2022年高考理科《數(shù)學》人教A版總復習練習題-單元質(zhì)檢八　立體幾何(B)

1、單元質(zhì)檢八立體幾何(B)(時間:45分鐘滿分:100分)單元質(zhì)檢卷第16頁一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:由三視圖得到空間幾何體,如圖所示,則PA平面ABCD,平面ABCD為直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PAAD,PAAB,PABC.又BCAB,ABPA=A,所以BC平面PAB,所以BCPB.在PCD中,PD=22,PC=3,CD=5,所以PCD為銳角三角形.所以側(cè)面中的直角三角形為PAB,PAD,PBC,共3個.2.設(shè)l,m,n表示不同的直線,表示不

2、同的平面,給出下列四個命題:若ml,且m,則l;若,m,n,則mn;若,則;若mn,m,n,則.則假命題的個數(shù)為()A.4B.3C.2D.1答案:B解析:若ml,且m,則l是正確的,垂直于同一個平面的直線互相平行;若,m,n,則mn是錯誤的,當m和n平行時,也會滿足前面的條件;若,則是錯誤的,垂直于同一個平面的兩個平面可以是相交的;若mn,m,n,則是錯誤的,平面和可以是任意的夾角.故選B.3.(2020山東,4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是

3、指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40,則晷針與點A處的水平面所成的角為()A.20B.40C.50D.90答案:B解析:由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.圓O1是在點A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針所在的直線.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點B在圓O上,則AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷針與點A處的水平面所成角為40,故選B.4.如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長均為3,BAD=60,長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動,另一個端點N在底面ABCD上運

4、動,則MN的中點P的軌跡(曲面)與共頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為()A.29B.49C.23D.43答案:A解析:MN=2,則DP=1,則點P的軌跡為以D為球心,半徑r=1的球面的一部分,則球的體積為V=43r3=43.BAD=60,ADC=120,120為360的13,只取半球的13,則V=431312=29.5.九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著,書中提到一種名為“芻甍”的五面體,如圖,四邊形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是邊長為2的等邊三角形,則這個幾何體的體積是()A.203B.83+23C.1023D.823答案:C解析:過E作EG平面ABCD,垂

5、足為G,過F作FH平面ABCD,垂足為H,過G作PQAD,交AB于Q,交CD于P,過H作MNBC,交AB于N,交CD于M,如圖所示.四邊形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是邊長為2的等邊三角形,四邊形PMNQ是邊長為2的正方形,EG=(3)2-12=2,這個幾何體的體積V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=131222+12222=423+22=1023.6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,平面過直線BD,平面AB1C,平面AB1C=m,平面過直線A1C1,平面AB1C,平面ADD1A1=n,則m,n所成角的余弦值為()A.0B.12C.2

6、2D.32答案:D解析:如圖所示,BD1平面AB1C,平面過直線BD,平面AB1C,平面即為平面DBB1D1.設(shè)ACBD=O.平面AB1C=OB1=m.平面A1C1D過直線A1C1,與平面AB1C平行,而平面過直線A1C1,平面AB1C,平面A1C1D即為平面.平面ADD1A1=A1D=n,又A1DB1C,m,n所成角為OB1C,由AB1C為正三角形,則cos OB1C=cos 6=32.故選D.二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M,則四棱錐M-EFGH的體積

7、為.答案:112解析:由題意可知,四棱錐M-EFGH的底面EFGH為正方形且邊長為22,其高為12,所以V四棱錐M-EFGH=1322212=112.8.已知球O的球面上有四點S,A,B,C,其中O,A,B,C四點共面,ABC是邊長為2的正三角形,平面SAB平面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為.答案:33解析:記球O的半徑為R,由ABC是邊長為2的正三角形,且O,A,B,C四點共面,易求R=23.作SDAB于D,連接OD,OS,易知SD平面ABC,注意到SD=SO2-OD2=R2-OD2,因此要使SD最大,則需OD最小,而OD的最小值為1223=33,因此高SD的最大值為232-33

8、2=1.因為三棱錐S-ABC的體積為13SABCSD=133422SD=33SD,所以三棱錐S-ABC的體積的最大值為331=33.三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60,AP=1,AD=3,求三棱錐E-ACD的體積.答案:(1)證明如圖,連接BD交AC于點O,連接EO.因為底面ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又因為E為PD的中點,所以EOPB.因為EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因為PA平面ABCD,底面

9、ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則P(0,0,1),D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.設(shè)B(m,0,0)(m0),則C(m,3,0),AC=(m,3,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.由題意得n2=(1,0,0)為平面DAE的一個法向量.由題設(shè)|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為12

10、.三棱錐E-ACD的體積V=131233212=38.10.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證:PD平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理由.答案:(1)證明因為平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因為PAPD,所以PD平面PAB.(2)解如圖,取AD的中點O,連接PO,CO.因為PA=PD,所以POAD.又因為PO平面PAD,平面PAD平面ABC

11、D,所以PO平面ABCD.因為CO平面ABCD,所以POCO.因為AC=CD,所以COAD.如圖,建立空間直角坐標系O-xyz.由題意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nPD=0,nPC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,則x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).因為PB=(1,1,-1),所以cos=nPB|n|PB|=-33.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33.(3)解設(shè)M是棱PA上一點,則存在0,1使得AM=AP.因此點M(0,1-,),BM=(-1,-,).

12、因為BM平面PCD,所以BM平面PCD當且僅當BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=14.所以在棱PA上存在點M使得BM平面PCD,此時AMAP=14.11.(15分)如圖,ADBC,且AD=2BC,ADCD,EGAD,且EG=AD,CDFG,且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若點P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長.解:依題意,以D為原點,分別以DA,DC,DG的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系(如

13、圖),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,32,1,N(1,0,2).(1)證明:依題意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).設(shè)n0=(x,y,z)為平面CDE的法向量,則n0DC=0,n0DE=0,即2y=0,2x+2z=0,不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又MN=1,-32,1,可得MNn0=0.又因為直線MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2)依題意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量,則nBC=0,nBE=0,即-x=0,x-2y+2z=0,不妨令z=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x,y,z)為平面BCF的法向量,則mBC=0,mCF=0,即-x=0,-y+2z=0,不妨令z=1,可得m