中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)30《觀察、歸納型問題》知識講解+鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)版）（含答案）

1、PAGE 中考沖刺：觀察、歸納型問題知識講解（基礎(chǔ)）【中考展望】主要通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)，探索事物的內(nèi)在規(guī)律，考查學(xué)生的邏輯推理能力，一般以解答題為主歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重.這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計(jì)它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相吻合，必要時(shí)可以進(jìn)行驗(yàn)證或者證明，以此體現(xiàn)出猜想的實(shí)際意義.【方法點(diǎn)撥】觀察、歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)

2、律.其中蘊(yùn)含著“特殊一般特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識新生事物的一般過程.相對而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類比、比較、測量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到. 考查知識分為兩類：是數(shù)字或字母規(guī)律探索型問題；是幾何圖形中規(guī)律探索型問題1數(shù)式歸納題型特點(diǎn)：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后觀察猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，歸納出用某一字母表示的能揭示其規(guī)律的代數(shù)式或按某些規(guī)律寫出后面某一項(xiàng)的數(shù)或式子解題策略：一般是先寫出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系

3、)或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系)找出各部分的特征，改寫成要求的格式2圖形變化歸納題型特點(diǎn)：觀察給定圖形的擺放特點(diǎn)或變化規(guī)律，歸納出下一個(gè)圖形的擺放特點(diǎn)或變化規(guī)律，或者能用某一字母的代數(shù)式揭示出圖形變化的個(gè)數(shù)、面積、周長等規(guī)律特點(diǎn)解題策略：多方面、多角度進(jìn)行觀察比較得出圖形個(gè)數(shù)、面積、周長等的通項(xiàng)，再分別取n1，2，3代入驗(yàn)證，都符合時(shí)即為正確結(jié)論【典型例題】類型一、數(shù)式歸納1試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：；則_【思路點(diǎn)撥】根據(jù)前幾個(gè)等式的規(guī)律，不難得出【答案與解析】答案：.【總結(jié)升華】此題歸納方法很多，注意每行數(shù)字的變化規(guī)律和符號規(guī)律舉一反三：【變式1】觀察下列各式：(x1)(x

4、1)x21；(x1)(x2x1)x31；(x1)(x3x2x1)x41； (1)根據(jù)規(guī)律填空 (x1)(xnxn1x1)_ _(2)根據(jù)規(guī)律計(jì)算 2100299298+297+22+2 +1 .【答案】(1) xn11；(2) 21011.【高清課堂：觀察、歸納型問題 例1】【變式2】按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為： 按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第5個(gè)數(shù)是 ，第n個(gè)數(shù)是 【答案】類型二、圖形變化歸納2（招遠(yuǎn)市期末）如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2012次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是（）ABCD【思路點(diǎn)撥】從所給四個(gè)圖形中可以得出每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置的規(guī)律即可算

5、出2012次之后的圖形【答案與解析】解：易得每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，20124=503，即第2012次與第4次的圖案相同故選B【總結(jié)升華】找到圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是（） A B C D【答案】A.3（2015海寧市模擬）操作：將一個(gè)邊長為1的等邊三角形（如圖1）的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個(gè)六角星（如圖2），稱為第一次分形接著對每個(gè)等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程，即在每條邊三等分后的中段向

6、外畫等邊三角形，得到一個(gè)新的圖形（如圖3），稱為第二次分形不斷重復(fù)這樣的過程，就能得到雪花曲線問題：（1）從圖形的對稱性觀察，圖4是 圖形（軸對稱或中心對稱圖形）（2）圖2的周長為 ；（3）試猜想第n次分形后所得圖形的周長為 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形變化規(guī)律，圖4仍然關(guān)于原三角形的對稱軸成軸對稱，關(guān)于對稱中心成中心對稱；（2）分形后，三角形的邊長增加，變?yōu)樵瓉淼模俪艘?就是周長；（3）每一次分形后，邊長都變?yōu)樵瓉淼?，第n次分形后邊長就變?yōu)樵瓉淼模ǎ﹏倍，再乘以3就是周長【答案與解析】解：（1）圖4是中心對稱圖形又是軸對稱圖形（2）根據(jù)題意，邊長為4=，周長為3=4；（3）n次分形，邊長變?yōu)?/p>

