新高考數(shù)學(xué)二輪專題《圓錐曲線》第4講 三角形面積問題（解析版）

1、第4講 三角形面積問題一、解答題 1已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且,為橢圓上異于，的點(diǎn)，和的斜率之積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓中心，是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值【答案】（1） （2）【解析】試題分析：第（1）問首先由得到橢圓左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由和的斜率之積為求出幾何量的值即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；第（2）問先列出的面積，需要求直線被橢圓截得的弦長，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，再討論的面積最值試題解析：（1）由，得，所以，設(shè)，則， 解得于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，由，得，從而，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值當(dāng)直線線與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，由消去，得，化簡得

2、設(shè)，則，原點(diǎn)到直線的距離，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值綜合知，的面積取得最大值考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，三角形面積2已知橢圓（）的離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，試求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）；（2）2【分析】（1）由題得：過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線方程為，又由該直線與圓相切得到：，聯(lián)立，解方程組即得；（2）由題得直線的斜率一定存在，可設(shè)直線，代入橢圓方程，消元化簡得：，由弦長公式求得，再求出點(diǎn)到直線的距離，算出，最后求出四邊形的面積的最大值.【詳解】（1）過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂

3、點(diǎn)的直線方程為，即，又該直線與圓相切，又離心率，橢圓的方程為.（2）由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，四邊形不存在，不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線，設(shè)，將代入，得，當(dāng)，即時(shí)，從而，又點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且滿足，四邊形的面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，求橢圓的面積的最值等問題，運(yùn)用了弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于難題；同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.3已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為

4、，當(dāng)時(shí)，MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由【答案】（1）（2）為定值，詳見解析【分析】(1)根據(jù)菱形的面積和焦點(diǎn)建立方程組，解方程組可得；(2)先求弦長和三角形的高，再求面積的表達(dá)式，求出定值.【詳解】解：（1）由題意可知， 圓的圓心為，所以， 因此，聯(lián)立，解之，故橢圓的方程為. （2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由，消可得， 則有，即，所以. 點(diǎn)到直線的距離，所以. 又因?yàn)?，所以，化簡可得，滿足， 代入， 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由于，考慮到關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,此時(shí)，綜上，的面積為定值. 法二：設(shè)，由題意，可得， 所以， 而 因?yàn)?，所以?/p>

5、故為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解和定值問題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4已知橢圓C：（ab0）過點(diǎn)，且它的焦距是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程.（2）若A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB的斜率分別為k1，k2，問是否存在非零常數(shù)，使k1k2時(shí)，的面積S為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由橢圓過的點(diǎn)及焦距是短軸長的倍和之間的關(guān)系即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)的直線方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長，及O到直線的距離，由直線OA，OB的斜率之積的值, 得參數(shù)之間的關(guān)系

6、，求出面積的表達(dá)式，由的面積S為定值，可得對(duì)應(yīng)比成比例，即可求出的值.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)所以又因?yàn)樵摍E圓的焦距是短軸長的倍，所以 從而 聯(lián)立方程組 解得 所以 （2）設(shè)存在這樣的常數(shù)使 的面積為定值.因?yàn)锳，B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱，故斜率存在，設(shè)直線的方程為點(diǎn)點(diǎn) 則由知即即所以 聯(lián)立方程組 消去得由韋達(dá)定理有代入得 化簡得 點(diǎn)到直線的距離的面積將代入上式，再平方得要使上式為定值, 只需即需 從而 此時(shí) 所以存在這樣的常數(shù) 此時(shí)為定值.【點(diǎn)睛】本題的結(jié)論是：若A，B是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB的斜率分別為k1，k2，若，則的面積S為定值.5已知分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢

7、圓上，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得、，由橢圓性質(zhì)可得，進(jìn)而可求出，即可得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，化簡后由根與系數(shù)的關(guān)系與三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由焦點(diǎn)為可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立 得則 ，所以=，因?yàn)?，所?，解得， 聯(lián)立，可得，設(shè)，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，考查了直線與

8、橢圓的綜合問題以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題6已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（ab0）的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的上頂點(diǎn)的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（）求橢圓C的方程；（）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)ABF2面積最大時(shí)，求直線l的方程.【答案】（）y2=1；（）xy0或x+y0.【分析】（）根據(jù)直線橢圓的過上頂點(diǎn)，得b=1，再利用點(diǎn)差法以及弦中點(diǎn)坐標(biāo)解得a2=3，即得橢圓方程；（）先設(shè)直線l方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，并以|F1F2|為底邊長求ABF2面積函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)基本不等式求ABF2面積最大值，進(jìn)而確定直線l的方程.【詳解】（）直線x+y=1與y軸的交于（0，1）點(diǎn)

