三角函數(shù)專題 (一)

1、- - - -年級:輔導(dǎo)科目：數(shù)學課時數(shù):二、命題分析從近幾年高考來看，對于本單元的考査，一般是以13個客觀題和1個解答題形式出現(xiàn)，以中、低檔題為主.考査的內(nèi)容主要有：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)的基本公式、三角函數(shù)的恒等變形及解三角形等基本知識.解答題常與平面向量、不等式、函數(shù)的最值等進行簡單的綜合，但難度不大.預(yù)計在今后的高考中，與三角函數(shù)有關(guān)的問題將繼續(xù)作為高考的重點進行考査.其中，角的概念多結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識進行考査.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)主要考査三角函數(shù)的概念、周期性、單調(diào)性、有界性及圖像的平移和伸縮等，多以小而活的選擇題和填空題形式出現(xiàn).形如y=Asin（3x+d）的函數(shù)將依然

2、作為必考內(nèi)容出現(xiàn)在高考題中，并與三角恒等變形、平面向量、解三角形等知識結(jié)合，形成小型綜合題.解三角形問題將會以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，主要考査正、余弦定理及利用三角函數(shù)公式進行恒等變形的技能及運算能力，以化簡、求值或判斷三角形形狀為主.三、復(fù)習建議復(fù)習中要注意幾個知識點的綜合應(yīng)用，這就要求我們要從整體上掌握本單元的知識結(jié)構(gòu)，注重知識點之間的聯(lián)系和綜合運用并加大練習力度，解決公式的綜合運用問題，提高計算能力.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和y=Asin（3x+e）的圖像和性質(zhì)，這是歷年高考的重點.3在訓(xùn)練中，強化“變換”意識，但訓(xùn)練難度不宜過大，立足課本，掌握常見問題的解法，熟記課本中出現(xiàn)的公式和常用到

3、的重要的結(jié)論，并注意其變形應(yīng)用.從“整體處理”的思想高度去認識理解運用“五點法”尤其是對y=Asin（3x+）的圖像和性質(zhì)的理解、應(yīng)用.在復(fù)習過程中，要著重加強三角函數(shù)應(yīng)用意識的訓(xùn)練.四、知識講解第一節(jié)任意角、弧度制及三角函數(shù)定義（一）高考目標考綱解讀了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.考向預(yù)測三角函數(shù)的定義及應(yīng)用是本節(jié)考査重點，注意三角函數(shù)值符號的確定.主要以選擇題、填空題的形式考查.（二）課前自主預(yù)習知識梳理1角的有關(guān)概念（1）角：角可以看成由繞著端點從一個位一到另一個位置所成的旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角a的.，旋轉(zhuǎn)終止時的

4、射線叫做角a的，射線的端點叫做角a的.角的分類：角分（按角的旋轉(zhuǎn)方向）.（3）在直角坐標系內(nèi)討論角象限角：角的頂點在原點，始邊在上，角的終邊在第幾象限，就說這個角是.象限界角：若角的終邊在，就說這個角不屬于任何象限，它叫與角a終邊相同的角的集合：B|B=k360+a,keZ.（4）弧度制1弧度的角：叫做1弧度的角.規(guī)定：正角的弧度數(shù)為，負角的弧度數(shù)為，零角的弧度數(shù)為，lai#,1是以角a作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑.以“弧度”作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.比值與所取的r的大小，僅與有關(guān).弧度與角度的換算：360=2n弧度；180=弧度.弧長公式：，扇形面積公式：S扇形=21r=1|

5、a|r2.2.任意角的三角函數(shù)定義設(shè)a是一個任意角，角a的終邊上任意一點P（x，y）,它與原點的距離為r（r0），那么角a的正弦、余弦、正yXV切分別是：sina=r，cosa=r，tana=x，它們都是以角為，以比值為的函數(shù).設(shè)角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓相交于點P,過P作PM垂直于x軸于M,貝0點M是點P在x軸上的正射影.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標為，即，其中cosa=_,sina=_,單位圓與x軸的正半軸交于點A,單位圓在A點的切線與a的終邊或其反向延長線相交于點T（T），則tana=.我們把有向線段OM、MP、AT（或AT）叫做a的.（三）基礎(chǔ)自測與61