7、原來的（）n倍，周長為3（）n1=3（）n故答案為：中心對稱圖形又是軸對稱圖形，4，3（）n【總結(jié)升華】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律解決問題 類型三、數(shù)值、數(shù)量結(jié)果歸納4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B是x軸正半軸上的整點(diǎn)，記AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是 ；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m= （用含n的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，再找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系即可求出答案【答案與解析】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)B在（3，0）

8、點(diǎn)或（4，0）點(diǎn)時(shí)，AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)為（1，1）（1，2）（2，1），共三個(gè)點(diǎn)，所以當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是3或4；因?yàn)锳OB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)=（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)-1）（點(diǎn)A的縱坐標(biāo)-1）-32，所以當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m=（4n-1）（4-1）-32=6n-3；故答案為：3或4，6n-3【總結(jié)升華】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法【高清課堂：觀察、歸納型問題 例2】【變式】（2016秋寶應(yīng)縣期中）我們常常用火柴棒搭幾何圖形探究其中的數(shù)學(xué)規(guī)律

9、，如圖是用火柴棒搭幾何圖形的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，請根據(jù)幾何圖形思考并完成下列問題：（1）填表：圖形編號123火柴棒根數(shù)（2）搭第n個(gè)這樣的圖形需要 根火柴棒；（3）如果小紅現(xiàn)有123根火柴棒，用它可搭出 個(gè)圖1大小的梯形【答案】（1）圖1有5根火柴棒，圖2有9根火柴棒，圖3有13根火柴棒；（2）搭第n個(gè)這樣的圖形需要5n（n1）=1+4n根火柴棒，故答案為：1+4n；（3）設(shè)小紅現(xiàn)有123根火柴棒可搭出n個(gè)圖1大小的梯形，則1+4n=123，解得：n=30，即小紅現(xiàn)有123根火柴棒可搭出30個(gè)圖1大小的梯形，故答案為：30類型四、數(shù)形歸納5在一平直河岸同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，A，B到的距離分別是3 k

10、m和2 km，ABa km(a1)現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水 方案設(shè)計(jì)某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：如圖所示是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d1 (km)，且(km)(其中BPl于點(diǎn)P)；如圖所示是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d2，且(km)(其中點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于對稱，AB與交于點(diǎn)P) 觀察計(jì)算 (1)在方案一中，d1_km(用含a的式子表示)； (2)在方案二中，組長小宇為了計(jì)算d2的長，作了如圖所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，d2_km(用含a的式子表示) 探索歸納(1)當(dāng)a4時(shí)，比較大?。篸1_d2(填“”、“”或“”)；當(dāng)a6時(shí)，比

11、較大?。篸1_d2(填“”、“”或“”)；(2)請你參考方框中的方法指導(dǎo)，就a(當(dāng)a1時(shí))的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二?【思路點(diǎn)撥】觀察計(jì)算：（1）由題意可以得知管道長度為d1=PB+BA（km），根據(jù)BP于點(diǎn)P得出PB=2，故可以得出d1的值為a+2（2）由條件根據(jù)勾股定理可以求出KB的值，由軸對稱可以求出K的值，在RtKBA由勾股定理可以求出AB的值就是管道長度探索歸納：（1）把a(bǔ)=4代入d1=a+2和d2=就可以比較其大??；把a(bǔ)=6代入d1=a+2和d2=就可以比較其大??；（2）分類進(jìn)行討論當(dāng)d1d2，d1=d2，d1d2時(shí)就可以分別求出a的范圍

12、，從而確定選擇方案【答案與解析】解：觀察計(jì)算 (1)a+2；(2)探索歸納(1)；(2)當(dāng)4a-200，即a5時(shí)，；當(dāng)4a-200，即a5時(shí)，d1d2；當(dāng)，即a5時(shí)，綜上可知：當(dāng)a5時(shí)，選方案二；當(dāng)a5時(shí)，選方案一或方案二；當(dāng)la5時(shí)，選方案一【總結(jié)升華】本題根據(jù)課本中所熟知的背景，打破原有的條條框框，開展探究性學(xué)習(xí)，最后通過科學(xué)的計(jì)算，推導(dǎo)出新的結(jié)論，即當(dāng)1a5時(shí)選方案一，體現(xiàn)了平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生開展課題學(xué)習(xí)，培養(yǎng)質(zhì)疑精神的可貴中考沖刺：觀察、歸納型問題鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 用邊長為1的正方形覆蓋33的正方形網(wǎng)格，最多覆蓋邊長為1的正方形網(wǎng)格(覆蓋一部分就算覆蓋)的個(gè)數(shù)是

