手，利用冪分拆不等式，有a2b2Fb+cc+aa2c+b2c+a3+b3(b+c)(c+a)a2b21

4、c+ab+ca2c+b2c+a2b+ab2(b+c)(c+a)所以+(當(dāng)且僅當(dāng)“b時(shí)取等號(hào))b+cc+ac+ab+c同理有b2c2、.b22+甲+c+aa+ba+bc+a2222ca、ca+a+bb+cb+ca+b（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)）當(dāng)且僅=b吋取等號(hào)）僅供個(gè)人參考三式分邊相加，得a2b2c2lfb+cc+aa+b2、2(b+c)2(2L2(a+O+2(b+c)+2(a+b)=|(a+b+c)a2+c2|b2+c2,a2+b21a+cb+ca+b(當(dāng)且僅Sa=b=cBt取等號(hào))法三從整理入手，原不等式等價(jià)于fb2+b+lc+afc2ia+b+Cabc、3Ob+c：+c+亂+b2|(a+b+c

5、)進(jìn)一步證明參考習(xí)題5-2-7(1)解答。法四由平均值不等式x?+(入y)22入xy(x,y,WR+)的變式匕：2a-2(b+c)c+ac22XC-k2(a+b)a+bb2Xb-X2(c+a)三式分邊相加，得僅供個(gè)人參考因此，欲使原不等式成立，只須存在,使2。一滬)=、解得入=$所以呂+丄+二扣+b+c)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?(b+c),b=(c+a),c=(a+b)即迪=b=u時(shí)耳膜爭(zhēng)號(hào)注從證法4我們看到，利用平均值不等式x?+(入y)22入xy(x,穴討)的變式號(hào)沁“-當(dāng)且僅當(dāng)hy時(shí)取等號(hào))證明某些分式不等式，思路自然，簡(jiǎn)捷明快，頗具特色。例5-2-10已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程X2+px+q=0有兩個(gè)

6、實(shí)數(shù)根a,0。證明：若|a|4+q。解先證|q|4,由韋達(dá)定理知|q|=|a0|=|a|0|4+q。欲證不等式即0W2|a+0|4+a0。故只須證4(a+0)2(4+a0)2即4a+8a0+4020僅供個(gè)人參考即(4-aJ(4-02)0由|a|V2,|0|V2,知a24,024,故最后不等式成立，從而原不等式得證。例5-2-11證明：若a,b,c是三角形的三邊,則3(ab+bc+ca)W(a+b+c)2V4(ab+bc+ca)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí),左邊取等號(hào)。解左邊不等式等價(jià)于3(ab+bc+ca)Wa2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲證此不等式成立,只須證ab+bc+caWa2+

7、b2+c2即證2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)三0左邊配方即為(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20此不等式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,即三角形為正三角形時(shí)取等號(hào)。故左邊不等式獲證。欲證右邊不等式,仿上只須證a2+b2+c20即證a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)0不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考由于a，b，c是三角形的三邊，此不等式顯然成立，故右邊不等式獲證。綜上所述，原不等式得證。例5-2-12設(shè)f(x)=X2+px+q(p,qR)，證明：101-|O|9|f(3)|中至少有一個(gè)不小于若|p|+|q|VI,則f(x)=0的兩個(gè)根的絕對(duì)值都小

8、于1。解用反證法假設(shè)|f|,|fI都水于則有|f(l)|+2|f(2)|+|f(3)|+2X|+j=2但是,|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|三f(1)-2f(2)+f(3)=(1+p+q)-2X(4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii)與(ii)矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題成立。假設(shè)f(x)=0的兩根x,x的絕對(duì)值不都小于1,不妨設(shè)|x|1,那么由韋達(dá)定理，有|p|=|-(x+x)|=|x+x丨三|x|-|x|1-|x|1212122|q|=|xx|=|x|x|三|x|12122兩式分邊相加,得|p|+|q|三1這與題設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,即原命題得證。僅供個(gè)人參考不得用于商業(yè)用途注反證法的邏輯程序是：否定結(jié)論f推出矛盾f肯定結(jié)論。反證法常用于直接證明難于入手的命題，或結(jié)論中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之類的存在性命題。僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfurdenpersdnlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementadesfinspe