人教版八年級數(shù)學上冊19《完全平方公式》知識講解+鞏固練習(提高版)（含答案）

1、PAGE 完全平方公式（提高）【學習目標】1. 能運用完全平方公式把簡單的多項式進行因式分解.2. 會綜合運用提公因式法和公式法把多項式分解因式；3發(fā)展綜合運用知識的能力和逆向思維的習慣.【要點梳理】要點一、公式法完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式； （2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和

2、的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.【高清課堂400108 因式分解之公式法 知識要點】要點二、因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學到）要點三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止【典型例題】類型一、公式法完全平方公式【高清課堂400108 因式分解之公式法 例4】1、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）【答案與解析】解：（1）（2）（3）（4）【總結(jié)升華】

3、（1）提公因式法是因式分解的首選法多項式中各項若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：提公因式法；運用公式法（2）因式分解要分解到每一個因式不能再分解為止舉一反三：【變式】分解因式：（1）（2）【答案】解：（1）原式（2）原式2、（2016大慶）已知a+b=3，ab=2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3【思路點撥】先提公因式ab，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解，然后帶入數(shù)據(jù)進行計算即可得解【答案與解析】解：a3b+2a2b2+ab3 = ab（a2+2ab+b2）= ab（a+b）2將a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=232=18故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18【總

4、結(jié)升華】在因式分解中要注意整體思想的應(yīng)用，對于式子較復(fù)雜的題目不要輕易去括號舉一反三：【變式】若，是整數(shù)，求證：是一個完全平方數(shù).【答案】解：令上式即類型二、配方法分解因式3、用配方法來解決一部分二次三項式因式分解的問題，如：那該添什么項就可以配成完全平方公式呢？我們先考慮二次項系數(shù)為1的情況：如添上什么就可以成為完全平方式？因此添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方.那么二次項系數(shù)不是1的呢？當然是轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1了.分解因式：.【思路點撥】提出二次項的系數(shù)3，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.【答案與解析】解：如 【總結(jié)升華】配方法，二次項系數(shù)為1的時候，添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方. 二

5、次項系數(shù)不是1的時候，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.類型三、完全平方公式的應(yīng)用4、（2015春婁底期末）先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式x22xy+y2=（xy）2及（xy）2的值恒為非負數(shù)的特點在數(shù)學學習中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項式2x2+12x4的最大（?。┲禃r，我們可以這樣處理：解：原式=2（x2+6x2）=2（x2+6x+992）=2（x+3）211=2（x+3）222因為無論x取什么數(shù)，都有（x+3）2的值為非負數(shù)所以（x+3）2的最小值為0，此時x=3進而2（x+3）222的最小值是2022=22所以當x=3時，原多項式的最小值是22.解決問題：請根據(jù)上面的解題思路，

6、探求多項式3x26x+12的最小值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值【答案與解析】解：原式=3（x22x+4）=3（x22x+11+4）=3（x1）2+9，無論x取什么數(shù)，都有（x1）2的值為非負數(shù)，（x1）2的最小值為0，此時x=1，3（x1）2+9的最小值為：30+9=9，則當x=1時，原多項式的最小值是9【總結(jié)升華】此題考查了完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】若ABC的三邊長分別為、,且滿足， 求證：.【答案】解： 所以所以所以因為ABC的三邊長分別為、，所以，矛盾，舍去.所以.【變式2】（2015春蕭山區(qū)期中）若（2015x）

7、（2013x）=，則（2015x）2+（2013x）2= 【答案】4032解：（2015x）（2013x）=，（2015x）（2013x）2=（2015x）2+（2013x）22（2015x）（2013x）=4，則（2015x）2+（2013x）2=4+2=4032【鞏固練習】一.選擇題1. 若是完全平方式，則的值為（ ）A5 B7 C1 D7或12（2016富順縣校級模擬）下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（）x210 x+25；4a2+4a1；x22x1；A1個 B2個 C3個 D4個3. 如果是一個完全平方公式，那么是（ ） A. B. C. D. 4. （2015永州模擬）已知

8、a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，則多項式a2+b2+c2abbcac的值為（）A 0B1C2D35. 若，則的值為（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若為任意實數(shù)時，二次三項式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（ ） A. B. C. D. 二.填空題7（2016赤峰）分解因式：4x24xy+y2= 8. 因式分解:_. 9. 因式分解: _.10. 若，_.11. 當取_時，多項式有最小值_.12.（2015寧波模擬）如果實數(shù)x、y滿足2x26xy+9y24x+4=0，那么= 三.解答題13.若，求的值.14.（2015春懷集縣期末）已

9、知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a）2；（3）a15. 若三角形的三邊長是，且滿足，試判斷三角形的形狀. 小明是這樣做的： 解：，. 即 ，. 該三角形是等邊三角形. 仿照小明的解法解答問題： 已知： 為三角形的三條邊，且，試判斷三角形的形狀.【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】D； 【解析】由題意，4，.2. 【答案】C； 【解析】 不能用完全平方公式分解.3. 【答案】B；【解析】，所以，選B.4. 【答案】D； 【解析】解：由題意可知ab=1，bc=1，ac=2，所求式=（2a2+2b2+2c22ab2bc2ca），=（a22ab+b2）+（b22bc+c2）+（a22ac+c2），=（ab）2+（bc）2+（ac）2，=（1）2+（1）2+（2）2，=3故選D5. 【答案】A； 【解析】原式.6. 【答案】B； 【解析】，由題意得，所以.二.填空題7. 【答案】（2xy）2 【解析】4x24xy+y2=（2x）222xy+y2=（2xy）28. 【答案】；【解析】.9. 【答案】【解析】.10.【答案】1； 【解析】，所以，.11.【答案】3，1； 【解析】，當時有最小值1.12.【答案】【解析】解：可把條件變成（x26xy+9y2）+（x24x+4）=0，即（x3y）2+（x2）2=0