9、，b=1，設(shè)直線x+y=1與橢圓C交于點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，y1+y2，1，1，兩式相減可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）=0， 1，解得a2=3，橢圓C的方程為y2=1.（）由（）可得F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），可設(shè)直線l的方程x=my，將直線l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y22my1=0，則y3+y4，y3y4，|y3y4|，|F1F2|y3y4|y3y4|，當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1，ABF2面積最大，即直線l的方程為xy0或x+y0.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)差法、基本不等式求最值以

10、及利用韋達(dá)定理研究直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.7已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足軸，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，可得，從而可用 表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當(dāng)半徑取最大時(shí)， 的值，從而可求出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)檩S，所以，則，由，解得，由橢圓的定義知， ，即，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需

11、且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.因?yàn)?，設(shè)，易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，故，； 所以，又，故，即，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)內(nèi)切圓半徑取最大值為，直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓內(nèi)三角形周長的求解，考查了三角形的面積公式，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是用內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積.本題的難點(diǎn)是計(jì)算化簡.8已知橢圓的右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不在x軸上），若，延長AO交橢圓與點(diǎn)G，求四邊形AGBE的面積S的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根

12、據(jù)橢圓方程中基本量的關(guān)系與右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離，即可求出橢圓基本量，即得橢圓方程；（2）首先聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出四邊形的面積，根據(jù)面積表達(dá)式的函數(shù)單調(diào)性求出面積的最值即可.【詳解】（1）由題知，解得，所以橢圓；（2）因?yàn)檫^點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不在x軸上），設(shè)，聯(lián)立，設(shè)，有，因?yàn)?，所以四邊形AOBE是平行四邊形，所以，有，令，有，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)面積取最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程基本量的求解，橢圓中三角形的面積計(jì)算，屬于一般題.9已知P是圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)

13、Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.【答案】（1）.（2）面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，利用橢圓定義法可求得曲線C的方程；（2）設(shè)直線l的方程為x=ty與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x，利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形的面積，利用換元法以及基本不等式求解最值，然后推出直線方程.【詳解】（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，所以點(diǎn)Q的軌跡為以為，焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，則2a=4且

14、2c=2，所以a=2，c=1，則b2=3，所以曲線C的方程為；（2）設(shè)直線l的方程為x=ty與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x，得(3t2+4)y26ty3=0，則y1+y2，y1y2，則SAOB|OM|y1y2|，令，則u1，上式可化為，當(dāng)且僅當(dāng)u，即t=時(shí)等號(hào)成立，因此AOB面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為x=.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.（）求橢圓的方程； （）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，

15、判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（）（）見解析【分析】（）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點(diǎn) ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；（）分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，四邊形的面積為 ； 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫出面積的表達(dá)式整理即可得到定值【詳解】()由解得 得橢圓的方程為. （）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)四邊形的面積為 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程 ， 點(diǎn)到直線的距離是 由得因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以有整理得由題意四邊形為平行四邊

16、形，所以四邊形的面積為由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、面積計(jì)算公式、向量數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題11已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿足，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可

17、知點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡即可求范圍.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，且是線段的中垂線，又，點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為（），則，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l：（），由消去y，可得.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，.又由可得；同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和，可得.將代入得，當(dāng)時(shí)，綜上，面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可，屬于一般性題目.12已知橢圓C：1

18、（ab0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，以PF1為直徑的圓E：x2過點(diǎn)F2（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P且斜率大于0的直線l1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與直線x4的交點(diǎn)為B，過點(diǎn)（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x4交于點(diǎn)D，求ABD面積的最小值【答案】（1）；（2）22【分析】（1）根據(jù)題意求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l1的方程，代入涂鴉方程，利用韋達(dá)定理求得A的橫坐標(biāo)，求得直線l2方程，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式及基本不等式即可求得ABD面積的最小值【詳解】（1）在圓E的方程中，令y0，得到：x24，所以F1（

19、2，0），F(xiàn)2（2，0），又因?yàn)?，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，b2，因此橢圓的方程為；（2）設(shè)直線l1：yk（x2）（k0），所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)A（xA，yA），D（xD，yD），將直線l1代入橢圓方程得：（1+2k2）x2+（4k8k2）x+8k28k40，所以xPxA，所以xA，直線l2的方程為y（x3），所以點(diǎn)D坐標(biāo)為，所以SABD（4xA）|yByD|2k222，當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時(shí)取等號(hào)，綜上，ABD面積的最小值22【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為（1

20、）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)若的面積為，求直線l的方程【答案】（1），；（2）【詳解】分析：（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點(diǎn)坐標(biāo).第二問先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長，再結(jié)合中方程組，利用求根公式以及兩點(diǎn)間距離公式，列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程.詳解：解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為（2）設(shè)直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即由，消去y，得（*）因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而設(shè)，由（*）得，所以因?yàn)?，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為綜上，直線l的方程為點(diǎn)睛：直線與橢圓的交