2022年“用二分法求方程的近似解”教案

1、“ 用二分法求方程的近似解” 教案一、教學(xué)目標(biāo)1讓同學(xué)把握二分法,并能利用運(yùn)算器或運(yùn)算機(jī)用二分法求方程的近似解；2培育和加強(qiáng)函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用二、教學(xué)重點(diǎn)通過用二分法求方程的近似解,使同學(xué)體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,初步形成用函數(shù)的觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)三、教學(xué)難點(diǎn)懂得方程實(shí)根的本質(zhì)及幾何意義；對方程近似解精確度的把握四、教具以幾何畫板課件為主五、教學(xué)過程問題情境（旨在引導(dǎo)同學(xué)感知尋求新方法解方程之必要性為什么）【問題】求方程x33x23x10的實(shí)根【解析】由配方可得3 xx3 10,所以x12 1 1 x0 9x1 40【問題】解方程老師：方程左邊無法配方,所以我們臨時(shí)仍無法解

2、此方程以前數(shù)學(xué)家也有像解一元二次方程那樣去查找一元三次方程的求根公式,但因其推導(dǎo)過程比較復(fù)雜且公式不易記憶,所以中學(xué)課本 圖 1一般都不作介紹當(dāng)然,我們現(xiàn)在可以利用幾何畫板來求解在3 2幾何畫板上繪出函數(shù) x 1 1 x 0 9 x 1 4 0 的圖象,在圖象上選取一個(gè)點(diǎn)并度量其橫坐標(biāo)以及縱坐標(biāo)當(dāng)移動(dòng)該點(diǎn)時(shí),函數(shù)值就會(huì)相應(yīng)地轉(zhuǎn)變當(dāng)函數(shù)值為 0 或接近 0 時(shí),這個(gè)橫坐標(biāo)的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（見圖 1）同學(xué)：這方法簡潔,又易操作,很好！老師：此法雖簡潔,但其精度無法估算能否查找一種比較通用的、特殊是可以利用程序讓運(yùn)算機(jī)自動(dòng)求解的其它方法呢？【問題】孔子（前 551前 47

3、9）,名丘,字仲尼,魯國人中國春秋末期宏大的思想家和訓(xùn)練家,儒家學(xué)派的創(chuàng)始人全世界 300 萬姓孔的人都可能被認(rèn)為是孔子的后代孔子的族人傳承 2550 年至今,已繁殖有 82 代假設(shè)三代同堂的話,那么一個(gè)父母每個(gè)世代平均繁殖的數(shù)量是多少？x79【解析】設(shè)一個(gè)父母每代平均繁殖的數(shù)量為x 個(gè),就x80 x813000000 此 方 程 現(xiàn) 在 我 們 也 無 法解 類 似 地 , 我 們 用 幾 何 畫 板 先 繪 出 函 數(shù)79 80 81y x x x 的圖 圖 2 象 , 然 后 利 用 度 量 功 能 , 估 算 出 當(dāng) 函 數(shù) 值 等 于 或 接 近 3000000 時(shí) 方 程 的 近

4、似 解x 1.18836（見圖 2）由于指數(shù)太大,曲線幾乎是垂直上升,所以操作起來很不方便為了使移動(dòng)點(diǎn)更便利些,也可把點(diǎn)選在 值x 軸上,而不是在曲線上,然后再運(yùn)算其函數(shù)一般地,高于4 次的一元高次方程就不再有求根公式可尋了,（有愛好的同學(xué)可以自己去閱讀有關(guān)高次方程解的書籍或上網(wǎng)查找相關(guān)的網(wǎng)頁）這就更加使得查找一種新的求解方程方法的必要 （利用二分法解此方程,可得 x 1.1883 個(gè)）新課引入（旨在引導(dǎo)同學(xué)怎樣尋求一種恰當(dāng)?shù)姆椒?怎么樣）【問題】人們常說“ 天下烏鴉一般黑” ,假如有人對此有懷疑,想要否定它,他該 如何做？老師：當(dāng)結(jié)論只有成立或不成立兩種情形時(shí),可用反證法譬如,我們找到了一只

5、或 幾只（換句話說就是至少有一只）白烏鴉,那么就可以否定“ 天下烏鴉一般黑” 【問題】當(dāng)電燈不亮的時(shí)候,如要查找緣由,我們是如何做的？老師：我們一般會(huì)檢查電燈或開關(guān)是否壞了,抑或是保險(xiǎn)絲燒了、外部線路壞了,等 等假如是外部線路壞了,而線路又很長（譬如幾千米甚至幾十千米以上）,我們要進(jìn)一步 確定線路到底壞在那里時(shí),一般有體會(huì)的電工總是先依據(jù)停電的范疇來確定斷路的可能區(qū) 間,再采納對分法來逐段排除,從而很快地找到線路到底壞在何處這種方法叫做分類歸 繆法引導(dǎo)：解決問題的途徑一般有兩種,一是從已知條件結(jié)論（演繹推理）,二是從問題（）的結(jié)論已知信息與已知條件沖突后一種方法又常采納歸繆法,它又可細(xì)分為：反

6、證法當(dāng)結(jié)論只有成立或不成立兩種情形時(shí)譬如,我們要說明平面內(nèi)兩條直線的位置 關(guān)系 平行或相交時(shí),即可用反證法譬如,兩直線不相交,它們就必平行；反之,如 果它們不平行,它們就必相交（）挑選法供挑選的結(jié)論不多3 2【例】以下那哪一項(xiàng)三次方程 x 4 x 7 x 10 0 的解？A 2 B 5 C4 D3（）分類歸繆法供挑選的結(jié)論許多譬如,要證明有關(guān)三角形的某個(gè)定理,我們并不 是對每個(gè)三角形進(jìn)行論證的,而是分別從銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形等三種 情形加以證明摸索：分類歸繆法與方程的解有關(guān)系嗎？（類比法難在要找出好像毫無關(guān)聯(lián)的兩類事 物之間的相同之處）引導(dǎo)：從前一節(jié)我們明白了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)