6、0角終邊相同的角可表示為（）A.k360+230,kGZB.k360+250,kZC.k360+70,kezD.k360+270,kZ答案B解析由于610=360+250，所以610與250角的終邊相同.已知角a的終邊經(jīng)過點（-J31），貝0角a的最小正值是（）A.2n11n5nC-Tn3nD，T答案解析Vsina=飛11一2,且a的終邊在第四象限,11,=訂3若-n0-卷則點(tan9,sin0)在()A.第一象限答案B解析易知9在第二象限，則tan00.4若a的終邊過點P（2sin30,2cos30）,則sina的值為（）A1133A-2氏一2C.2D3答案CB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第

7、四象限解析P(2sin30,2cos30)即P(1,3),r=2,故sina=乎，故選C.35已知角a的終邊在直線y=3x上，貝卩10sina+=cosa答案0解析設(shè)a終邊上任一點P(k,3k),則r=.X2+y2=-Jk?+3k2=；i0|k|.當k0時，r=J10k,3k3k1.*.sina=,cosa=10k1010kJ1010sina+7=3V10+3V10=0.cosavv當k0時，r=sina=,10cosa=10sina+3cosa=0.nn若402，則sine、cos。、tan0的大小關(guān)系為.答案cos0sin00)，且sin0=m，求tan0,cos0的值.解析m0,貝0P(

8、込，m)在第二象限，x=也，y=m,r=j3+m2./.sin0m；3+m2又sin04m=m.mm83+m28可知m=.；5,tan0=W=L53，典型例題命題方向：判斷角所在象限例1(1)若sin0cos00，試確定0所在象限.a(2)已知a為第二象限角，則3為第幾象限角？a分析(1)先確定sin0與cos0的符號，再判斷0所在象限；(2)用不等式表示出a的范圍，討論可得所在象限.sin00，.cos00，解析(1)由sin0cos00，得a,cos00，由知0在第一象限，由知0在第三象限,0在第一或第三象限.a為第二象限角,n.*.2kn+2an+2kn,kZ.TOC o 1-5 h z

9、,nan,/.kn22+kn，kez.nank為偶數(shù)時k=2n(neZ),2nn+w22kn+為第一象限角；5na3nk為奇數(shù)時k=2n+1(nez),2nn+22nn+-為第三象限角.a萬為第一或第三象限角.點評問題(1)主要是利用三角函數(shù)值在各象限的符號來判斷，注意0是滿足兩個條件的公共解.aa問題(2)主要是利用不等式表示出石的范圍，對k進行討論，然后利用終邊相同角的特點，即可確定R所在象限.跟蹤練習1:0sing設(shè)0為第三象限角，試判一的符號cosg解析T*為第三象限角，2kn+ne2kn+(kEZ),TOC o 1-5 h zn03nkn+_22kn+z(kGZ).當k=2n(nwz

10、)時,n0302nn+222n兀+卩(nez)，此時芬在第二象限，n03n(2n+1)n+gC2(2n+1)n+(nZ)，3n07n0即2nn+-g0，0.綜上可知：0)，當a為多少弧度時，該扇形有最大面積？分析(1)直接套用公式l=aR可求弧長，利用S弓一S扇一S可求弓形面積.(2)將S扇表示為a的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問題.解析(1)設(shè)弧長為1，弓形面積為S弓,弓n“10n/a=60=3，R=10，l=39s=sS弓扇2-nxi0|xi02sin60=50(nn(2)解法1：扇形周長C=2R+l=2R+aR.R=CC22+aS扇=2aR2=2a(2+a)2_2C2Xa一a2+4a+42C

11、2C2a+a+R4.當a=aa即a=2(a=2舍去)時,扇形面積有最大值豈Cl解法2:由已知2R+l=C,R=(lC),C2as=2ri=2羅.嗚一12)=4(】一2)+16,16C當l=2時，S2maxCC2ml216,此時a=R=廠C=2,Cf2C2當扇形圓心角為2弧度時，扇形面積有最大值16點評此類問題是將三角函數(shù)問題與不等式問題進行綜合考査的，扇形的面積與弧長的計算在幾何中應(yīng)用較多,都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，在應(yīng)用時應(yīng)注意，不要把角度制與弧度制混用，造成度量單位不一致.跟蹤練習2一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面

12、積是多少？(2)一扇形的周長是20cm,當扇形的圓心角a等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？解析(1)設(shè)扇形的圓心角是Brad，因為扇形的弧長是rB,所以扇形的周長是(2r+r)9.依題意，得(2r+r)9=nr，180.9=n2=(n2)X()1.142X57.3065.446526,扇形的面積為S=jr29=j(n2)r2.(2)設(shè)扇形的半徑為r,弧長為1，則l+2r=20.即1=202r(0r0,r=5a,a角在第二象限，sina=嬴=5，cosa=X_4ar=5a45,tana=y=_3a_x=4a34；若a0,cos0,TOC o 1-5 h znn點(siny,cos3)落在第一象

