新編大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)課件1

1、(導(dǎo)數(shù)與微分)第二章 導(dǎo) 數(shù) 與 微 分 我們已經(jīng)研究了函數(shù)即變量之間相互依存關(guān)系, 現(xiàn)在我們進(jìn)一步研究當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)變化的 快慢程度，即變化率問(wèn)題.這就產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)和微分的 概念。第一節(jié) 導(dǎo) 數(shù) 概 念 1.速度的概念 某一質(zhì)點(diǎn)沿直線作變速運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程S和時(shí)間 t的函數(shù)關(guān)系為S=f(t), 現(xiàn)在我們研究質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻t0的瞬 時(shí)速度.取t0到t0+t這一段時(shí)間間隔,在這段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn) 走的路程為 s=f(t0+ t)- f(t0) 這一段時(shí)間的平均速 度為 當(dāng)t0時(shí),對(duì)兩邊取極限,如果極限存在,我們稱為時(shí)刻 t0的 瞬時(shí)速度,在高等數(shù)學(xué)中把瞬時(shí)速度稱為路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。一、引例

2、2 切線問(wèn)題 有很多實(shí)際問(wèn)題與曲線的切線有關(guān), 例如有關(guān)運(yùn)動(dòng)的方 向問(wèn)題, 有關(guān)光線的入射角和反射角問(wèn)題等. 我們知道圓的 切線可定義為“與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線”，對(duì)于更復(fù)雜的 曲線, 我們把曲線的切線定義為“與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直 線”就不合適. 過(guò)p點(diǎn)的直線L是曲線C上的切線, 但不符合 上面的 定義. 下面我們給出切線的定義.cpLL設(shè)曲線C 是函數(shù)y=f(x)的圖形, M0(x0,y0)是曲線C上的一點(diǎn) y0=f(x0)，在曲線C上任取一點(diǎn)M(x,y), 連接這兩點(diǎn)的直線稱為曲線的割線, 此割線的斜率為M0Mx0 xC 令M點(diǎn)沿曲線C趨向M0點(diǎn),這時(shí)xx0,如果極限存在,我們把過(guò)點(diǎn)M0

3、而以k為斜率的直線稱為曲線C在點(diǎn)M0的切線.3. 現(xiàn)在我們來(lái)研究收益對(duì)銷售量的變化率-邊際收益 若某商品的總收入(收益)R是銷售量q的函數(shù), 即 R=R(q) (q0) ，求當(dāng)銷售量為q0個(gè)單位時(shí)總收益的變化率？若銷售量q由q0改變到q0+q,則總收益R取得相應(yīng)的改變量 存在,則稱此極限值為銷售量是q0個(gè)單位時(shí)總收入的變化率. 類似地, 若某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)C(q), 則在產(chǎn) 量為q0時(shí)的邊際成本為于是總收入的平均變化率為若極限二、 導(dǎo)數(shù)的定義 由此，我們可以歸納出導(dǎo)數(shù)的定義 定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義, 點(diǎn) x0+x也在該鄰域內(nèi)，當(dāng)自變量在 x0 處取得

4、增量x時(shí), 相應(yīng)地函數(shù)獲得增量y=f(x0+x)-f(x0), 如果增量之比 y/ x, 當(dāng)x0時(shí)的限存在, 則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處 可導(dǎo), 或稱為f(x)在點(diǎn)x0存在導(dǎo)數(shù), 并稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù), 記為 即 如果上述極限不存在, 就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo), 或說(shuō)沒(méi) 有導(dǎo) 數(shù)， 如果上述極限為無(wú)窮大, 雖然也是極限不存在，但有時(shí)說(shuō) 函數(shù) f(x) 在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大, 即有廣義導(dǎo)數(shù)。 相應(yīng)地, 如果將上述極限過(guò)程為x0+, 就是單側(cè)導(dǎo)數(shù), 點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù),分別為 顯然, 存在的充分必要條件是 都存在, 且 都可導(dǎo)(在I的端點(diǎn)上為單側(cè)可導(dǎo)),則稱f(

5、x)在區(qū)間I上可導(dǎo)。此時(shí)，在I上每一個(gè)確定的x值，都有函數(shù)f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與它相應(yīng), 這樣構(gòu)成的新函數(shù)叫做原函數(shù)f(x)在區(qū)間 I上的導(dǎo)函數(shù)，有時(shí)稱為f在 I 上的導(dǎo)數(shù),記作如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I上的每一點(diǎn)即有可見(jiàn)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)值f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0的函數(shù)值 有了導(dǎo)數(shù)的定義后,可以說(shuō)變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度v 是路 程函數(shù) s=f(t)對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),即v=ds/dt, 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是 平均變化率的極限, 它反映當(dāng)自變量變化時(shí),函數(shù)變化的 快慢程度，導(dǎo)數(shù)大，函數(shù)的變化 快；導(dǎo)數(shù)小，函數(shù)的 變化慢。例1 試按定義取函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。解: 一般由定義求導(dǎo)數(shù)按下面三個(gè)步

6、驟進(jìn)行; (1)求出函數(shù)y的增量y; (2)寫出增量比y/ x; (3)使x0,求增量比的極限. 在理解導(dǎo)數(shù)的概念和用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們通 過(guò)上述例子應(yīng)該明確下面幾點(diǎn).(1) 函數(shù)y=f(x)的改變量y=f(x+x)-f(x); 當(dāng)x固定時(shí), y 是隨x的變化而變化的，即是x的函數(shù),當(dāng)x發(fā)生變化 時(shí), y也是x的函數(shù)，故y是x, x兩者的函數(shù)。同樣, 它們的變化率一般說(shuō)來(lái)也是兩者的 函數(shù)， 這說(shuō)明函 (2) 若函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)處連續(xù)，則當(dāng)x0時(shí),y0。 這樣求增量 比y/x的極限過(guò)程，也就是研究?jī)蓚€(gè) 無(wú)窮小量y， x之比 y/x的過(guò)程， 數(shù)在不同點(diǎn)的變化率也不同. 函數(shù)f(x)