13、( ) A2 B4 C5 D62求12222322 012的值，可令S12222322 012，則2S222232422 013，因此，2SS22 0131.仿照以上推理，計(jì)算出15525352 012的值為()A52 0121 B52 0131 C. D. 3.（2016冷水江市三模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長度的半圓O1、O2、O3，組成一條平滑的曲線，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長度，則第2017秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A（2016，0） B（2017，1） C（2017，1） D（2018，0）二、填空題4（2015盤錦四模）已知，如圖，O

14、BC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，OBC=90，且OB=1，BC=，將OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60再將其各邊擴(kuò)大為原來的2倍，使OB1=OC，得到OB1C1，將OB1C1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60再將其各邊擴(kuò)大為原來的2倍，使OB2=OC1，得到OB2C2，如此繼續(xù)下去，得到OB2015C2015，則點(diǎn)C2015的坐標(biāo)是 5（2016天門）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，A7A8A9，都是等邊三角形，且點(diǎn)A1，A3，A5，A7，A9的坐標(biāo)分別為A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則A100

15、的坐標(biāo)為 6. 如圖，n個(gè)邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，BnBn+1的中點(diǎn)，B1C1M1的面積為S1，B2C2M2的面積為S2，BnCnMn的面積為Sn，則Sn=_.（用含n的式子表示） 三、解答題7觀察下列等式：請解答下列問題：(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5_；(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an_(n為正整數(shù))；(3)求a1a2a3a4a100的值8. 如下表所示，是按一定規(guī)律排列的方程組和它的解的對應(yīng)關(guān)系，若方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、方程組n（1）將方程組1的解填入表中（2）請

16、依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入表中； 9. 如圖所示，是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層將圖倒置后與原圖拼成圖的形狀，這樣我們可以算出圖中所有圓圈的個(gè)數(shù)為如果圖中的圓圈共有12層，(1)我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，則最底層最左邊的這個(gè)圓圈中的數(shù)是_；(2)我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23，-22，-21，求圖中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和10.（余杭區(qū)期中）如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形，然后將其中

17、的一個(gè)小正方形再按同樣的方法剪成四個(gè)小正方形，再將其中的一個(gè)小正方形剪成四個(gè)小正方形，如此循環(huán)進(jìn)行下去 （1）填表次數(shù)12345個(gè)數(shù)47（2）如果剪了n次，共剪出多少個(gè)小正方形？（3）能否經(jīng)過若干次分割后共得到2014片紙片？若能，請直接寫出相應(yīng)的次數(shù)，若不能，請說明理由（4）若將所給的正方形紙片剪成若干個(gè)小正方形（其大小可以不一樣），那么你認(rèn)為可以將它剪成六個(gè)小正方形嗎？八個(gè)小正方形呢？如果可以，請?jiān)谙聢D中畫出剪割線的示意圖；如果不可以，請簡單說明理由【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D；【解析】6個(gè)，把邊長為1的小正方形的對角線與3乘3網(wǎng)格中的中間正方形任意邊重合（其中小正方形的對角線中

18、點(diǎn)與3乘3網(wǎng)格中的中間正方形邊上的中點(diǎn)重合），因?yàn)閷蔷€的長為1，所以這時(shí)有6個(gè)正方形網(wǎng)格被覆蓋. 2.【答案】C；【解析】設(shè)S15525352 012，則5S552535452 013.因此，5SS52 0131，S.3.【答案】B；【解析】以時(shí)間為點(diǎn)P的下標(biāo)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，1），P4（4，0），P5（5，1），P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，1）2017=5044+1，第2017秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2017，1）二、填空題4.【答案】（22016，0）【解析】OBC=90，OB=1，BC=，將OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60再將其各邊擴(kuò)大為原來的2倍，使OB1=OC，OC1=2OC=22=4=22，OC2=2OC1=24=8=23，OC3=2OC2=28=16=24，OCn=2n+1，OC2015=22016，20156=3355，點(diǎn)C2015與點(diǎn)C5在同一射線上，在x軸正半軸，坐標(biāo)為（22016，0）故答案為：（22016，0）5.【答案】45【解析】觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A2（2，）