三角函數(shù)之正交性證明

1、提要259:三角函數(shù)之正交性(Orthogonality)在探討Fourier級數(shù)問題時，常需面對許多牽涉三角函數(shù)中之正弦函數(shù)和餘弦函數(shù)的定積分，解決此類常見問題時，前人發(fā)現(xiàn)，可利用以下三個簡單關係式推求出問題之積分值、這三個簡單積分式的關係稱為三角函數(shù)之正交性(Orthogonality)*說明如下。三角函數(shù)之正交性(Orthogonality)1.sinmxsinnxdx=form工nform=n2.c。沁遇說formhnform=n3.sinmxcosnxdx=0,foranymandn證明：雖然很少有人需面對三角函數(shù)之正交性(Orthogonality)的證明、但是對其由來之清楚瞭解，

2、應有助於將以上所示積分公式背下來，甚至於在忘記積分公式時，還能將所需公式給推導出來。國中時/讀者應有學過三角函數(shù)之和積關係式如下：cos(a+b)=cosacosb-sinasinb(la)cos(a-b)=cosacosb+sinasinb(lb)sin(6Z+b)=sinacosb+sinbcosa(lc)sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa(Id)茲考慮式(M)與式(lb)相加除以2式(lb)減式(la)再除以2、式(lc)與式(Id)相加除以2可分別求得：cosacosb=丄cos(a+b)+cos(a一b)2(2a)sinasinb=丄cos(ab)cos(a+b)2

3、(2b)sinacosb=丄sii】(a+b)+sii】(a-Z?)2(2c)式(2a)-(2c)中之符號a改寫為/we改寫為處，再分別對變數(shù)x進行-龍到龍之線積分、可得：COS.XCOS=1J_刀cos(m-n)r+cos(加+njsillmxsinnxdx=-n-ncos(加+n)xdxsillmxcosnxdx=sin(n?一n)r+sinQm+n)xdx(3a)(3b)(3c)其中遇愉一抵=赳也二心Tsin(n?_sin-(m-?)zr_2sin(m_n為m-nm-nm-ncosm+讓床=鈕如*亦sin(m+n)7rsin-(n?+?X_2sin(m+nrcos(m-?X,cos-(m

4、-n)7r_n1=Vm-nm-n血伽+讓床一cos伽+噪rcos(n?+/?X.cos-(m+z?X_n1=u故式(3a)-(3c)可改寫為：jcosmxcosnxdx=-nsin(m-nX+m-nsin(加+m+n(4a)sinmxsinnxdx=sin(z7?一?Xsin(z7?+n)7r(4b)sinmxcosnxdx=0(4c)sinmxsinnxdx=mn(6b)式(4a)與式(4b)中之正弦函數(shù)的值與加、有關、說明下：cm小小厶小4七sin(m+nW門sin(m-nW!門當mn且加、斤均為自然數(shù)時，=0、=0om+nm一ngm小小厶小4七sin(m+?kl?sin(n?-m-n當m=n且加n均為自然數(shù)時/=0但工0/因為由羅必達定理(LHospitaPsRule)知:lim泌口虬l(fā)im必血佃-呷伽=liy如-訕=龍遇0=”存沱m-nand(n2-n)/dm1故式(4a)與式(4b)可如以改寫、再將式(4c)整理在一起/即可證出三角函數(shù)之正交性：(6a)cosmxco