數(shù)列極限引例和講解

1、數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解一、引例1、割圓術(shù): “割之彌細(xì), 所失彌少, 割之又割, 以至于不可割, 則與圓周合體而無所失矣”.劉徽播放正六邊形的面積A1, 正十二邊形的面積A2, 正62n-1邊形的面積An.數(shù)列極限引例和講解A1, A2, A3, , An, S2、截杖問題：“一尺之棰, 日截其半, 萬世不竭”.第一天截下的杖長為X1=第二天截下的杖長之和為X2=第n天截下的杖長之和為Xn=數(shù)列極限引例和講解二、數(shù)列的定義例如: 2, 4, 8, , 2n, ; 記為2n. 定義: 按正整數(shù)1, 2, 3, 編號依次排列的一列數(shù) x1, x2, , xn, (1)稱為無窮數(shù)列,

2、簡稱數(shù)列. 其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項, xn稱為通項(或一般項). 數(shù)列(1)記為 xn .記為記為記為數(shù)列極限引例和講解 注意1. 數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列, 可看作一動點在數(shù)軸上依次取x1, x2, , xn, 注意2. 數(shù)列是整標(biāo)函數(shù), 即定義在正整數(shù)集合Z+或自然集合N上的函數(shù) xn = f (n).播放三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)n時的變化趨勢播放觀察數(shù)列當(dāng)n時的變化趨勢 問題: 當(dāng)n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值? 如果是, 如何確定?數(shù)列極限引例和講解通過對上面演示實驗的觀察: 當(dāng)n無限增大時, 數(shù)對極限僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的.憑觀察是不能判定數(shù)列的極限

3、.無限接近于1. 問題: “無限接近”意味著什么? 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它? 列數(shù)列極限引例和講解 這就是“當(dāng)n無限增大時, xn無限地接近于1”的實質(zhì)和精確的數(shù)學(xué)描述. 定義: 設(shè)數(shù)列xn, 如果存在常數(shù)a, 對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小), 總存在正數(shù)N, 使得對于nN時的一切xn, 不等式| xn a | 都成立, 那么, 就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為或 xna (n). 如果不存在這樣的常數(shù)a, 就說數(shù)列xn沒有極限, 或者說數(shù)列xn是發(fā)散的, 習(xí)慣上也說 不存在.數(shù)列極限引例和講解 注: 此極限定義習(xí)慣上稱為極限的 N定義. 它用動態(tài)指標(biāo) 和N刻畫

4、極限的實質(zhì), 用| xna |0, 標(biāo)志著“要多小可以有多小”的要求, 用nN表示n充分大. 這個定義有三個要素: 10, 正數(shù) ; 20, 正數(shù)N; 30, 不等式|xna|N以后的所有xn ). 注: 定義中的N是一個特定的項數(shù), 與給定的 有關(guān), 有時記作N(). 重要的是它的存在性, 它是在 相對固定后才能確定, 且由| xna |N時, 不等式| xna |0, N, 使得N項以后的所有項xN+1, xN+2 , xN+3, 都落在點 a 的 鄰域( a, a+ )內(nèi). 因而, 在這個鄰域之外至多有數(shù)列中的有限個點. 這表明: 若 xna (n), 則xn所對應(yīng)的點列, 除了前面有限

5、個點外的所有(無窮多)點都能凝聚在點 a的任意小鄰域內(nèi), 到一定程度時, 數(shù)列xn中的項其變化是很微小, 呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài), 這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂”, 也稱 a 為“聚點”.注意: 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.數(shù)列極限引例和講解例1: 已知證明: 由于因此,則當(dāng) n N 時,就有| xn0 | 得證 利用定義驗證數(shù)列極限, 遇到的不等式| xna |0, N, 使得nN時, 恒有| xn-a |N時, 恒有| xna | 1, 注意: 有界性是數(shù)列收斂的必要條件. 推論:無界數(shù)列必定發(fā)散.| xn |=| xn- a + a | | xn- a |+| a | 0,

6、則N, 使得nN時, xn( a, a+ ), 即在 a 的任一 鄰域內(nèi)聚集著xn中的無窮多個點, 而在該鄰域之外至多有 xn中的有限個點.證:用反證法.不妨設(shè)a N1時, 恒有又 N2, 使得nN2時, 恒有取兩者矛盾. 取N=maxN1, N2, 則當(dāng) nN 時,與兩式同時成立,這說明結(jié)論成立.數(shù)列極限引例和講解六、小結(jié) 數(shù)列及其極限:研究其變化規(guī)律, 極限思想, 精確定義和幾何意義; 收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性, 唯一性數(shù)列極限引例和講解作業(yè)：P28-1,3(1),(2),4數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引例和講解數(shù)列極限引