7、在點(diǎn)x0處可導(dǎo)即表示y和x是同價(jià)無(wú) 窮小量 或者y比x高價(jià)的無(wú)窮小量.這表示導(dǎo)數(shù)必須依賴于極限. (3) 導(dǎo)數(shù)f(x)是x的函數(shù),它和x沒(méi)有關(guān)系. (4) 令x0+x=x,則x=x0-x,當(dāng)x0時(shí),xx0,導(dǎo)數(shù)有如下 的表示法.例2 設(shè) 存在,求下列各極限解： 解題思路就是應(yīng)用公式例3 設(shè)f(x)在x=1處連續(xù),且求f (1)導(dǎo)數(shù)不存在例4 設(shè)f(x)在(-,+)內(nèi)有定義，對(duì)任意x，恒有 f(x+1)=2f(x),當(dāng)0 x1時(shí),f(x)=x(1-x2),試判斷在x=0處, f (x)是否存在.(1) 常數(shù)y=C的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，常數(shù)在任意一點(diǎn)的變化率為0.1. 求導(dǎo)數(shù)舉例: 在下一講中我們

8、可以知道這個(gè)導(dǎo)數(shù)公式對(duì)于任意實(shí)數(shù) 也是成立的，有(2) 冪函數(shù)y=xn(nN)的導(dǎo)數(shù)（3）指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)的導(dǎo)數(shù)P68例7，證明如下下面證明 上面我們討論了導(dǎo)數(shù)的定義,從定義上看導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限.如果導(dǎo)數(shù)存在,則y和x這兩個(gè)無(wú)窮小分別是等階, 同階的，低階的。從上面導(dǎo)數(shù)的舉例中,我們得到下列的求導(dǎo)公式（4） 正(余)弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y=sinx則(1)常數(shù)C的導(dǎo)數(shù). ( C )=0.(2)冪函數(shù)f(x)=xn (xn )=nxn-1(3)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax (ax )= ax lna 特別是f(x)=ex (ex)= ex(4)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax (log

9、ax)=1/(xlna). 特別是f(x)=lnx (lnx)=1/x(5)三角函數(shù)f(x)=sinx (sinx)=cosx f(x)=cosx (cosx)= - sinx.在今后的計(jì)算中我們不用定義求導(dǎo)數(shù)而直接使用上面的公式.例5 下面的求導(dǎo)驗(yàn)算正確否？如有錯(cuò)誤，則改正之。解：1 0 第二項(xiàng)是常數(shù)， 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 20 ln2的導(dǎo)數(shù)是0,且1/x不是簡(jiǎn)單的倒數(shù)問(wèn)題. 有些抽象函數(shù)如果在某點(diǎn)可導(dǎo),只能用定義計(jì)算該函數(shù) 在該點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù). 例如 例6 設(shè)f(x)=(x3-a3)(x),其中(x) 在x=a處連續(xù), 求f(x)的導(dǎo)數(shù). 解: 因不知道f(x)在x=a處可導(dǎo),只能用定義求 證明:

10、 因f (x)為偶函數(shù),f(x)=f(-x), 由導(dǎo)數(shù)定義,有例7 如果f(x)為偶函數(shù)且 存在, 證明 =0 用導(dǎo)數(shù)定義求可導(dǎo)函數(shù)的差值與其自變量為無(wú)窮小之比 的極限解：如果此函數(shù)極限存在,則它的倒數(shù)為則原極限等于1例8 已知f(x0)= -1,求三. 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 設(shè)M0(x0,y0) 是曲線 y=f(x)上的一點(diǎn)，在M0的鄰域內(nèi)取一 點(diǎn)M(x0+x,y0+y),固定M0，當(dāng)x0時(shí)，割線MM0繞M0轉(zhuǎn)動(dòng)到極限位M0T， 稱M0T為曲線在點(diǎn)M0的切線xM0M0Tyxx0 x0+ xyyMM0的斜率 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率. 由點(diǎn)斜式方程可知 曲線 y=f(x)

11、在M0(x0,y0)的切線方程 是我們知道,法線和切線相互垂直,它們斜率的乘積為-1,平面曲線的法線方程為如果函數(shù)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，這時(shí)切線垂直于x軸，法線平行于x軸，切線方程為 x = x0，法線方程為 y = y0.例9 求曲線 y=x2 在點(diǎn) (3,9) 處的切線方程和法線方程四、 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即存在極限 這說(shuō)明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x連續(xù)，即可導(dǎo)必連續(xù)，但函數(shù) 連續(xù)不一定可導(dǎo)。我們可舉出反例來(lái).例10 函數(shù) y=|x|在(-,+ )內(nèi)處處連續(xù),但它在x=0處卻不可導(dǎo). 導(dǎo)數(shù)為曲線的斜率，在圖中可見(jiàn)當(dāng)x=0時(shí)它的左右極限不相等。所以函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)，就是在該點(diǎn)沒(méi)有切線。yy=|x|例11 函數(shù) 在(-,+ )內(nèi)處處連續(xù)，但它在 x=0處卻不可導(dǎo)解：在x=0處 表示在x=0處的極限為無(wú)窮大， 即該點(diǎn)的切線垂直于x軸。 可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)一定有極限， 所以f(x) 在x0處可導(dǎo)就一定有極限.可導(dǎo)連續(xù)有極限不一定不一定 例12 討論 函數(shù) f(x) =在點(diǎn)x=