13、限,ncosCn又Ttana=k,a=,故選D.n36sin3命題方向：單位圓的應(yīng)用，求證：sinaatana.已知：aw(o,專分析構(gòu)造單位圓，利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角形和扇形的面積來證明.證明設(shè)角a與單位圓交于P,則MP=sina,AT=tana，如圖所示，PB的長l=a.連接AP.P0A的面積=0AMP=2sina.扇形OAP的面積=|lOA=1a.OAT的面積=*0AAT=jtana.sPOAS扇形oapXat即1sinasinaacosx成立的x的取值范圍是.答案Gn，54n)(n5n解析由三角函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)線知，在(0,2n)內(nèi)，使sinxcosx成立的x的取值范圍為匕

14、，匸思想方法點撥：弧度制與角度制不能混用，如a=2kn+30(kEZ),B=k360+寺仮印都是不正確的.在學習中要正確區(qū)分象限角和象限界角(角的終邊落在坐標軸上的角)及它們的表示方法，特別是第一象限的角a|k360ak360+90,kEZ與銳角a|0a90.終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同.在高考中，主要考査象限角、終邊相同的角，一般以選擇題和填空題為主，結(jié)合坐標系分類討論是解題的關(guān)鍵點.在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下計算更方便、簡捷.要確定角a所在的象限，只要把a表示為a=2kn+a0(kEZ,0Wa02n),由a0所在象限即可判定出a所在的象限，由已知角的范圍求

15、復(fù)合角的范圍時，通常要用不等式的性質(zhì)來解決，切忌擴大角的范圍.扇形的弧長公式l=|a|r和面積公式S=|lr，是解決有關(guān)圓問題的有效工具.已知角的終邊上一點坐標可利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)的值，但注意可能情況的討論.三角函數(shù)值的符號在求角的三角函數(shù)值及三角恒等變形問題中，顯然十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可簡記為:正弦，上正下負，余弦，右正左負.課后強化作業(yè)一、選擇題n若一2a0，則點Q(cosa，sina)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Dn解析由于一3a0,sina0解析因為點P(sin0cos0，2cos0)位于第三象限，所以sin0cos00,2cos00

16、，即，0為.cos00第二象限角.sina11cos2a3若角a的終邊落在直線丫=x上，則專聖=+亠晉一的值等于()1sin2acosaA.0B.2C.2D.2tana答案A解析角a的終邊在直線y=x上,3n.a=kn+z(kEZ),sina與cosa符號相反，sina1cos2asina+Jlsin2acosacosa|sin=0.cosa4已知扇形的周長為6cm,面積是2cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A.1B.4C.1或4D.2或4答案C解析設(shè)扇形圓心角為arad,半徑為r,弧長為l.l+2r=6.12r=2,r=l,l=4r=2,l=2.a=r=4或a=l.選C.已知銳角a終邊上一

17、點P的坐標是（2sin2,2cos2），貝a等于（）A.2B.2nc.2空nD32答案解析點p位于第一象限，且tana=cot2=-tanly-2)=tan|2,n.a=2nn.，則下列結(jié)論中正確的是（）若A、B、C為AABC的三個內(nèi)角，且ABC（C=nA.sinAsinCB.cosAcosCC.tanAtanCD.cotAcotC答案A解析解法1：若C為銳角，由已知ABC及單調(diào)性可排除B、D；若C為鈍角，則tanAtanC不成立，選A.解法2：由三角形中大邊對大角及正弦定理可知：ACoacosinAsinC，選A.若cos29+cos0=0,則sin20+sinB的值等于（）A.0B.土V3

18、C.0或邊D.0或土V3答案D解析由cos29+cos9=0得2cos201+cos9=0,所以cos9=1或2.當cos=1時，有sin9=0；當cos9=2時，有sin9=土乎.于是sin29+sin9=sin9（2cos9+1）=0或土3.若1弧度的圓心角所對的弦長等于2,貝g這圓心角所對的弧長等于（）A.sin|nBPD.2sin|答案C解析設(shè)圓的半徑為r.由題意知rsin|=1,r=，:弧長l=ar=psin2sin2二、填空題象限角.若a=k180+45,keZ，則a為第.答案一或三解析當k=2n時，a=n360+45.當k=(2n+l)時，a=n360+225,a為第一或第三象限