7、的關(guān)系,事實(shí)上,零點(diǎn)就是對應(yīng)方程 的實(shí)根,它是方程的精確解但在實(shí)際問題中,這個(gè)解一般不易求出,在應(yīng)用上,我們更 多地是求滿意肯定精確度的近似解很明顯,要找到零點(diǎn),就像電工師傅一樣,可用分類 歸繆法來查找,即在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),如兩端點(diǎn)處的函數(shù)值同號(hào),那么區(qū)間內(nèi)對應(yīng)方程必 定無實(shí)根；反之,如兩端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào),那么區(qū)間內(nèi)對應(yīng)方程必定有一實(shí)根（為便利 起見,一般取其中點(diǎn)作為近似解）通過逐個(gè)排除,從而逐步縮小區(qū)間的范疇,直到找出滿 足精確度的近似解為了便于運(yùn)算機(jī)運(yùn)算,在求方程的近似解時(shí),可采納二分法（其實(shí),假如我們借助幾何畫板查找零點(diǎn)時(shí)就不肯定要用二分法）新課（怎么做）讓同學(xué)陳述課前預(yù)習(xí)時(shí)所把握的二

8、分法的原理以及解題步驟老師在黑板上作紀(jì)錄,并逐步補(bǔ)充完整留意：（）從幾何上看,求方程的解其實(shí)是找相應(yīng)函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖 象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),而二分法并不是直接查找交點(diǎn),而是查找函數(shù)值變號(hào)的一個(gè)盡可能小的 區(qū)間中的某個(gè)值；（ ） 求 方 程 的 近 似 解 時(shí) , 精 確 解 （ m ） 是 未 知 的 當(dāng) 相 鄰 兩 個(gè) 近 似 解 滿 足|x i1x i| iN*時(shí),由f x i1f x i0,說明精確解介于ix1和ix之間,故有|ix1m| iN*或|ixm|iN*,所以ix1和ix都已滿意精確度,均可作為近似解所以通過比較相鄰兩個(gè)的近似解可以確定精確度；（）假如方程有整數(shù)解,

9、那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同樣地,如果方程有重根,即相應(yīng)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值不變號(hào),曲線與 能求不出x 軸相切時(shí),這個(gè)解也可【例】用二分法求方程x31 1 x20 9x1 40在 0 與 1 之間的實(shí)根的近似值,3）使誤差不超過0.001為便利起見,可借助幾何畫板的運(yùn)算功能進(jìn)行演示（見圖操作過程：依據(jù)精確度要求,通過參數(shù)選項(xiàng)挑選精確度（如萬分之一）；繪制函數(shù)圖象；利用函數(shù)運(yùn)算函數(shù)值,同時(shí)運(yùn)算區(qū)間中點(diǎn)的值； 計(jì) 算 誤 差 , 并 確 定 近 似 解由運(yùn)算可知,此方程的近似解為x0.670或x0.671（事實(shí)上,從函數(shù)值來看,x0.671會(huì)更精確些明顯,要得到一個(gè) 比較精確的值,

10、其運(yùn)算次數(shù)是比 較大的（說明其收斂速度慢,所 以在實(shí)際應(yīng)用中比較少用）練習(xí)：（）求方程lnx2x60的近似解,使誤差不超過0 01（為了削減運(yùn)算量,可先作出函數(shù)ylnx 和y2 x6的圖象,確定其交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致 值圖 3 練習(xí)時(shí),可讓同桌同學(xué)合作,一個(gè)運(yùn)算,另一個(gè)紀(jì)錄）（）借助運(yùn)算器用二分法求方程2x3x7的近似解（精確度0.1）拓展探究（從幾何畫板方面）【例】利用幾何畫板求方程2x3x7的近似解（精確度0.0001）【解析】幾何畫板中用解析式繪制的函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸不能構(gòu)造交點(diǎn),但利用不是用 解析式繪制的圖形,那是可以構(gòu)造交點(diǎn)并度量其坐標(biāo)的既然是求方程的近似解,所以我們可以在零點(diǎn)鄰近構(gòu)造一條

11、線段（弦）,然后構(gòu)造弦與x 軸的交點(diǎn)并度量其橫坐標(biāo)接著,一端固定（此點(diǎn)的挑選與函數(shù)的單調(diào)性以及凹性有關(guān),如此題的A 點(diǎn)）,另一端在曲線上找一點(diǎn)（其橫坐標(biāo)等于交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）,兩端點(diǎn)連成新的弦,再構(gòu)造交點(diǎn),依次進(jìn)行下去,直到求出滿意精確度的近似解為止（見圖 4）明顯,x 1.4332 滿意要求課堂小結(jié)（）二分法是分類歸謬法的一種詳細(xì) 表現(xiàn)形式（表達(dá)方法的通性）；（）引導(dǎo)同學(xué)回憶二分法,明確它是 一種求一元方程近似解的通法（僅適用于單 調(diào)區(qū)間上端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的情形）；（ ） 利用 估值 或根 據(jù)函 數(shù)圖 象（ 簡 圖）確定初始區(qū)間；（）近似解精確度的估算：|x i1x i|iN*；圖 4 （）揭示算法定義,明白算法特點(diǎn)算法定義：算法一般是指求解某個(gè)問題的長度有限的指令序列,每條指令都是確定 的、簡潔的,機(jī)械的,可執(zhí)行的對于任一屬于這個(gè)問題的實(shí)例的有效輸入,應(yīng)在有限步（一步