2022年“點(diǎn)差法”在解析幾何題中的應(yīng)用

1、“ 點(diǎn)差法” 在解析幾何題中的應(yīng)用在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí),我們常常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 x y 1、x 2 , y 2,代入圓錐曲線得兩方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系,然后加以求解,這即為“ 點(diǎn)差法”,此法有著不行忽視的作用,其特點(diǎn)是巧代斜率 .本文列舉數(shù)例,以供參考 . 1 求弦中點(diǎn)的軌跡方程2例 1 已知橢圓 xy 21,求斜率為 2 的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程 . 22例 2 直線 l : ax y a 5 0（ a 是參數(shù)）與拋物線 f : y x 1 的相交弦是AB ,就弦 AB 的中點(diǎn)軌跡方程是 . 2 求曲線方程例 3已知

2、ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線2y232 x 上,其中A2,8,且ABC 的重心 G 是拋物線的焦點(diǎn),求直線BC 的方程 . 例 4已知橢圓x2y21ab0a22c ,有一條傾斜角為4的直線交橢圓于abA、B兩點(diǎn),如 AB 的中點(diǎn)為C1 1 ,2 4,求橢圓方程 . l:ym x3對(duì)稱,求實(shí)數(shù)3確定參數(shù)的范疇x 上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線例 6如拋物線C:2 ym 的取值范疇 . . 1 4證明定值問題x2y21ab0不垂直于 x 軸的任意一條弦,P 是例 7已知 AB 是橢圓a2b2AB 的中點(diǎn), O 為橢圓的中心 .求證：直線 AB 和直線 OP 的斜率之積是定值 . . 5處理存在性問題x2

3、1y21,過B1,1能否作直線 l ,使 l 與雙曲線交于 P ,Q例 8已知雙曲線2兩點(diǎn),且 B 是線段 PQ 的中點(diǎn),這樣的直線假如存在,求出它的方程；假如不存在,說明理由 . 點(diǎn)差法練習(xí)1、已知雙曲線x2y21,過點(diǎn)B1,1能否作出直線 m ,使 m 與所給雙曲線交于Q ,兩點(diǎn)關(guān)于2Q 且點(diǎn) B 為線段Q Q 的中點(diǎn)？如存在,求出它的方程；如不存在,說明理由；A B2、已知直線yax1和雙曲線3x22 y1交于A B 兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a ,使直線yx22x 對(duì)稱？ab0,A B 是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB 的垂直平分線與x 軸相交3、已知橢圓y21a2b2于點(diǎn)P x 0,0,求證：a2a

4、b2x 0a2ab22 4、已知橢圓x2y21,直線l:y4xm ,假如橢圓 C 上總存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l 對(duì)稱,求 m43的取值范疇；二.直線與二次曲線（韋達(dá)定理）例 1、已知圓x2y2x6 m0與直線x2y320相交于P Q 兩點(diǎn), O 為坐標(biāo)原點(diǎn),如a2aOPOQ 求 m 的值；kx1,等軸雙曲線C x2y0的中心在原點(diǎn),右焦例 2、設(shè)直線 l 方程為y點(diǎn)坐標(biāo)為 2,0（ 1）求雙曲線方程；（ 2）設(shè)直線 l 與雙曲線 C 的右支交于不同的兩點(diǎn) 并用 k 表示點(diǎn) M 的坐標(biāo)；A B ,記 AB 中點(diǎn)為 M ,求 k 的取值范疇,（ 3）在其次小問的條件下,如設(shè)點(diǎn)0Q 1,0,求直線 QM 在 y 軸上截距的取值范疇a2例 3、已知橢圓x2y21 ab且短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,且22ab（1）求橢圓方程（2）直線 l 過點(diǎn)P0, 2且與橢圓相交于A B 兩點(diǎn),當(dāng)AOB 面積取得最大值時(shí),求直線 l 方程；例