19、角.函數(shù)y=psinx+叮一cosx的定義域是n一一答案g+2kn,n+2kn(keZ)sinxMO，sinxMO,解析由題意知彳j酬一cosxMO，cosxWO，nx范圍為g+2knWxWn+2kn(keZ)若角a的終邊與直線y=3x重合且sina0,又P(m,n)是a終邊上一點，且|OP|=Q16,則mn等于答案2解析依題意：n=3m,m2+n2=10.得:m=1,n=3或m=1,n=一3,又sina0,.a的終邊落在第三象限，.n0,m=1,n=3,mn=2.三、解答題12已知扇形的面積為S,當扇形的中心角為多少弧度時，扇形的周長最??？并求出此最小值.解析設(shè)l為扇形的弧長，由S=jlr得

20、1=學，故扇形的周長C=2r+學.即2Cr+2S=0.由于r存在，故方程有解，因此有A=C216SM0,即cmWS. - -周長C的最小值為4S.此時，r=C=jS，中心角a=2f=2rad所以當扇形的中心角為2rad時，扇形的周長最小，最小值為4応13.已知角a終邊經(jīng)過點P(x,cosa*.*.sinacos2a=亨,1+t九心+門+汁1,113-=1+3+3=-.（四）典型例題1.命題方向：同角三角函數(shù)的關(guān)系例15a是第四象限角，tana=12,則等于（）1B.5D.-13解析解法1:sin2a+cos2a=1sina5cosa125解得sina=肓又a為第四象限角,5sina0,.sin

21、a=13.故選D.解法2:設(shè)tana1=,a】為銳角,5如圖在RtAABC中，由tana1=,設(shè)AC=5,BC=12，則AB=13,沖1=備Ta為第四象限角，sina0，從而sina解法3：Ta是第四象限角,sina0,排除A、C,又tana=吧cosa5希，由勾股數(shù)組5,12,13知排除B,選D.答案D點評記住常用的勾股數(shù)組非常方便常用的有：3,4,55,12,13kWN+.7,24,25以及它們的倍數(shù)，如3k,4k,5k跟蹤練習1：（2010全國卷I理）記cos（80）=k,那么tanl001k2AkB.寸1_k2，kD.1k2J1k2k答案B解析sin80=冷1cos280=；1cos2

22、80=、J1k2,sin80所以tan100=tan80=爲cos80命題方向:sina土cosa與sinacosa的關(guān)系n1例2已知一Vx0,sinx+cosx=：.25求sinxcosx的值；求xxxx3sin222sin2cos+cos22tanx+1tanx的值.分析可與sin2x+cos2x=1聯(lián)立求出sinx和cosx,再代入求值，中注意化簡的方向性和目的性:切化弦、擴角降冪，目的是化簡為關(guān)于sinx和cosx的代數(shù)式.解析解法1：聯(lián)立方程：.,1sinxrcosx,5sin2x+cos2X=l.由得sinx=5cosx，將其代入整理得25cos2X5cosx12=0.sinxn因

23、為一3x0,所以4、COSX=.535,所以sinxcosx=二5解法2：sinx+cosx=25124.49n25(sinx+cosx)2=l+2sinxcosxn2sinxcosx=2(sinxcosx)2=l2sinxcosx=25,由一2x0知，sinx0.7:.sinxcosxcosA+cosB+cosC.解析ABC是銳角三角形，nnn.a+b_2，即2a_2b0,:、sinAsin9即sinAcosB；同理sinBcosC,sinCcosA,：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.(五)思想方法點撥計算任意角的三角函數(shù)值，主要是運用誘導(dǎo)公式化任意角三角函數(shù)為銳角

24、三角函數(shù)，其一般步驟是：負化正：當已知角為負角時，先利用一a的誘導(dǎo)公式把這個角的三角函數(shù)值化為正角的三角函數(shù)值；正化主：當已知角是大于360的角時，可用k360+a的誘導(dǎo)公式把這個角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間(0,360)上的角的三角函數(shù)值；主化銳：當已知角是90到360間的角時，可利用180土a,360a的誘導(dǎo)公式把這個角的三角函數(shù)值化為0到90。間的角的三角函數(shù)值(對于非特殊角用查表或用計算器求出結(jié)果).已知角a的某一種三角函數(shù)值，求角a的其余三角函數(shù)值時，如果應(yīng)用平方關(guān)系，就要進行分類討論，先確定角的終邊所在的象限，再確定三角函數(shù)值的符號.要注意公式的合理選擇和方法的靈活性.在利用同角三角函

25、數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值時，要注意用“是否是同角”來區(qū)分和選用公式.在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進行三角式的化簡、求值時，應(yīng)注意公式中符號的選取.應(yīng)用公式時把角a看成銳角，如果出現(xiàn)kn土a的形式時，常對k值是奇數(shù)還是偶數(shù)進行分類討論，以確定角所在的象限.在進行三角函數(shù)化簡和三角恒等式的證明時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當?shù)倪x用公式，一般思路是將切化弦，但在某些特殊問題中就不要化切為弦，只須利用倒數(shù)關(guān)系即可，否則解法較繁，如“求證tan曽孟tanacotB”，利用倒數(shù)關(guān)系可得簡證.(六)課后強化作業(yè)一、選擇題1.sin600+tan240。的值是()a.2b.c.2+；3d2+V3答案B解析sin600+ta

26、n240=sin240+tan240=sin(180+60)+tan(180+60)=-sin60+tan60=-+J3=2.sina-3n+cosna2設(shè)tan(5n+a)=m，則-7+0的值為()sinacosn+am1m1B.m+1C.1D.1- - #-答案Asina3n+cosna=sin4n+n+acosausinacosaujgsinacosn+asina+cosasina+cosatana1又tan(5n+a)=m,m+itana=m，原式y(tǒng).3.若sin2=4且0GB-4nn4，2C亞C.2，則cos0sin0的值是（）d.-4答案C3解析(cos0sin0)2=lsin20

27、=才T_40_2，cos0sin0,cos0sin74.已知x是三角形的內(nèi)角，sinx+cosx=i3,則tanx的值是（）12A亍12B丁答案A7n解析因為0 xn，且sinx+cosx=j3，所以2x0,cosx|cosx|,tanx1，故選A.Icosn+0=()Isinn05.已知tan0=2,貝卩sinlsinf+0n0A.2B.2C.02D-3答案解析sin(2+0)-售Jsinsincosn+cos0+cos0cos0sin01tan01芻=2nn已知tan2a=2；2，且滿足4a-，貝片a2cos2sina1的值為()i2sinA.J2B.2C.3+；2D.32-2答案C- -

28、 1tanasina+cosatana+1*2tana又t昨=-叭2=1亦2：2tan2a-2tana-2：2=0.解得tana=-又na1,而tanatana.J3,sina+cosa與tana不可能相等，故排除D.n方法二：由sina+cosa=tana,0a,tana=l+2sinacosa=l+sin2a,nV0a-2,.02an,0sin2aWl,ltanaW2,nV0a0,1tanaWJ2,而2；3，4a寺.二、填空題9.（2010全國卷II）已知a是第二象限角且tana=，貝0cosa=,答案-響解析本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系.Ttanaanis1-2:、cosa2-J55.又s

29、in2a+cos2a=l又a為第二象限角cosa0,10.若a=sin(sin2012),b=sin(cos2012),c=cos(sin2012),d=cos(cos2012)，則a、b、c、d從小到大的順序是答案badc解析2012=5X360+180+32,：a=sin(sin32)=sin(sin32)0,b=sin(cos32)=sin(cos32)0,d=cos(cos32)=cos(cos32)0,n.又0sin32cos3212，：badc.點評本題“麻雀雖小，五臟俱全”考査了終邊相同的角、誘導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)的單調(diào)性等，應(yīng)加強這種難度不大，對基礎(chǔ)知識要求掌握熟練的小綜合訓(xùn)練.

30、11.設(shè)f(x)=asin(nx+a)+bcos(nx+B),其中a,b，a，BR,且abH0,a=kn(keZ).若f(2011)=5,則f(2012)=.答案5解析Vf(2011)=asin(2011n+a)+bcos(2011n+B)=asinabcosB=5,.：asina+bcosB=5.：f(2012)=asina+bcosB=5.anI,求下列各式的值:三、解答題12.已知sin(na)cos(n+a)=(1)sinacosa；sin3na、2n+cos3l+a2分析化簡已知條件sina+cosa=3，再平方求sinacosa則可求(sinacosa)2,最后得sina(2)化簡cos3asima,再因式分解并利用求解.解析由sin(na)cos(n+a)=得sina+cosa=丁,2兩邊平方，得1+2sina-cosa=9,7故2s